targil4_2007a_sol_drv - ‫אוניברסיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫פתרון תרגיל 4 – משתנה מיקרי בדיד, תוחלת‬ ‫1( נתונה פונקצית התפלגות של מ"מ בדיד ‪.X‬‬ ‫א( צייר את פונקצית הסתברות )כדיאגראמת מקלות או מלבנים(.‬ ‫ב( מצא )נוסחה( וצייר פונקצית התפלגות מצטברת.‬ ‫ג( מצא תוחלת, ושונות של ‪.X‬‬ ‫ד( מצא ) 3 + ‪E( 2 X + 3 ),V ( 2 X‬‬ ‫פתרון:‬ ‫ב(‬ ‫2− < ‪x‬‬ ‫3 < ‪-2 ≤ x‬‬ ‫5<‪3≤x‬‬ ‫‪5≤x‬‬ ‫ג(‬ ‫0‪‬‬ ‫3.0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Fx ( x ) = ‬‬ ‫5.0‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5.2 = 5.0 ⋅ 5 + 2.0 ⋅ 3 + 3.0 ⋅ 2− = ) ‪E ( X‬‬ ‫5.51 = 5.0 ⋅ 52 + 2.0 ⋅ 9 + 3.0 ⋅ 4 = ) 2 ‪E ( X‬‬ ‫40.3 = ‪V ( X ) = 15.5 − 2.5 2 = 9.25 ⇒ σ X‬‬ ‫ד(‬ ‫8 = 3 + ) ‪E( 2 X + 3 ) = 2 E( X‬‬ ‫73 = ) ‪V ( 2 X + 3 ) = 4V ( X‬‬ ‫2( בכד יש 4 כדורים שחורים ושני ירוקים. נבחרים 3 כדורים אקראיים בזה אחר זה, עם החזרה.‬ ‫מצא את פונקצית ההסתברות של מס' הכדורים הירוקים.‬ ‫פתרון:‬ ‫3/2=)‪P(black‬‬ ‫,3/1=)‪P(green‬‬ ‫2‬ ‫9/2‬ ‫3‬ ‫72/1‬ ‫1‬ ‫9/4‬ ‫0‬ ‫72/8‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 1 מתוך 7‬ ‫‪-X‬מס' ירוקים‬ ‫‪(P(X‬‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫3( נתונה פונקצית הסתברות של משתנה מקרי ‪ .X‬מצא:‬ ‫א( ‪(E(X‬‬ ‫]‬ ‫ב-ג(‬ ‫9‬ ‫3/1‬ ‫6‬ ‫½‬ ‫3‬ ‫6/1‬ ‫2‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫)1 + ‪E ( 2 X‬‬ ‫2‬ ‫[‬ ‫) ) ‪E ( X − E( X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪(P(x‬‬ ‫פתרון:‬ ‫א. 5.6‬ ‫1‬ ‫12‬ ‫12‬ ‫ב. 312 = ⋅ )1 + 9 ⋅ 2 ( + ⋅ )1 + 6 ⋅ 2 ( +‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫ג. 52.4‬ ‫⋅ )1 + 3 ⋅ 2 ( = ) )1 + ‪E( ( 2 X‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫4.‬ ‫נתונה פונקצית ההסתברות הבאה:‬ ‫0=‪x‬‬ ‫)1 + ‪1 / 2(a‬‬ ‫‪‬‬ ‫)3 + ‪P( X = x) = PX ( x) = 1 / 2(a‬‬ ‫1= ‪x‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫‪‬‬ ‫א.מצא את ש ‪ a‬כך שהפונקציה הנ"ל תהיה פונקצית הסתברות.‬ ‫ב. חשב את פונקצית ההתפלגות המצטברת.‬ ‫פתרון:‬ ‫א.‬ ‫1 = )1( ‪PX (0) + PX‬‬ ‫1− = ‪1 / 2(a + 1) + 1 / 2(a + 3) = a + 2 = 1 ⇒ a‬‬ ‫כלומר‬ ‫1= ‪x‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P ( X = x) = PX ( x) = ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב.‬ ‫1< ‪x‬‬ ‫1≥ ‪x‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F X (t ) = P ( X ≤ t ) = ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5( יהי ‪ X‬משתנה-מיקרי המקבל את הערכים 2,1,0,...‬ ‫המשוואה הרקורסיבית‬ ‫...,2,1 = ‪x‬‬ ‫בהסתברויות ‪ ,(P(x‬המקיימות את‬ ‫,‪P ( x ) = 4 P ( x − 1) / x‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 2 מתוך 7‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫מצא את ‪ (P(x‬באופן מפורש.‬ ‫דרך: תניחו : ‪ , P( 0 ) = a‬אחר כך תמצאו פונקציה מדויקת ל- ‪ (P(x‬ללא רקורסיה. אחר כך תמצאו‬ ‫‪.a‬‬ ‫תשובה:‬ ‫נשתמש ברקורסיה למצוא פונקציה מדוייקת:‬ ‫‪4n‬‬ ‫4 = )‪P ( n‬‬ ‫!‪e n‬‬ ‫>=‬ ‫4−‬ ‫‪a=e‬‬ ‫>=‬ ‫‪4i‬‬ ‫1=‬ ‫!