targil2_2007a_sol_comb

targil2_2007a_sol_comb - ‫אוניברסיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫פתרון תרגיל מספר 2‬ ‫) מרחב מדגם סימטרי, קומבינטוריקה(‬ ‫1. אוטובוס ובו 5 נוסעים )חיים, יעל, רבקה, עפרה ונורית( עוצר ב-01 תחנות.‬ ‫בהנחה שלכל דרך בה הנוסעים יורדים הסתברות שווה, מהי ההסתברות שכל נוסע ירד‬ ‫בתחנה אחרת?‬ ‫פתרון:‬ ‫אם יכול לרדת יותר מאחד בתחנה?‬ ‫5‬ ‫אם לא יורד יותר מבן אדם אחד בתחנה?‬ ‫01 = ‪# Ω‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫04203 = ‪# A = 5!⋅ ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫בהנחה שלכל דרך בה הנוסעים יורדים הסתברות שווה, מהי ההסתברות שכל נוסע ירד‬ ‫04203‬ ‫4203.0 =‬ ‫בתחנה אחרת?‬ ‫5 01‬ ‫2. 5 אנשים יושבים על ספסל בן 5 מקומות?‬ ‫1. מה הסיכוי שאלישבע לא תשב בקצה הספסל?‬ ‫2. מה הסיכוי שחגי וחגית יישבו יחדיו?‬ ‫פתרון:‬ ‫א.‬ ‫ב.‬ ‫!4 ⋅ 3‬ ‫6.0 =‬ ‫!5‬ ‫2⋅!4‬ ‫4.0 =‬ ‫!5‬ ‫ישנם שישה ספרי הסתברות שונים ו-4 ספרי חדו"א שונים. מה ההסתברות לכל שכל‬ ‫הספרים מאותו מקצוע יהיו מונחים זה ליד זה?‬ ‫3.‬ ‫פתרון:‬ ‫2⋅!6⋅!4‬ ‫25900.0 =‬ ‫!01‬ ‫4.‬ ‫תוכנת‬ ‫‪.A‬‬ ‫‪.B‬‬ ‫‪.C‬‬ ‫‪.D‬‬ ‫מחשב מייצרת מספרים שונים בני 5 ספרות, כאשר הספרה 0 אינה יכולה לשמש ספרה‬ ‫ראשונה במספר. בוחרים מספר אחד מתוכם באופן מיקרי.‬ ‫מה ההסתברות שהוא זוגי?‬ ‫מה ההסתברות שהוא זוגי וכל הספרות שונות?‬ ‫מה ההסתברות שהספרה 3 מופיעה בו בדיוק פעם אחת?‬ ‫מה ההסתברות שכאשר קוראים אותו מימין לשמאל, מקבלים אותו המספר?‬ ‫פתרון:‬ ‫00009 = 01 ⋅ 9 = ‪# Ω‬‬ ‫5 ⋅ 3 01 ⋅ 9 ‪# A‬‬ ‫= )‪P ( A‬‬ ‫=‬ ‫5.0 =‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫00009‬ ‫4‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 1 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫‪null ast‬‬ ‫‪the‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ is l ‬‬ ‫‪nullin middle n null ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫67731 = 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 4 + 3 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 4 + 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 1 = ‪# B‬‬ ‫67731‬ ‫= )‪P ( B‬‬ ‫351.0 =‬ ‫00009‬ ‫‪s first‬‬ ‫‪3 not first 3 i‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫49 + 4 ⋅ 9 ⋅ 8‬ ‫= ) ‪P (C‬‬ ‫1233.0 =‬ ‫00009‬ ‫2 01 ⋅ 9‬ ‫= )‪P( D‬‬ ‫10.0 =‬ ‫00009‬ ‫5. בוחרים מספר מקרי בין 0 ל 94 מצא את ההסתברות:‬ ‫שנבחר מספר גדול מ 73‬ ‫נבחר מספר ראשוני‬ ‫נבחר מספר שסכום ספרותיו קטן מ 5‬ ‫פתרון:‬ ‫נגדיר מאורעות‬ ‫‪ – A‬גדול מ-73‬ ‫‪ -B‬ראשוני )יש 31 כאלה בטווח(‬ ‫‪ -C‬מספר שסכום ספרותין קטן מ-5 )יש 51 כאלה בטווח(‬ ‫מרחב המדגם סימטרי לכן‬ ‫05 / 21 = ‪P ( A) =# A /# Ω‬‬ ‫05 / 41 = ‪P ( B ) =# B /# Ω‬‬ ‫05 / 51 = ‪P (C ) =# C /# Ω‬‬ ‫6.‬ ‫חמישה כדורים הממוספרים ב – 5,4,3,2,1, מפולגים באופן מקרי בין 3 קופסאות ‪A,B,C‬‬ ‫תאר את מרחב המדגם ) מה זה כל תוצאה פשוטה וכמה כאלה יש(‬ ‫מצא את ההסתברויות של מאורעות:‬ ‫1‪ – A‬קופסה ‪ A‬ריקה‬ ‫2‪ – A‬בדיוק קופסה אחת ריקה.‬ ‫3‪– A‬שלוש קופסאות ריקות.‬ ‫4‪– A‬קופסה ‪ A‬ואך ורק קופסה ‪ A‬ריקה.‬ ‫5‪ – A‬לפחות קופסה אחת ריקה.‬ ‫‪ A6 –A‬או ‪ B‬ריקות.‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 2 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫פתרון:‬ ‫53 = ‪# Ω‬‬ ‫1‪# A‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫3‪# A‬‬ ‫= )3‪# A3 = 0, P(A‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫= )1‪# A1 = 2 5 , P(A‬‬ ‫4‪# A‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫2‪# A‬‬ ‫= )2‪# A2 = 3 ⋅ (# A4), P(A‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫5‪# A‬‬ ‫= )5‪# A5 =# A2 + 15 ⋅ 3, P(A‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫6‪# A‬‬ ‫= )6‪# A6 =# A4 ⋅ 2 + 1, P(A‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫= )4‪# A4 =# A1 − 15 ⋅ 2, P(A‬‬ ‫בבית 41 קומות, בכל קומה 4 משפחות, חוץ מקומה מס' 41 יש שתי משפחות בלבד.