targil9_2007a_clt_sol - ‫אוניברסיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' דויד‬ ‫פתרון תרגיל 9 ) התכנסות בהסתברות , משפט הגבול המרכזי , קירוב בינומי‬ ‫לנורמלי (‬ ‫1. יש לבדוק האם סדרת משתנים מיקריים ..., 2 ‪ X 1, X‬מתכנסת בהסתברות לקבוע כלשהו, כאשר:‬ ‫1‪‬‬ ‫1= ‪k‬‬ ‫‪ 2n‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪P( X n = k ) = ‬‬ ‫2=‪k‬‬ ‫‪ 2n‬‬ ‫1‪‬‬ ‫3=‪k‬‬ ‫‪1 − n‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון:‬ ‫נוכיח ש: 3 → ‪X n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫יהי 0 > ‪, ε‬‬ ‫‪1 ≥ P ( X n − 3 < ε ) ≥ P( X n = 3 ) = 1 − 1 / n‬‬ ‫1 = ) ‪lim( 1 − 1 / n‬‬ ‫∞→ ‪n‬‬ ‫1 = ) ‪⇒ lim P ( X n − 3 < ε‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫2. יש לבדוק האם סדרת משתנים מיקריים ..., 2 ‪ X 1, X‬מתכנסת בהסתברות לקבוע כלשהו, כאשר:‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5.0 = ‪P X n = = P X n = − ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון:‬ ‫‪P‬‬ ‫נוכיח ש: 0 → ‪X n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫יהי 0 > ‪, ε‬‬ ‫) ‪P ( X n − 0 < ε ) = P( X n < ε‬‬ ‫נבחר ‪ N‬גדול מ- ‪ , 1 / ε‬אזי מתקיים:‬ ‫1 = ) ‪ , P( X n < ε‬לכל ‪ n > N‬ולכן‬ ‫1 = ) ‪lim P( X n < ε‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫0→ ‪⇒ X n‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 1 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' דויד‬ ‫3. נתונה‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫אוכלוסיה בעלת התפלגות עם ממוצע 0 ושונות 9.‬ ‫מהי ההסתברות שמדגם מיקרי, הכולל 06 תצפיות מאוכלוסיה מקורית, יהיה בעל ממוצע‬ ‫שלילי?‬ ‫מדגם מקרי בגודל 05 מוצא מאולוסיה זו. מה הסתברות שממוצע המדגם קטן מ-1 ?‬ ‫איזה אחוז מהמדגם בגודל 001 שאפשר להוציא מהאוכלוסייה המתוארת הם בעלי‬ ‫ממוצע בתחום מ 51.0 עד 54.0?‬ ‫פתרון:‬ ‫0 = ) ‪E( X‬‬ ‫9 = ) ‪V( X‬‬ ‫א( מטעמי סימטריה :‬ ‫4. ההסתברות להחלמה ממחלת דם נדירה היא 4.0. מה ההסתברות שמתוך 001 איש החולים‬ ‫במחלה מספר המחלימים יהיה קטן מ – 03?