targil3_2007a_cond_sol

targil3_2007a_cond_sol - ‫אוניברסיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫פתרון תרגיל מספר 3‬ ‫)הסתברות מותנה, נוסחת ביאס, נוסחת הסתברות השלמה(‬ ‫1( ההסתברות שטיסה תצא בזמן היא 38.0=)‪ .P(D‬ההסתברות שטיסה תגיע בזמן היא‬ ‫28.0=)‪ .P(A‬ההסתברות. שטיסה תצא בזמן ותגיע בזמן היא 87.0.‬ ‫א. מצא את ההסתברות שמטוס יגיע בזמן אם נתון כי הוא יצא בזמן.‬ ‫ב. מצא את ההסתברות שמטוס יצא בזמן אם נתון כי הוא הגיע בזמן.‬ ‫פתרון:‬ ‫2( כד א' מכיל 8 כדורים צהובים ו-3 כחולים. כד ב' מכיל 6 כדורים צהובים ו-2‬ ‫כחולים. בוחרים באופן מיקרי 2 כדורים מכד א ומעבירים אותם לכד ב'. לאחר מכן‬ ‫מוציאים כדור מכד ב'. מה ההסתברות לכך שהכדור שהוצע מכד ב' כחול?‬ ‫פתרון:‬ ‫יהי ‪-X‬מס' כדורים צהובים במדגם ראשו:‬ ‫‪-Y‬מס' כדורים צהובים במדגם שני‬ ‫‪( X = 0) ∪ ( X = 1) ∪ ( X = 2) = Ω‬‬ ‫)2 = ‪P(Y = 1) = P (Y = 1 / X = 0) P ( X = 0) + P (Y = 1 / X = 1) P( X = 1) + P (Y = 1 / X = 2) P( X‬‬ ‫64‬ ‫84 3 65 2‬ ‫⋅ = )1 = ‪P(Y‬‬ ‫⋅+‬ ‫⋅+‬ ‫5452.0 =‬ ‫011 01 011 01 011 01‬ ‫3( שלוש מכונות מייצרות מוצרים בבית חרושת וידוע כי:‬ ‫מכונה א' מייצרת %05 מהמוצרים ומתוך המוצרים שהיא מייצרת %01 פגומים.‬ ‫מכונה נ' מייצרת %53 מהמוצרים ומתוך המוצרים שהיא מייצרת %5 פגומים.‬ ‫מכונה א' מייצרת %51 מהמוצרים ומתוך המוצרים שהיא מייצרת %1 פגומים.‬ ‫1. מהו אחוז הפגומים בייצור?‬ ‫2. נדגם מוצר והוא פגום. מה הסיכוי שהוא לא יוצר על ידי מכונה ב'?‬ ‫3. האם מותר פגום ומוצר מיוצר על ידי מכונה ג' הם מאורעות זרים? תלויים?‬ ‫פתרון:‬ ‫א( 960.0 = )‪P ( B‬‬ ‫ב( 647.0 = 960.0 / 5710.0 − 1 = ) ‪P ( A2 / B) = 1 − P ( A2 / B‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 1 מתוך 6‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫ג( ‪ <= P ( B ∩ A3 ) ≠ o‬לא זרים‬ ‫/‬ ‫) 3‪<= P( B ∩ A3 ) ≠ P( B) P ( A‬לא ב"ת‬ ‫4( הסיכוי לחלות במחלה מסוימת, נדירה, הוא %1. לכל חולה במיון עובר בדיקה‬ ‫לזיהוי המחלה. %09 "מהחולים" מגיבים באופן חיובי לבדיקה ו-%5 "מהבריאים"‬ ‫מגיבים באופן חיובי לבדיקה. אדם הגיע למיון והגיב באופן חיובי לבדיקה. מה‬ ‫הסיכוי שהוא אכן חולה?‬ ‫פתרון:‬ ‫5( במשפחה יש שני ילדים.‬ ‫1. מה ההסתברות שיש לה שני בנים, אם ידוע שלפחות אחד מהם הוא בן?‬ ‫2. מה ההסתברות שיש שני בנים אם ידוע שהבכור הוא בן?‬ ‫3. אם יש להם בן ובת, מה ההסתברות שהבת היא בכורה?‬ ‫פתרון:‬ ‫בהנחה שהסתברות לילד ממין מסוים שווה 5.0 ללא תלות בסדר שלו במשפחה. נסמן ‪-A‬ילד ראשון‬ ‫בן, ‪-B‬ילד שני בן.