‬ ‫7.‬ ‫בוחרים באקראי 4 משפחות מתוך כל המשפחות שבבית לוועד.‬ ‫1. מה ההסתברות שבוועד מיוצגות 4 קומות שונות ?‬ ‫2. מה ההסתברות שכל המשפחות בוועד הן מאותה קומה?‬ ‫3. מה ההסתברות שקומה 41 מיוצגת בוועד?‬ ‫פתרון:‬ ‫‪13 * 4 + 2 ‬‬ ‫152613 = ‪‬‬ ‫‪#Ω = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א(‬ ‫41‪with‬‬ ‫41 ‪without‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫4 ‪13 3 13 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫4⋅‪2⋅ ⋅4 + ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫152613‬ ‫ב(‬ ‫31‬ ‫152613‬ ‫ג(‬ ‫‪13 ⋅ 4 2 13 ⋅ 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫00244 + 6231 ‪ 2 + 1 ⋅ 3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫=‪‬‬ ‫441.0 =‬ ‫125613‬ ‫125613‬ ‫8*. מתוך ‪ n‬זוגות נעליים בוחרים ‪ 2r‬נעליים בודדות ) ‪ .(2r≤ n‬מצא את ההסתברות של המאורעות‬ ‫הבאים:‬ ‫1. אין אף זוג שלם במדגם.‬ ‫2. הוצאו בדיוק 1 זוגות )1 ≥‪.(r‬‬ ‫3. הוצאו בדיוק 2 זוגות )2 ≥‪.(r‬‬ ‫4. ‪ 2r‬הנעליים שהוצאו מהווים ‪ r‬זוגות.‬ ‫פתרון:‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 3 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫‪#Ω = ‬‬ ‫‪ 2r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫א(‬ ‫2(‬ ‫‪ n 2r‬‬ ‫2⋅‪ ‬‬ ‫‪ 2r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫2− ‪n − 1 2 r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n⋅‬‬ ‫2 ⋅ ‪ 2r − 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫4− ‪ n n − 2 2r‬‬ ‫‪ ⋅‬‬ ‫2 ⋅ ‪ 2 2r − 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫3(‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫4( ‪ 2r‬הנעליים שהוצאו מהווים ‪ r‬זוגות.‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫9. מפזרים ‪ N‬כדורים שונים ב- ‪ M‬תאים.‬ ‫1( מה הסתברות שכל אחד מ-‪ N‬תאים מסוימים ‪ ((N<M‬מכיל בדיוק כדור אחד.‬ ‫2( מה הסתברות שכל אחד מ-‪ N‬תאים כלשהם ‪ ((N<M‬מכיל בדיוק כדור אחד.‬ ‫פתרון:‬ ‫‪#Ω = M N‬‬ ‫!‪N‬‬ ‫א(‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫‪M ‬‬ ‫!‪ ⋅ N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ב(‬ ‫‪‬‬ ‫‪#Ω‬‬ ‫01. כל אחד מששה אנשים במקום עבודה מסוים בוחר באופן מיקרי יום בשבוע )מתוך 5 ימי‬ ‫עבודה( שבו הוא לא יעבוד בשעות אחר הצהרים.‬ ‫1. מה ההסתברות ששני אנשים מסוימים יבחרו באותו היום כלשהו?‬ ‫2. מה ההסתברות ששני אנשים כלשם יבחרו באותו היום כלשהו?‬ ‫3. מה ההסתברות ששני אנשים כלשם יבחרו באותו היום מסוים?‬ ‫פתרון:‬ ‫52651 = 5 = ‪# Ω‬‬ ‫45 ⋅ 5‬ ‫= )‪P ( A‬‬ ‫5 /1 =‬ ‫52651‬ ‫1 = )‪P ( B‬‬ ‫‪nobody choose this week‬‬ ‫‪only one choose this week‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫64‬ ‫+‬ ‫54 ⋅ 6‬ ‫− 1 = ) ‪P (C‬‬ ‫46443.0 =‬ ‫52651‬ ‫6‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 4 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫*11. שיכור הולך מנקודה ‪ A‬לביתו בנקודה ‪ .B‬השיכור יכול ללכת רק בכיוון צפון ומזרח. כל דרך‬ ‫המחברת בין ‪ A‬ל-‪ B‬היא שוות הסתברות. מה היא הסתברות ששיכור יגיע לביתו בלי לעבור דרך‬ ‫נקודה ‪ C‬שבה ממוקמת תחנת משטרה ?‬ ‫2‬ ‫פתרון:‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1− ‬‬ ‫‪ 4n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 5 מתוך 5‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online