lecture draft 1 - ‫אוניברסיטת בן...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת בן גוריון‬ ‫בית הספר לניהול‬ ‫המחלקה למנהל עסקים‬ ‫1801-2-463‬ ‫סטטיסטיקה בניהול‬ ‫תשס"ז, סמסטר סתו‬ ‫מרצה: ד"ר ישראל דויד‬ [email protected] ‫יסודות בהסתברות‬ ‫מה ההסתברות ל"עץ" בהטלת מטבע הוגן? —‬ ‫מה ההסתברות ל"4" בהטלת קוביה הוגנת? —‬ ‫מה ההסתברות לקבלת תוצאה זוגית בהטלת קוביה הוגנת?‬ ‫תוצאה שמתחלקת ב-3? —‬ ‫חישוב הסתברויות כרוך בספירה ‪ ‬קומבינטוריקה.‬ ‫מינוח‬ ‫1. מרחב המידגם‬ ‫2. מאורע‬ ‫3. הסתברות של מאורע‬ ‫דוגמאות למאורעות במרחב אחיד, ולחישוב הסתברויותיהם‬ ‫מטילים שתי קוביות הוגנות – אחת שחורה ואחת לבנה.‬ ‫רושמים התוצאה ע"י )‪ (x,y‬כאשר ‪ x‬הוא התוצאה בשחורה ו-‪y‬‬ ‫בלבנה.‬ ‫נגדיר מאורעות ונשאל מה הסתברותם:‬ ‫‪" – A‬שתי התוצאות בקוביות שוות זו לזו".‬ ‫)6,1( )5,1( )4,1( )3,1( )2,1( )1,1(‬ ‫)6,2( )5,2( )4,2( )3,2( )2,2( )1,2(‬ ‫)6,3( )5,3( )4,3( )3,3( )2,3( )1,3(‬ ‫)6,4( )5,4( )4,4( )3,4( )2,4( )1,4(‬ ‫)6,5( )5,5( )4,5( )3,5( )2,5( )1,5(‬ ‫)6,6( )5,6( )4,6( )3,6( )2,6( )1,6(‬ ‫‪" – B‬התוצאה בקוביה השחורה היא 5".‬ ‫‪" – C‬התוצאה בקוביה הלבנה היא 7".‬ ‫‪" – D‬התוצאה בקוביה הלבנה קטנה מ-8 ובלבנה קטנה מ-9".‬ ‫‪" – E‬התוצאה בקוביה הלבנה גדולה ממש מהתוצאה‬ ‫בשחורה".‬ ‫‪" – F‬התוצאה בקוביה השחורה מתחלקת ב-3".‬ ‫‪" – G‬התוצאה בקוביה הלבנה מתחלקת ב-3".‬ ‫‪" – H‬התוצאה בקוביה השחורה או הלבנה )או בשתיהם(‬ ‫מתחלקת ב-3".‬ ‫)6,1( )5,1( )4,1( )3,1( )2,1( )1,1(‬ ‫)6,2( )5,2( )4,2( )3,2( )2,2( )1,2(‬ ‫)6,3( )5,3( )4,3( )3,3( )2,3( )1,3(‬ ‫)6,4( )5,4( )4,4( )3,4( )2,4( )1,4(‬ ‫)6,5( )5,5( )4,5( )3,5( )2,5( )1,5(‬ ‫)6,6( )5,6( )4,6( )3,6( )2,6( )1,6(‬ ‫‪ ‬מינוח של תורת הקבוצות.‬ ‫פעולות על קבוצות ) מאורעות (‬ ‫‪A, B ⊂ Ω‬‬ ‫מאורעות.‬ ‫פעולת האיחוד:‬ ‫פעולת החיתוך:‬ ‫מאורעות זרים:‬ ‫פעולת המשלים:‬ ( ‫חוקים לגבי פעולות על קבוצות ) מאורעות‬ A ∪ A = A .1 A ∩ A = A .2 A ∪ Ac = Ω .3 A ∩ Ac = Φ .4 ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) .5 ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) .6 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .7 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) .8 ( A ∪ B) c = Ac ∩ B c .9 ( A ∩ B ) c = Ac ∪ B c .10 ‫תכונות פונקצית ההסתברות‬ ‫1. 1 = )‪P (Ω‬‬ ‫, 0 = ) ‪, P (Φ‬‬ ‫ולכל ‪ A ⊂ Ω‬מתקיים:‬ ‫1 ≤ )‪. 0 ≤ P ( A‬‬ ‫2. עבור מאורעות זרים ‪ A, B‬מתקיים:‬ ‫) ‪. P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B‬‬ ‫3. עבור מאורעות כלשהם ‪ A, B‬מתקיים:‬ ‫) ‪. P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B‬‬ ‫4. עבור כל מאורע ‪ A‬מתקיים:‬ ‫)‪. P( Ac ) = 1 − P( A‬‬ ‫----------------------‬‫נדגים את התכונות הנ"ל על כמה מהמאורעות שהוגדרו על הטלת זוג‬ ‫הקוביות:‬ ‫א. ראינו כבר קודםש- ‪. H = F ∪ G‬‬ ‫ב. מהו ‪? F ∩ G‬‬ ‫)6,1( )5,1( )4,1( )3,1( )2,1( )1,1(‬ ‫)6,2( )5,2( )4,2( )3,2( )2,2( )1,2(‬ ‫)6,3( )5,3( )4,3( )3,3( )2,3( )1,3(‬ ‫)6,4( )5,4( )4,4( )3,4( )2,4( )1,4(‬ ‫)6,5( )5,5( )4,5( )3,5( )2,5( )1,5(‬ ‫)6,6( )5,6( )4,6( )3,6( )2,6( )1,6(‬ ‫ב. מהו המאורע ‪? Ac‬‬ ‫מאורעות בלתי-תלויים‬ ‫הגדרה‬ ‫מאורעות ‪ A‬ו-‪ B‬הם בלתי-תלויים אם ורק אם:‬ ‫) ‪P ( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P ( B‬‬ ‫)"חוק המכפלה"(.