‬ ‫יש אי-תלות לכן קל לחשב כל מיני הסתברויות למשל:‬ ‫4 / 1 = ) ‪P( A ) = P( B ) = 1 / 2; P( A ∩ B ) = P( A ∩ B‬‬ ‫א(‬ ‫1‬ ‫) ‪P( A ∩ B‬‬ ‫3 /1 = 4‬ ‫= ) ‪P( A ∩ B | A ∪ B‬‬ ‫=‬ ‫‪A∪ B‬‬ ‫1 −1‬ ‫4‬ ‫ב(‬ ‫4 /1‬ ‫= ) ‪P( A ∩ B | A‬‬ ‫2 /1 =‬ ‫2 /1‬ ‫ג(‬ ‫) ‪P( A ∩ B‬‬ ‫4 /1‬ ‫= ‪P A∩ B| A∩ B ∪ A∩ B‬‬ ‫=‬ ‫2 /1 =‬ ‫4 /1+ 4 /1‬ ‫‪P A∩ B ∪ A∩ B‬‬ ‫))‬ ‫()‬ ‫((‬ ‫)))‬ ‫()‬ ‫6(‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 2 מתוך 6‬ ‫((‬ ‫(‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫פתרון:‬ ‫7( אדם מגיש מועמדות לתפקיד מסוים ועליו לעבור מבחן גרפולוגי ומבחן פסיכומטרי.‬ ‫ההסתברות שהוא יעבור את המבחן הגרפולוגי )מאורע ‪ (A‬היא 3.0, ההסתברות‬ ‫שיעבור בהצלחה את המבחן הפסיכומטרי )מאורע ‪ (B‬היא 2.0, וההסתברות שיעבור‬ ‫בהצלחה את שני המבחנים היא 1.0.‬ ‫1. חשבו את ההסתברויות הבאות: )‪. P ( A | B ), P ( A | B ), P ( A | B ), P ( A | B‬‬ ‫מה הקשר בין הסתברויות אילו?‬ ‫2. המועמד לא התקבל לעבודה. מה ההסתברות שהוא נכשל רק במבחן הגרפולוגי?‬ ‫פתרון:‬ ‫7.0 = )‪P ( A) = 0.3; P ( A‬‬ ‫8.0 = ) ‪P ( B) = 0.2; P ( B‬‬ ‫9.0 = ) ‪P ( A ∩ B ) = 0.1; P( A ∩ B‬‬ ‫א.‬ ‫5.0 = 5.0 − 1 = ) ‪P ( A / B) = 0.1 / 0.2 = 0.5 ⇒ P ( A / B‬‬ ‫) ‪P ( A ∩ B ) P ( A) − P ( A ∩ B‬‬ ‫=‬ ‫57.0 = 52.0 − 1 = ) ‪= 0.25 ⇒ P ( A / B‬‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫) ‪P( B‬‬ ‫ב.‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 3 מתוך 6‬ ‫= )‪P ( A / B‬‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫))‬ ‫()‬ ‫((‬ ‫‪P A∩ B ∩ A∩ B‬‬ ‫2.0 ⋅ 5.0 ) ‪P ( A ∩ B) P( A / B) ⋅ P( B‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫111.0 =‬ ‫9.0‬ ‫9.0‬ ‫9.0‬ ‫)‪P( A ∩ B‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 4 מתוך 6‬ ‫))‬ ‫()‬ ‫((‬ ‫= ‪P A∩ B / A∩ B‬‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫8( רבע מבין הנוסעים שעברו בנמל התעופה ביום מסוים טסו לניו יורק. המטען של 3/2‬ ‫מביניהם הגיע ליעד הנכון. כמו כן 3/2 מכלל הנוסעים באותו יום קבלו את מטענם‬ ‫ביעד הרצוי.‬ ‫1. איזה אחוז מהמטען שהיגע ליעד הנכון שייך לנוסעים לניו יורק?‬ ‫2. מבין הנוסעים נבחר נוסע אחד באופן מיקרי. האם המאורעות "הנוסע טס לניו ורק" ו"הנוסע‬ ‫קבל את המטען שלו ביעד הנכון" הם זרים? בלתי תלויים? נמק‬ ‫פתרון:‬ ‫‪ -A‬לטוס ל- ‪NY‬‬ ‫‪ -B‬מטען מגיע‬ ‫52.0 = )‪P ( A‬‬ ‫3 / 2 = ) ‪P ( B / A) = P ( B‬‬ ‫א.‬ ‫6 / 1 = )‪P ( A ∩ B ) = P( B / A) ⋅ P ( A‬‬ ‫6 /1‬ ‫= )‪P( A / B) = P( A ∩ B) / P( B‬‬ ‫52.0 =‬ ‫3/2‬ ‫ב.‬ ‫לא זרים, כן ב"ת )לפי הגדרה(‬ ‫9( לסוכן תיווך צרור של 8 מפתחות "מסר" לבתים שונים באזור. לכל בית, מתאים‬ ‫מפתח אחר מהצרור. ידוע כי %04 מהבתים אינם נעולים כלל. מה ההסתברות‬ ‫שהסוכן יוכל להיכנס לבית מסוים, אם לפני צאתו בחר באקראי 3 מפתחות‬ ‫מהצרור?