Ex-11 soll - ‫פתרון תרגיל מספר 21 בהסתברות לתעו"נ – קרובים ומשפטי גבול‬ ‫1.‬ ‫יהיו

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פתרון תרגיל מספר 21 בהסתברות לתעו"נ – קרובים ומשפטי גבול‬ ‫1.‬ ‫יהיו ‪ X1,X2,...,Xn‬מ"מ ב"ת בעלי אותה תוחלת, ‪ ,µ‬ואותה שונות, ²‪ .σ‬נגדיר את ממוצע‬ ‫‪n‬‬ ‫המדגם על ידי ‪ . X = ∑i=1 X i n‬קבעו את גודל המדגם אותו יש לקחת אם אנו‬ ‫מעונינים שבהסתברות של לפחות 9.0 ‪ X‬יסטה לכל היותר ב-‪ C‬מתוחלתו. )הביעו‬ ‫את התשובה במונחים של ‪ C‬ו- ²‪.(σ‬‬ ‫1(‬ ‫2(‬ ‫3(‬ ‫4(‬ ‫תעזרו בקירוב של ‪ Markov‬לצורך זה.‬ ‫תעזרו בקירוב של ‪Chebyshev‬‬ ‫תעזרו במשפט הגבול המרכזי‬ ‫איזה מהשיטות לדעתכם נותנת הערכה הכי קרובה לאמיתית, למה ?‬ ‫פתרון:‬ ‫1( לא ניתן להשתמש במרקוב )גם כי הקירוב הזה גם לא נותן הערכה לגבי תחום‬ ‫מרכזי )מסביב לתוחלת( וגם מחייב שמ"מ יהיה לא שלילי.‬ ‫: ‪(b) Chebyshev‬‬ ‫) ‪V (X‬‬ ‫) ‪V (X‬‬ ‫) ‪V (X‬‬ ‫−1 =‬ ‫≥ ‪= 0.9 = >n‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n⋅c‬‬ ‫2 ‪0.1 ⋅ c‬‬ ‫: ‪(c) Approximation to Normal distribution‬‬ ‫− 1 ≥ )‪P ( X − E ( X ) < c‬‬ ‫2‪σ‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫56.1 ≥‬ ‫2.‬ ‫‪c‬‬ ‫‪σ/ n‬‬ ‫> = 59.0 ≥ )‬ ‫‪c‬‬ ‫‪σ/ n‬‬ ‫(‪= > φ‬‬ ‫9.0 ≥ 1 − )‬ ‫‪c‬‬ ‫‪σ/ n‬‬ ‫‪approx‬‬ ‫, ‪X ~ N (µ‬‬ ‫( ‪P ( X − E ( X ) ≤ c) = 2φ‬‬ ‫) ‪(1.65) 2 ⋅ V ( X‬‬ ‫≥ ‪= >n‬‬ ‫2‪c‬‬ ‫במתקן שעשועים מופעל משחק. הרווח ‪ X‬בהפעלה בודדת של המשחק מפולג כך:‬ ‫1.0 = )2− = ‪P( X = 1) = 0.7; P( X = 0) = 0.2; P( X‬‬ ‫המשחק מופעל 003 פעמים. העריכו את הסיכוי שסה"כ הרווח יהיה בין 09 ל-012.‬ ‫השתמשו בשתי שיטות שונות )מתוך אלה שנלמדו( להערכה.‬ ‫פתרון:‬ ‫58.0 = ) ‪V ( X‬‬ ‫5.0 = ) ‪E ( X‬‬ ‫‪approx‬‬ ‫)552,051( ‪E(Y) = 150 V(Y) = 255 Y ~ N‬‬ ‫051 − 012‬ ‫051 − 09‬ ‫≤ ‪P( Y ∈ [90,210]) ≈ P( z‬‬ ‫≤ ‪) − P( z‬‬ ‫8999.0 = 1 − )757.3( ‪) = 2φ‬‬ ‫552‬ ‫552‬ ‫)39.0 ≈ ‪(using Chebyshev the result is‬‬ ‫3.‬ ‫בחשבון הבנק של לקוח היו ב-01.13 0001 ₪.‬ ‫בכל יום שלאחר מכן ובמשך 01 ימים רצופים )1 עד העשירי בנובמבר( מקבל הלקוח‬ ‫סכום כסף שהוא מ"מ ‪) Xi‬הסכום שהתקבל ב-‪ i‬בנובמבר(. 