‪i‬‬ ‫∞‬ ‫∑‪a‬‬ ‫>=‬ ‫0= ‪i‬‬ ‫‪P (0) = a ‬‬ ‫‪4a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )1( ‪P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪42 a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )2( ‪P‬‬ ‫‪1⋅ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫...‬ ‫‪‬‬ ‫‪4n a ‬‬ ‫= )‪P ( n‬‬ ‫‪n! ‬‬ ‫‪‬‬ ‫...‬ ‫‪‬‬ ‫6( אדם נוסע לעבודה ועובר בדרכו שלושה רמזורים. הסיכוי לאור אדום בראשון הוא 4.0, בשני‬ ‫6.0, בשלישי 5.0.‬ ‫יהי ‪ X‬מספר הרמזורים האדומים שנעצר בהם האיש. מה פונקצית ההסתברות של ‪?X‬‬ ‫תזכורת : הסתברות של חיתוך מאורעות בלתי-תלויות שווה למכפלת ההסתברויות‬ ‫תשובה:‬ ‫21.0 = 5.0 ⋅ 4.0 ⋅ 6.0 = )0( ‪P‬‬ ‫83.0 = 5.0 ⋅ 4.0 ⋅ 6.0 + 5.0 ⋅ 6.0 ⋅ 6.0 + 5.0 ⋅ 4.0 ⋅ 4.0 = )1( ‪P‬‬ ‫21.0 = 5.0 ⋅ 6.0 ⋅ 4.0 = )3( ‪P‬‬ ‫83.0 = )3( ‪P (2) = 1 − P (0) − P (1) − P‬‬ ‫‪2 x n( n + 1) x = 1,2,3, , n‬‬ ‫‪. PX ( x) = ‬‬ ‫7( נתונה הפונקציה‬ ‫0‬ ‫אחרת‬ ‫‪‬‬ ‫1. הוכח שזו אכן פ' הסתברות.‬ ‫2. מהי פ' ההתפלגות המצטברת.‬ ‫3. חשב את )7 < ‪. P (4 ≤ X‬‬ ‫פתרון:‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 3 מתוך 7‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫א(‬ ‫‪n‬‬ ‫2‬ ‫1= ‪∑ x‬‬ ‫1= ‪n(n + 1) x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ) ‪( x ) = ∑ PX ( x‬‬ ‫1= ‪x‬‬ ‫‪∑P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫ב(‬ ‫‪1≤ x ≤ n‬‬ ‫‪n<x‬‬ ‫‪1> x‬‬ ‫)1 + ‪ x ( x ‬‬ ‫, )1 + ‪ n(n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,1‪FX ( x) = ‬‬ ‫,0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הסימון ‪ , ⋅‬משמעותו הערך השלם הקרוב ביותר מלמטה. כלומר: 2 = ‪ 2.1 = 2.9 = 2‬‬ ‫ג(‬ ‫)) 7, 4 [ ∈ ‪P( X‬‬ ‫= ) 7 < ‪P( 4 ≤ X‬‬ ‫= ) 3 ≤ ‪= P( X < 7 ) − P( X < 4 ) = P( X ≤ 6 ) − P( X‬‬ ‫) 4 ≥ ‪P( X‬‬ ‫03‬ ‫= ) 3 ( ‪= FX ( 6 ) − FX‬‬ ‫) 1 + ‪n( n‬‬ ‫8*( על שני צידי מטבע רשומים המספרים +1 ו- -1.‬ ‫מטילים את המטבע ‪ n‬פעמים ומציינים ב-‪ Y‬את סכום המספרים ב-‪ n‬ההטלות. אם ההסתברות ל- +‬ ‫1 היא ‪ ,p‬מצא את פונקצית ההסתברות של ‪.Y‬‬ ‫תשובה:‬ ‫'1+' ‪k times‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y +n‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪(n - k) times '-1' ⇒ Y = 2k − n ⇔ k‬‬ ‫‪, Y = − n,− n + 2,..., n‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪k = 0,..., n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y+n‬‬ ‫−‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y+n‬‬ ‫2 ) ‪ p 2 (1 − p‬‬ ‫‪P (Y = y ) = p k (1 − p ) n − k = ‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪ ( y + n) / 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 4 מתוך 7‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א' ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫9(‬ ‫רמז: יש רק 2 אפשרויות :‬ ‫אפשרות ראשונה : בדיקה אחת בלבד‬ ‫אפשרות שנייה : 1+‪ n‬בדיקות‬ ‫פתרון:‬ ‫‪P( sick animal) = p‬‬ ‫‪X - number of tests‬‬ ‫‪PX (1) = (1 - p) n - no sick animals‬‬ ‫‪PX (n + 1) = 1 - (1 - p) n - some animals are sick‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪E(X) = (1 - p) n + ( n + 1 ) 1 - (1 - p) n = 1 + n − n( 1 − p ) n‬‬ ‫שימו לב שאפשר להציג פתרון כמו : ) ‪1 + n(1 − (1 − p ) n‬‬ ‫יש לזה משמעות הבאה: צריך לעשות מינימום בדיקה אחת. מתי נעשה עוד ‪ n‬בדיקות נוספות?