‬ ‫פתרון:‬ ‫) 4.0, 001 (‪X ~ B‬‬ ‫42 = ) ‪V ( X‬‬ ‫04 = ) ‪E( X‬‬ ‫נסמן ב- ‪ X‬את מספר המחלימים:‬ ‫04 − 5.92‬ ‫( ‪P( X < 30 ) = Φ‬‬ ‫.610.0 = )‬ ‫42‬ ‫5. בשכונה נמצא שמספר המכוניות הממוצע למשפחה הוא 1 והשונות היא 7.0. קבלן מתכנן בניין‬ ‫חדש בשכונה שבו 43 דירות זהות. הקבלן רוצה לתכנן את גודלו של מגרש החניה כך‬ ‫שבהסתברות של %59 לפחות, המגרש יספיק לכל דיירי הבית. מהו גודל המגרש המינימלי ‪k‬‬ ‫העונה על הדרישה?‬ ‫פתרון:‬ ‫עבור מס' המכוניות למשפחה‬ ‫1= ‪µ‬‬ ‫7.0 = 2 ‪σ‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 2 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' דויד‬ ‫נסמן ב ‪ X‬את מספר המכוניות הכולל בבניין, נסמן ‪ - X‬מס' ממוצע של מכוניות למשפחה בבניין:‬ ‫341.0 = 43 / 7.0 = ‪σ X‬‬ ‫⇒ 59.0 ≥ ) 43 / ‪P( X ≤ k ) ≥ 0.95 ⇒ P( X ≤ k‬‬ ‫1 − 43 / ‪k‬‬ ‫1 − 43 / ‪k‬‬ ‫(‪φ‬‬ ‫⇒ 59.0 ≥ )‬ ‫.24 ≥ ‪≥ z0.95 = 1.645 ⇒ k‬‬ ‫341.0‬ ‫341.0‬ ‫24=‪ k‬לפחות.‬ ‫6. בתהליך יצור קיימים שני סוגי כשלים: ‪ A‬ו- ‪ , B‬בלתי תלויים.‬ ‫ההסתברות לפגם מסוג ‪ A‬היא 30.0.‬ ‫ההסתברות לפגם מסוג ‪ B‬היא 20.0.‬ ‫מה הסתברות שבמדגם בן 001 יחידות יהיו למעלה מ-5 יחידות פגומות?‬ ‫פתרון:‬ ‫נסמן ב 30.0=‪ PA‬את הסיכוי לפגם מסוג ‪.A‬‬ ‫נסמן ב 20.0=‪ PB‬את הסיכוי לפגם מסוג ‪.B‬‬ ‫ההסתברות ליחידה תקינה:‬ ‫)1- 159.0= )‪PA)(1- PB‬‬ ‫ההסתברות ליחידה פגומה:‬ ‫6059.0-1=940.0‬ ‫נסמן ב - ‪ X‬את מספר היחידות הפגומות מתוך 001.‬ ‫) 940.0, 001 (‪X ~ B‬‬ ‫49.4 − 5.5‬ ‫4.0 = ) 852.0 ( ‪) = 1 − Φ‬‬ ‫001 ⋅ 159.0 ⋅ 4940.0‬ ‫( ‪P( X > 5 ) = 1 − P( X ≤ 5 ) = 1 − Φ‬‬ ‫7 . נער מוכר עיתונים לאנשים אשר עוברים על פניו, כל אחד מהם קונה עיתון בהסתברות 5.0. מהי‬ ‫ההסתברות שמספר האנשים אשר יעברו על פניו של הנער במשך מכירת 001 עיתונים יהיה בין‬ ‫081 ל–032?‬ ‫פתרון:‬ ‫נסמן ב- ‪ X i‬את מספר האנשים העוברים על פני הנער ממכירת העיתון ה-1 ‪ i‬עד מכירת העיתון ה- ‪i‬‬ ‫)כולל(:‬ ‫1‬ ‫‪Xi‬‬ ‫) (‪G‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2 = = ) ‪E( X i‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1− p‬‬ ‫2 = 2 = ) ‪V (Xi‬‬ ‫‪p‬‬ ‫001‬ ‫001‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫002 = ) ‪E( ∑ X i ) =V ( ∑ X i‬‬ ‫לפי משפט הגבול המרכזי‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 3 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' דויד‬ ‫002 − 032‬ ‫002 − 081‬ ‫(‪) − Φ‬‬ ‫)‬ ‫002‬ ‫002‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫.7309.0 = 3970.0 − 389.0 = )14.1−( ‪= Φ( 