1‪ X‬עד 01‪ X‬מ"מ ב"ת בעלי‬ ‫תוחלת של 005 ₪ עם סטיית תקן של 05 ₪.‬ ‫ב-11 בנובמבר מוכפל סכום הכסף אשר בחשבון עד ל-01 בנובמבר )כולל(.‬ ‫ב-21 בנובמבר מחויב החשבון בגין תשלום לחברת האשראי. התשלום הנו משתנה‬ ‫מקרי עם תוחלת של 0005 ₪ וסטית תקן של 0001 ₪.‬ ‫1. חשבו את התוחלת והשונות של סה"כ הכסף בחשבון ב-11.21 לאחר חיוב חברת‬ ‫האשראי.‬ ‫2. "העריכו" את ההסתברות לכך שסה"כ הכסף בחשבון 11.21 יהיו לכל הפחות‬ ‫0055 ולכל היותר 0058.‬ ‫פתרון:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y = 2 * 1000 + ∑ Xi − Z‬‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0000001 = 2 0001 = )‪E ( Z ) = 5000 V(Z‬‬ ‫01‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫00052 = ‪E ∑ Xi = 5000 V ∑ Xi ‬‬ ‫‪ i =1 ‬‬ ‫‪ i =1 ‬‬ ‫0007 = 0005 − 00001 + 0002 = ) ‪E (Y‬‬ ‫0000011 = 0000001 + 00052 * 4 = ) ‪V (Y‬‬ ‫> = )0051 < )‪P (8500 > Y > 5500) = P( Y - E(Y‬‬ ‫1115.0 = 2 0051 / ) ‪P (8500 > Y > 5500) ≥ 1 − V (Y‬‬ ‫4.‬ ‫1. יהי ‪ X‬מ"מ סימטרי סביב ‪ ,‬כלומר )‪ PX ( X = µ + c) = PX ( X = µ − c‬במקרה‬ ‫הבדיד או ) ‪ f X ( X = µ + c) = f X ( X = µ − c‬במקרה הרציף לכל ‪ .x‬הוכח שעבור ‪c‬‬ ‫חיובי מתקיים‬ ‫פתרון:‬ ‫2‬ ‫‪σX‬‬ ‫2 ‪2c‬‬ ‫≤ )‪≥ µ + c‬‬ ‫‪. P( X‬‬ ‫: ‪Using Chebyshev‬‬ ‫)‪P ( X − E ( X ) ≥ c ) = 2 P( X ≥ µ + c‬‬ ‫‪u sin g symmetry‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪V (X‬‬ ‫2‪c‬‬ ‫2‪σ‬‬ ‫2‪⇒ P ( X ≥ µ + c) ≤ X‬‬ ‫‪2c‬‬ ‫≤ )‪P( X − E ( X ) ≥ c‬‬ ‫2. ‪ , X n‬ו- ‪ Yn‬הם ממוצעי מדגמים ב"ת בגודל ‪ n‬מתוך אותה התפלגות סימטרית‬ ‫פתרון:‬ ‫1. . ‪µ‬‬ ‫בעלת תוחלת ‪ ‬ושונות ‪ . ‬קבע את ‪ n‬כך שההסתברות למאורע } ‪{ X n − Yn ≥ σ‬‬ ‫לא תעלה 10.0.‬ ‫= ) ‪E (Yn ) = E ( X n‬‬ ‫‪V (Yn ) = V ( X n ) = σ 2 / n .II‬‬ ‫‪E ( X n − Yn ) = E ( X n ) − E (Yn ) = µ − µ = 0 .III‬‬ ‫2 ‪σ 2 σ 2 2σ‬‬ ‫.‪IV‬‬ ‫= ) ‪V ( X n − Yn ) = V ( X n ) + V (Yn‬‬ ‫+‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .V‬מכיוון שההתפלגות של ‪ X‬ו-‪ Y‬הן סימטרית אז גם התפלגות הממוצעים היא סימטרית וגם התפלגות‬ ‫הפרשי הממוצעים.