targil10_2007a_sol_cv - ‫אוניברסיטת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫תשס"ז סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫פתרון תרגיל 0 1 – משתנה מיקרי רציף‬ ‫1.‬ ‫1 ≤ ‪6 x(1 − x) 0 ≤ x‬‬ ‫‪. f X ( x) = ‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫אחרת‬ ‫0‪‬‬ ‫1. הוכח שזו אכן פ' צפיפות.‬ ‫פתרון:‬ ‫1‬ ‫1 = 1| ) 3 ‪− 2 x‬‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫‪∫ 6 x(1 − x)dx = (3x‬‬ ‫0‬ ‫,0 ≥ )‪6 x (1 − x‬‬ ‫]1,0[ ∈ ‪∀x‬‬ ‫2. מהי פ' ההתפלגות המצטברת.‬ ‫פתרון:‬ ‫0<‪x‬‬ ‫1> ‪x‬‬ ‫,0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,1‪FX ( x) = ‬‬ ‫]1,0[ ∈ ‪3 x 2 − 2 x 3 , x‬‬ ‫‪‬‬ ‫3. חשב את )5.0 < ‪P ( X > 0.4 | X‬‬ ‫פתרון:‬ ‫)4.0 < ‪P ( X > 0.4 ∩ X < 0.5) P( X < 0.5) − P ( X‬‬ ‫= )5.0 < ‪P ( X > 0.4 | X‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)5.0 < ‪P ( X‬‬ ‫)5.0 < ‪P ( X‬‬ ‫)4.0( ‪FX (0.5) − FX‬‬ ‫692.0 =‬ ‫)5.0( ‪FX‬‬ ‫4. מה התוחלת ושונות של ‪. X‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫פתרון: 5.0 = ‪E ( x) = ∫ x(6 x(1 − x))dx = ∫ (6 x 2 − 6 x 3 )dx‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫3.0 = ‪E ( x ) = ∫ x (6 x(1 − x))dx = ∫ (6 x 3 − 6 x 4 )dx‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫50.0 = 52.0 − 3.0 = ) ‪V ( X‬‬ ‫5. חשב תוחלת ושונות של 5+‪Y=3X‬‬ ‫יהיו )‪ f1 ( x‬ו- )‪ f 2 ( x‬פונקציות צפיפות. יהיו ‪ a‬ו-‪ b‬קבועים. תהי )‪. f 3 ( x) = af 1 ( x ) + bf 2 ( x‬‬ ‫2.‬ ‫מהם התנאים על ‪ a‬ו- ‪ b‬כך )‪ f 3 ( x‬תהייה פונקצית צפיפות?‬ ‫פתרון:‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 1 מתוך 6‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫0 ≥ )‪f 3 ( x ) = af 1 ( x) + bf 2 ( x‬‬ ‫תשס"ז סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫‪if a, b ≥ 0 , then‬‬ ‫‪and‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞−‬ ‫∞−‬ ‫1 = )‪f 3 ( x)dx = a ∫ f 1 ( x)dx + b ∫ f 2 ( x)dx = a + b ⇒ ( a + b‬‬ ‫3.‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫∞−‬ ‫נתונה פונקצית הצפיפות של משתנה מקרי ‪:X‬‬ ‫2<‪0≤ x‬‬ ‫3<‪2≤ x‬‬ ‫‪else‬‬ ‫1( מהו ‪?C‬‬ ‫2(‬ ‫חשב ושרטט את ‪. (F(x) ,f(x‬‬ ‫3( מצא ‪.(E(X‬‬ ‫פתרון:‬ ‫א(‬ ‫ב(‬ ‫ג.‬ ‫3‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x − 2x‬‬ ‫∫ + ‪dx‬‬ ‫457.1 = ‪dx‬‬ ‫3‬ ‫31‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫∫ = ‪µX‬‬ ‫0‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 2 מתוך 6‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 − 2 ‪f ( x ) = c x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫4.‬ ‫תשס"ז סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫‪ X‬מ"מ המקיים:‬ ‫0<‪t‬‬ ‫0≥‪t‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪−k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪, P ( X > t ) = ‬‬ ‫+1‬ ‫‪ k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור 0>‪.k‬‬ ‫1. מצא את פ' ההתפלגות המצטברת של ‪) X‬רמז: זה מאוד פשוט(‬ ‫2. מצא את פונקצית הצפיפות של ‪) .X‬רמז: ) ‪( f x ( x ) = FX ′ ( x‬‬ ‫3. מהי התוחלת של ‪) X‬עבור המקרה שבו 1> ‪? (k‬‬ ‫פתרון:‬ ‫א(‬ ‫= ) ‪FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = 1 − P ( X > x‬‬ ‫0<‪x‬‬ ‫0≥‪x‬‬ ‫ב(‬ ‫0<‪x‬‬ ‫0≥‪x‬‬ ‫ג(‬ ‫,0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= x -k‬‬ ‫‪1 − 1 + k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫, 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1- ‪f x ( x ) = FX ( x ) = x -k‬‬ ‫‪1 + k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫′‬ ‫: ‪ for example‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 + = t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫1- ‪- k‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫)1 − ‪ x = k (t‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫‪ x‬‬ ‫= ... = ‪‬‬ ‫‪xf x ( x) dx = ∫ x1 + dx = ‬‬ ‫∫‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪k‬‬ ‫‪dt = dx ⇒ k ⋅ dt = dx ‬‬ ‫0‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 = ‪x = 0 ⇒ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞ = ‪x = ∞ ⇒ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5( נתונה פונקצית הצפיפות של מ"מ ‪X‬‬ ‫‪t <θ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫) ‪f X (t ) = −λ ( t −θ‬‬ ‫‪t ≥θ‬‬ ‫‪λe‬‬ ‫מצא את ‪(FX(t) , E(X), V(X‬‬ ‫פתרון:‬ ‫‪t <θ‬‬ ‫‪t ≥θ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪FX (t ) = ‬‬ ‫) ‪− λ ( t −θ‬‬ ‫‪1 − e‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 3 מתוך 6‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫1‬ ‫‪+θ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫תשס"ז סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫∞‬ ‫= ‪E( X ) = ∫ λe −λ ( t −θ ) ⋅ t ⋅ dt‬‬ ‫‪2 2θ‬‬ ‫+‬ ‫2 ‪+θ‬‬ ‫2‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∞‬ ‫= ‪E ( X 2 ) = ∫ λe −λ ( t −θ ) ⋅ t 2 ⋅ dt‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫2‬ ‫‪2 2θ‬‬ ‫1‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫+‬ ‫2 = ‪+θ 2 − +θ ‬‬ ‫2‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ) ‪V (X‬‬ ‫6 *( אתה מכניס את האוטו לטיפול במוסך. הטיפול מורכב מארבעה טיפולי משנה )מנוע, חשמל,‬ ‫בלמים ופחחות( המתבצעים במקביל, ומשכי טיפולי המשנה, מדודים בשעות, אינם תלויים זה בזה‬ ‫)זה מין מוסך שכזה( והם מתפלגים כמשתנה ‪ X‬בעל צפיפות‬ ‫1 ≤ ‪2 x 0 ≤ x‬‬ ‫‪. f X ( x) = ‬‬ ‫‪0 otherwise‬‬ ‫מהי תוחלת משך הזמן של כל אחד מטיפולי המשנה?‬ ‫1.‬ ‫מה ההסתברות שהאוטו יהיה במוסך פחות משלושת רבעי השעה? )רק זמן הטיפול‬ ‫2.‬ ‫נחשב(.‬ ‫חשב את תוחלת ושונות זמן השהייה במוסך )זמן הטיפול הכולל(.‬ ‫3.‬ ‫פתרון:‬ ‫א( 3/2‬ ‫ב(‬ ‫) 4 ‪Y = max( X 1 , X 2 , X 3 , X‬‬ ‫= ) 4 / 3 < 4 ‪P( Y < 3 / 4 ) = P( X 1 < 3 / 4 )P( X 2 < 3 / 4 )P( X 3 < 3 / 4 )P( X‬‬ ‫4‬ ‫4 /3‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫62600.0 = 4 52182.0 = ‪= P( X < 3 / 4 ) = ∫ 2 xdx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫ג(‬ ‫4‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫8 ‪FY (t ) = P (Y ≤ t ) = P ( X ≤ t ) 4 = ∫ 2 xdx = t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1,0[ 7 ‪f Y (t ) = 8t‬‬ ‫1‬ ‫98.0 = ‪E(Y) = ∫ 8t 8 dt‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫8.0= ‪E(Y 2 ) = ∫ 8t 9 dt‬‬ ‫0‬ ‫778900.0 = ) ‪V (Y‬‬ ‫7(‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 4 מתוך 6‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫פתרון:‬ ‫תשס"ז סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫]21,01[ ‪D ~ U‬‬ ‫1‬ ‫= )‪f D ( x‬‬ ‫2‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫021 / 1 = ‪E (CD ) = ∫ Cx − 2 ⋅ dx‬‬ ‫2‬ ‫01‬ ‫2−‬ ‫8(‬ ‫אורך החיים של נורות מתפלג מעריכית . תוחלת אורך החיים של נורה המיוצרת במפעל ‪A‬‬ ‫היא 051 ש' ותוחלת אורך החיים של נורה המיוצרת במפעל ‪ B‬היא 001 ש'. %03 של‬ ‫הנורות בשוק הן ממפעל ‪ A‬והשאר ממפעל ‪.B‬‬ ‫1. מהו אחוז הנורות שאורך חייהן נמוך מ-021 שעות?‬ ‫2. נורה דולקת כבר יותר מ-59 שעות. מה ההסתברות שהיא יוצרה על ידי מפעל ‪? B‬‬ ‫פתרון:‬ ‫)001 / 1(‪XA ~ Exp(1 / 150); XB ~ Exp‬‬ ‫3.0 = )‪P ( A‬‬ ‫55.0 = 051 / 021− ‪P ( XA < 120) = 1 − e‬‬ ‫996.0 = 001 / 021− ‪P ( XB < 120) = 1 − e‬‬ ‫35.0 = 051 / 59− ‪P ( XA > 95) = e‬‬ ‫783.0 = 001 / 59− ‪P ( XB > 95) = e‬‬ ‫) ‪(a‬‬ ‫3456.0 = 996.0 ⋅ 7.0 + 55.0 ⋅ 3.0 = )021 < ‪P ( X‬‬ ‫) ‪(b‬‬ ‫7.0 ⋅ 783.0‬ ‫= )59 > ‪P ( B / X‬‬ ‫36.0 =‬ ‫3.0 ⋅ 35.0 + 7.0 ⋅ 783.0‬ ‫9(‬ ‫נתונים ‪ n‬מ"מ בלתי תלויים שמתפלגים מעריכית:‬ ‫‪ , X i ~ Exp(λ ), i = 1,..., n‬נגדיר } ‪Y = min{ X 1 ,..., X n‬‬ ‫הוכח:‬ ‫) ‪Y ~ Exp(nλ‬‬ ‫פתרון:‬ ‫= ) ‪FY (t ) = 1 − P (Y > t ) = 1 − P ( X 1 > t , X 2 > t ,..., X n > t‬‬ ‫= ‪= 1 − P ( X 1 > t ) P( X 2 > t ) × ... × P ( X n > t ) = 1 − (1 − FX (t )) n‬‬ ‫‪= 1 − (1 − (1 − e −λt )) n = 1 − e −λtn‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 5 מתוך 6‬ ‫אוניברסיטת בן-גוריון בנגב המחלקה להנדסת תעשיה וניהול‬ ‫קורס: מבוא להסתברות לתעו"נ )1401-1-463(‬ ‫מרצה: פרופ' י.דויד‬ ‫01.‬ ‫תשס"ז סמסטר א'‬ ‫ינו 2102‬ ‫ממוצע הציונים בכיתה ‪) A‬משתנה רציף( מתפלג נורמלית עם תוחלת 08 וסטיית תקן 7.‬ ‫ממוצע הציונים בכיתה ‪ B‬מתפלג אחיד בין 56 ל-59. ממוצע הציונים של חיים מכיתה ‪ A‬הינו 07.‬ ‫ממוצע הציונים של שלומי מכיתה ‪ B‬הינו 86.‬ ‫1. השווה תוחלת ממוצע ציונים של כיתה ‪ A‬כנגד זו של כיתה ‪.B‬‬ ‫2. מי תלמיד יותר טוב )יחסית לכיתה שלו (, חיים או שלומי ? הסבר התוצאה.‬ ‫פתרון:‬ ‫א(‬ ‫) ‪X B ~ U (65,95) = > E ( X B ) = (65 + 95) / 2 = 80 = E ( X A‬‬ ‫ב( אנחנו נשווה "איזה חלק מהתלמידים פחות טובים מחיים בכיתה שלו" לעומת "איזה חלק‬ ‫מהתלמידים פחות טובים משלומי בכיתה שלו"‬ ‫1.0 = )56 − 59(/ )56 − 86( = )86( ‪FX B‬‬ ‫‪ 70 − 80 ‬‬ ‫‪FX A (70) = φ ‬‬ ‫80.0 ≈ )34.1( ‪ = φ ( − 1.428) = 1 − φ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫כלומר שלומי יותר "מוצלח" יחסית לכיתה שלו.‬ ‫11. מערכת תאורה מורכבת מ-4 נורות, שאורך החיים )בשעות( של כל אחת מהן מתפלג‬ ‫) 2 01,051( ‪ . N‬כדי שהמערכת תספק תאורה נאותה נדרש שלפחות 3 מתוך ה-4 יאירו.‬ ‫1. מה ההסתברות שהמערכת תאיר במשך 531 שעות לפחות? )הניחו שכל הנורות‬ ‫במערכת ב"ת(.‬ ‫2. החלטתם לקנות מערכות מסוג זה עד שלראשונה תתקו במערכת שתאיר פחות מ-‬ ‫531 שעות. מהי תוחלת ושונות מספר המערכות מסוג זה שתקנו?‬ ‫פתרון:‬ ‫2‬ ‫) 01,051( ‪X ~ N‬‬ ‫51 −‬ ‫339.0 = )‬ ‫01‬ ‫‪ 4‬‬ ‫579.0 = 4 339.0 + )339.0 − 1( 3339.0‪Y ~ B (0.933,4) = > P (Y ≥ 3) = ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫( ‪(a ) P ( X > 135) = 1 − φ‬‬ ‫)579.0 − 1( ‪(b)Y 1 ~ G‬‬ ‫76.04 = 620.0 / 1 = )1 ‪E (Y‬‬ ‫253.3161 = )1 ‪V (Y‬‬ ‫הוכן ע"י: בוריס‬ ‫עמוד 6 מתוך 6‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online