‬ ‫כאשר יש לפחות חייה אחת חולה, וזה בהסתברות ‪. 1 − (1 − p ) n‬‬ ‫01. טכנאי זוטר)‪ (A‬מספיק לתקן 2,1, או 3 מכונות ביום בהסתברות שווה. טכנאי בינוני)‪(B‬‬ ‫מספיק לתקן 5, ‪ 1,2, ‬ביום בהסתברות שווה. טכנאי בכיר)‪ (C‬מספיק לתקן 7, ‪ 1,2, ‬ביום‬ ‫בהסתברות שווה. בוחרים באקראי טכנאי. יהי ‪ X‬מספר המכונות שהוא מתקן ביום.‬ ‫1. חשבו את פ' ההסתברות של ‪ X‬ואת ‪.(E(X‬‬ ‫7‬ ‫1‬ ‫12‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫12‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+‬ ‫51 12‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+‬ ‫51 12‬ ‫1‬ ‫11‬ ‫++‬ ‫9 51 12‬ ‫1‬ ‫11‬ ‫++‬ ‫9 51 12‬ ‫7‬ ‫3= ) ‪E ( X ) = ∑ xP( X = x‬‬ ‫1= ‪x‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 5 מתוך 7‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫1 )‪P ( X = x‬‬ ‫11‬ ‫++‬ ‫9 51 12‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫2. חשבו את התוחלת של מספר המכונות שכל אחד מהטכנאים מתקן ביום, ומצא את הקשר‬ ‫לסעיף א'.‬ ‫2 = ‪µA‬‬ ‫3 = ‪µB‬‬ ‫4 = ‪µC‬‬ ‫1‬ ‫) ‪E ( X ) = (µ A + µ B + µ C‬‬ ‫3‬ ‫תשובות:‬ ‫1(‬ ‫ב(‬ ‫2− < ‪x‬‬ ‫3 < ‪-2 ≤ x‬‬ ‫5<‪3≤x‬‬ ‫‪5≤x‬‬ ‫ג(‬ ‫0‪‬‬ ‫3.0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Fx ( x ) = ‬‬ ‫5.0‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5.2 = ) ‪E( X‬‬ ‫40.3 = ‪V ( X ) = 9.25 ⇒ σ X‬‬ ‫ד(‬ ‫8 = ) 3 + ‪E( 2 X‬‬ ‫73 = ) 3 + ‪V ( 2 X‬‬ ‫2(‬ ‫2‬ ‫9/2‬ ‫3‬ ‫72/1‬ ‫1‬ ‫9/4‬ ‫0‬ ‫72/8‬ ‫3(‬ ‫א. 5.6‬ ‫ב. 312‬ ‫ג. 52.4‬ ‫4(‬ ‫1-=‪a‬‬ ‫1< ‪x‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F X (t ) = P ( X ≤ t ) = ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1≥ ‪x‬‬ ‫5(‬ ‫‪4n‬‬ ‫!‪e 4 n‬‬ ‫6(‬ ‫= )‪P ( n‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 6 מתוך 7‬ ‫‪-X‬מס' ירוקים‬ ‫‪(P(X‬‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫21.0 = ) 0 (‪P‬‬ ‫83.0 = ) 1 (‪P‬‬ ‫21.0 = ) 3 (‪P‬‬ ‫83.0 = ) 2 (‪P‬‬ ‫7(‬ ‫‪1≤ x ≤ n‬‬ ‫‪n<x‬‬ ‫‪1> x‬‬ ‫)1 + ‪ x ( x ‬‬ ‫, )1 + ‪ n(n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,1‪FX ( x) = ‬‬ ‫,0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הסימון ‪ , ⋅‬משמעותו הערך השלם הקרוב ביות מלמטה. כלומר: 2 = ‪ 2.1 = 2.9 = 2‬‬ ‫ג(‬ ‫03‬ ‫) 1 + ‪n( n‬‬ ‫8(‬ ‫‪y +n‬‬ ‫−‪n‬‬ ‫2‬ ‫) ‪(1− p‬‬ ‫‪y +n‬‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P( Y = y ) = p k ( 1 − p ) n −k = ‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪( y + n ) / 2 p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫9(‬ ‫‪E(X) = (1 - p) + ( n + 1 ) 1 - (1 - p) = 1 + n − n( 1 − p )n‬‬ ‫01(‬ ‫א( 3‬ ‫ב(‬ ‫2 = ‪µA‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫3 = ‪µB‬‬ ‫4 = ‪µC‬‬ ‫1‬ ‫) ‪E ( X ) = (µ A + µ B + µ C‬‬ ‫3‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 7 מתוך 7‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online