‬ ‫פתרון:‬ ‫‪-A‬לבחור מפתח נכון 8 / 3 = )‪P ( A‬‬ ‫=< בהינתן זה הוא נכנס בהסתברות 1‬ ‫‪ - A‬לבחור מפתח לא נכון 8 / 5 = ) ‪ <= P( A‬בשביל להיכנס הוא צריך "מזל" , כלומר להגיע לבית לא‬ ‫נעול‬ ‫‪ -B‬להגיע לבית לא נעול 4.0 = ) ‪P ( B‬‬ ‫‪ -C‬להיכנס לבית‬ ‫526.0 = 4.0 ⋅ 8 / 5 + 8 / 3 = ) ‪P (C ) = P ( A ∪ ( A ∩ B )) = P ( A) + P ( A ∩ B‬‬ ‫*שימו לב לנקודה הבאה: אין תלות בין " בבחירת מפתח נכון " ו- "הגעה לבית לא נעול" ולכן כאשר‬ ‫מציירים עץ הסתברויות ניתן לעשות זאת בשני דרכים. בהתחלה להסתעף לפי "מפתח נכון/לא נכון"‬ ‫ואחר כך לפי "בית נעול/לא נעול" או הפוך.‬ ‫01( 3 קלפים מוצאים מחפיסת קלפים בת 25 קלפים ללא החזרה. מצאו את ההסתברות‬ ‫ל:‬ ‫1. הראשון אס אדום, השני הוא 01 או נסיך והשלישי גדול מ-3 אך קטן מ-7.‬ ‫2. השני והשלישי הם אסים מה סיכוי שהראשון גם הוא אס? מה הסיכוי שהראשון איננו אס?‬ ‫פתרון:‬ ‫א.‬ ‫21‬ ‫05‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 5 מתוך 6‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י. דויד‬ ‫ב.‬ ‫)) 1‪P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) P ( A1 ) ⋅ P( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 /( A2 ∩ A‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) 3‪P ( A2 ∩ A‬‬ ‫) 1‪P ( A2 ∩ A3 ∩ A1 ) + P ( A2 ∩ A3 ∩ A‬‬ ‫=‬ ‫= ) 3‪P( A1 / A2 ∩ A‬‬ ‫)) 1‪P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 /( A2 ∩ A‬‬ ‫)) 1‪P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 /( A2 ∩ A1 )) + P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 /( A2 ∩ A‬‬ ‫=‬ ‫234‬ ‫⋅⋅‬ ‫05 15 25‬ ‫40.0 =‬ ‫3 4 84 2 3 4‬ ‫+⋅⋅‬ ‫⋅⋅‬ ‫05 15 25 05 15 25‬ ‫3 4 84‬ ‫⋅⋅‬ ‫3‪P A1 ∩ A2 ∩ A‬‬ ‫05 15 25‬ ‫= 3‪P A1 / A2 ∩ A‬‬ ‫=‬ ‫) 3‪= 0.96 = 1 − P ( A1 / A2 ∩ A‬‬ ‫3 4 84 2 3 4‬ ‫) 3‪P( A2 ∩ A‬‬ ‫+⋅⋅‬ ‫⋅⋅‬ ‫05 15 25 05 15 25‬ ‫)‬ ‫שימו לב שניתן להכליל נוסחת הכפל למספר מאורעות כלשהו:‬ ‫) ‪P( A ∩ B ) = P( A | B )P( B‬‬ ‫) ‪P( A ∩ B ∩ C ) = P( A | B ∩ C )P( B | C )P( C‬‬ ‫) ‪P( A ∩ B ∩ C ∩ D ) = P( A | B ∩ C ∩ D )P( B | C ∩ D )P( C | D )P( D‬‬ ‫...‬ ‫תשובות:‬ ‫1(‬ ‫2(‬ ‫3(‬ ‫4(‬ ‫5(‬ ‫6(‬ ‫7(‬ ‫8(‬ ‫9(‬ ‫01(‬ ‫ב. 59.0‬ ‫א. 49.0‬ ‫5452.0‬ ‫ג. לא ולא‬ ‫96.0 ב. 647.0‬ ‫א.‬ ‫51.0‬ ‫א(3/1 ב.2/1 ג.2/1‬ ‫ב. 32/8‬ ‫א. 32.0‬ ‫9 /1‬ ‫5.0, 57.0, 5.0 , 52.0 ב.‬ ‫א.‬ ‫ב.לא, כן‬ ‫א.52.0‬ ‫526.0‬ ‫ב.40.0, 69.0‬ ‫א.5255/8‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 6 מתוך 6‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1.1912 taught by Professor Boazlerner during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online