‬ ‫1 ‪2σ 2 / n‬‬ ‫≤ ) ‪ P ( X − Y ≥ σ‬לכן‬ ‫לכן ניישם את תוצאות סעיף א' ונקבל: 10.0 = =‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫2 ‪2σ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ניקח 001=‪ n‬נעמוד בדרישות.‬ ‫5.‬ ‫מספר המטוסים המגיעים לנמל תעופה מסוים בכל יממה הוא מ"מ פואסוני עם‬ ‫תוחלת 001. הערך את ההסתברות שבמשך 6 שעות יגיעו לנמל יותר מ-03 מטוסים.‬ ‫1. בעזרת אי שוויון מרקוב.‬ ‫2. בעזרת אי שוויון צ'ביצ'ב.‬ ‫פתרון:‬ ‫52 = ) ‪X ~ Pois (25), E ( X ) = V ( X‬‬ ‫338.0 ≤ )03 ≥ ‪(a ) Markov : P ( X‬‬ ‫‪≈ symmetry‬‬ ‫52‬ ‫5.0 =‬ ‫52 ⋅ 2‬ ‫הערה: כאשר ‪ ‬מספיק גדול ניתן לקרב התפלגות פואסונית לנורמלית )הוכיחו( ולכן‬ ‫במקרים האלה התפלגות פואסונית מתקרבת להתפלגות סימטרית.‬ ‫≤‬ ‫)03 ≥ ‪(b)Chebyshev : P ( X‬‬ ‫6. יהיו 52‪ X1, …, X‬מ"מ מתפלגים פואסונית עם פרמטר ‪ .‬ידוע שסכום מ"מ פואסוני‬ ‫מתפלג פואסונית אם סכום הקצבים כפרמטר.‬ ‫א(. השתמש בתוכנה זו ו"משפט הגבול המרכזי" על מנת לנסח "קירוב התפלגות‬ ‫נורמלית לפואסונית" .‬ ‫ב(. השתמש בתוצאה של סעיף קודם על מנת להעריך מחדש תשובה לשאלה 5.‬ ‫פתרון:‬ ‫‪approx‬‬ ‫) 2 5,52( ‪Y = X 1 + .. + X 25 ~ Pois( 25,25) Y ~ N‬‬ ‫52 − 5.92‬ ‫( ‪P (Y ≥ 30) ≈ 1 − φ‬‬ ‫481.0 = )‬ ‫5‬ ‫7. רוצים לחבר 84 מספרים ומעגלים אותם לפני החיבור לשלם הקרוב ביותר. כתוצאה‬ ‫מכך מכניסים שגיאה בסכום. השגיאה נובעת מעיגול המספר. השגיאה מתפלגת אחיד‬ ‫11‬ ‫) , − ( ‪xi ≈ U‬‬ ‫רציף 2 2‬ ‫84‬ ‫‪y = ∑ xi‬‬ ‫נגדיר‬ ‫מהי הסתברות שהשגיאה בסכום תהיה בין 2- ל 1?‬ ‫פתרון:‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫‪approx‬‬ ‫) 2 2,0( ‪y ~ N‬‬ ‫51.0 = )5.0( ‪P (1 < y < 2) = φ (1) − φ‬‬ ‫8. נתון 0001,10.0(‪ , (X~B‬השתמש ב"קירוב נורמלי לבינומי" בשביל לחשב:‬ ‫א( 51>‪(P(X‬‬ ‫ב( )8 ≤ ‪P ( X‬‬ P (8 < X ≤ 12) (‫ג‬ :‫פתרון‬ apprx 2 X ~ N (10, 9.9 ) (a ) P ( X > 15) ≈ P ( z > 15.5 − 10 ) 9.9 8.5 − 10 (b) P ( X ≤ 8) ≈ P ( z < ) 9.9 12.5 − 10 8.5 − 10 (c) P (8 < X ≤ 12) ≈ P( z < ) − P( z < ) 9.9 9.9 ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1.1912 taught by Professor Boazlerner during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online