‬ ‫לאור ההגדרה יהיה נוח אם-כן לצרף תכונה חמישית לרשימת תכונות‬ ‫פונקצית ההסתברות:‬ ‫5. עבור מאורעות בלתי-תלויים ‪ A, B‬מתקיים:‬ ‫) ‪. P ( A ∩ B) = P( A) ⋅ P ( B‬‬ ‫הסבר ודוגמאות‬ ‫אם ‪ A‬ו- ‪ B‬מאורעות בלתי-תלויים אזי גם:‬ ‫1. ‪ A‬ו- ‪ B‬מאורעות בלתי-תלויים.‬ ‫2. ‪ A‬ו- ‪ B‬מאורעות בלתי-תלויים.‬ ‫3. ‪ A‬ו- ‪ B‬מאורעות בלתי-תלויים.‬ ‫הוכחה ל-1:‬ ‫תרגיל: הוכח את 2. ואת 3.‬ ‫דוגמאות של תלות מאורעות‬ ‫1.‬ ‫‪ B‬ו-‪ E‬בדוגמת זוג הקוביות המסודרות‬ ‫2.‬ ‫מיפקד האוכלוסין ארה"ב 0791‬ ‫בעיות כלליות לדוגמא‬ ‫שאלה‬ ‫יהיו ‪ A,B,C‬מאורעות. נתון:‬ ‫4.0 = )‪P(C‬‬ ‫חשב את ההסתברויות:‬ ‫) ‪3. P( B ∪ C‬‬ ‫1.0 = )‪P(B‬‬ ‫) ‪2. P( A ∩ B‬‬ ‫2.0 = )‪P(A‬‬ ‫) ) ‪1. P( A ∪ ( B ∩ C‬‬ ‫תחת ההנחות )החלופיות(: א. המאורעות זרים.‬ ‫ב. המאורעות בלתי-תלויים.‬ ‫פיתרון:‬ ‫שאלה‬ ‫%04 מהאוכלוסיה הם גברים, %05 מהאוכלוסיה הם בעלי תואר אקדמי‬ ‫כלשהו ול-%05 מהאוכלוסיה יש רכב פרטי. %51 מהאוכלוסיה הם‬ ‫גברים עם רכב, %51 מהאוכלוסיה הם גברים עם תואר ול- %02‬ ‫מהאוכלוסיה יש גם רכב וגם תואר.‬ ‫%5 מהאוכלוסיה הם גברים עם תואר ורכב.‬ ‫1. צייר דיאגרמת-ון מתאימה וציין עליה את כל ההסתברויות שבשאלה.‬ ‫2. נבחר אדם באקראי. מה ההסתברות שזו אשה עם תואר?‬ ‫פיתרון:‬ ‫שאלה‬ ‫על מנת לקבל רישיון לציד דרקונים על המועמד לעבור בהצלחה בחינה‬ ‫עיונית ובחינה מעשית. ידוע כי סיכויי ההצלחה בבחינה המעשית קטנים‬ ‫מאלה של הבחינה העיונית, אך אין תלות בין השתיים. ההסתברות של‬ ‫מועמד אקראי להצליח בשתי הבחינות גם יחד היא 5.0, וההסתברות‬ ‫להיכשל בשתיהן 21/1 ) כשלון בשתי הבחינות גם יחד(.‬ ‫מה ההסתברות שמועמד אקראי יצליח בבחינה העיונית ויכשל במעשית?‬ ‫פתרון‬ ‫נסמן ב- ‪ A‬את המאורע שהמועמד יצליח בעיונית, וב- ‪ – B‬במעשית. וכן‬ ‫)‪. x = P( A) , y = P( B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ו-‪ B‬ב"ת ולכן כמובן שגם משלימיהם ב"ת. נקבל מערכת של שתי‬ ‫משוואות:‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫. = ) ‪, (1 − x)(1 − y‬‬ ‫2‬ ‫21‬ ‫= ‪xy‬‬ ‫נציב ‪ x = 1/2y‬במשוואה השנייה ונקבל משוואה ריבועית ב- ‪:y‬‬ ‫0 = 6 + ‪ . 12 y 2 − 17 y‬שורשיה הם 3/2 ו-4/3, ומהנתון ש-‬ ‫3/2 = ‪ .= 3/4 , y‬לכן התשובה היא:‬ ‫1 13‬ ‫.=⋅‬ ‫4 34‬ ‫= ) ‪P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B ) = x(1 − y‬‬ ‫‪ y < x‬יוצא: ‪x‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1.1912 taught by Professor Boazlerner during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online