2.12) − Φ‬‬ ‫001‬ ‫( ‪P (180 ≤ ∑ X i ≤ 230) = Φ‬‬ ‫8. נתון 0001,10.0(‪ , (X~B‬השתמש ב"קירוב נורמלי לבינומי" בשביל לחשב:‬ ‫א(‬ ‫ב(‬ ‫ג(‬ ‫ד(‬ ‫ה(‬ ‫51>‪(P(X‬‬ ‫)8 ≤ ‪P ( X‬‬ ‫)21 ≤ ‪P (8 < X‬‬ ‫)21 < ‪P (8 < X‬‬ ‫)21 = ‪P ( X‬‬ ‫פתרון:‬ ‫9.9 = ) ‪E( X ) = 10 ,V ( X‬‬ ‫01 − 5.51‬ ‫40.0 = ) 57.1 ( ‪) = 1 − φ‬‬ ‫9.9‬ ‫01 − 5.8‬ ‫( ‪( b ) P( X ≤ 8 ) ≈ φ‬‬ ‫23.0 = ) 74.0− ( ‪) = φ‬‬ ‫9.9‬ ‫01 − 5.21‬ ‫01 − 5.8‬ ‫( ‪( c ) P( 8 < X ≤ 12 ) ≈ φ‬‬ ‫(‪) − φ‬‬ ‫74.0 = ) 74.0− ( ‪) = φ ( 0.79 ) − φ‬‬ ‫9.9‬ ‫9.9‬ ‫01 − 5.11‬ ‫01 − 5.8‬ ‫( ‪( d ) P( 8 < X < 12 ) ≈ φ‬‬ ‫(‪) − φ‬‬ ‫73.0 = ) 74.0− ( ‪) = φ ( 0.48 ) − φ‬‬ ‫9.9‬ ‫9.9‬ ‫01 − 5.21‬ ‫01 − 5.11‬ ‫( ‪( e ) P( X = 12 ) ≈ φ‬‬ ‫(‪) − φ‬‬ ‫1.0 = ) 84.0 ( ‪) = φ ( 0.79 ) − φ‬‬ ‫9.9‬ ‫9.9‬ ‫( ‪( a ) P( X > 15 ) ≈ 1 − φ‬‬ ‫9.‬ ‫יהי ‪ – Xi‬מספר האנשים חולי סכרת במדינה מסוימת בשנה ‪ .i‬כל ושב מדינה יכול להיות חולה‬ ‫במחלת "כחלת" בהסתברות ‪ ,p‬ללא תלות בתושבים אחרים. במדינה זו חיים מליון תושבים )גודל‬ ‫אוכלוסיה לא משתנה משנה לשנה(. שר האוצר מעוניין להעריך את ההסתברות שמספר חולי‬ ‫"כחלת" הצפויים בשנת 0102 יהיה לפחות 0501 .‬ ‫מה צריך להיות ‪) p‬בערך( בכדי שהסתברות לא תעלה על 10.0 ?‬ ‫הערה: מספיק רק להגיע למשוואה . יתכן שפתרון מדויק מצריך חיפוש נומרי - מומלץ להיעזר‬ ‫במחשב.‬ ‫פתרון:‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 4 מתוך 5‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' דויד‬ ‫‪1049.5 −np‬‬ ‫‪1049.5 −np‬‬ ‫(‪) = 1−φ‬‬ ‫10.0 = )‬ ‫‪npq‬‬ ‫‪npq‬‬ ‫תשס"ז, סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫≥ ‪P (Y ≥ 1050) ≈ P ( Z‬‬ ‫‪1049.5 −np‬‬ ‫99.0 = )‬ ‫‪npq‬‬ ‫89000.0 ≈ ‪= 2.33 = > p‬‬ ‫(‪φ‬‬ ‫‪1049.5 −10 6 p‬‬ ‫) 2 ‪10 6 ( p − p‬‬ ‫יצרן כדורים יודע ש- %5 מהתוצרת פגומה. הוא נותן אחריות על משלוח של‬ ‫01.‬ ‫00001 כדורים ע"י כך שהוא מתחייב להחזיר את הכסף אם יתברר שקיימים ‪ a‬או‬ ‫יותר פגומים במשלוח. מהו ‪ a‬המינימלי המבטיח שבהסתברות %59 לפחות היצרן‬ ‫לא יצטרך להחזיר את הכסף?‬ ‫פתרון:‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 5 מתוך 5‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1.1912 taught by Professor Boazlerner during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online