discMath2 - ÐÝ ¹Ý ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Þ Þ ÒÞÔ ºÑ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÐÝ ¹Ý ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Þ Þ ÒÞÔ ºÑ ÒÖØ ¹Ò ÜÞ ºÑ 10 Ð ÓÞ Ô 6 Ü ÑÐÒ ÖØÒ ÒÖØ Þ ØÐ Ô Þ Ò × ÖØÒÞ Ð º º ¹Ð Ó ÜÞØ µ Þ Ó ÝÝ Ö Ø ÞÝ Þ ¸ 10 Þ Ü Ü ÑÐÒ Ð ÜØÕÒ 10 Ñ ÒÖØ Þ ÜÒ Ð 987 ¸ ¸ ¸ ¸Ñ ÐÝÒ Ö Ø ÒÝ ´Þ ºÞ {A, A, B } {A, A, A} ¸ ¸ ÞÜ Þ 3 Þ Ü Þ 5 ÜÝØ ÖÞ Þ Þ Ô Ý Ü Ý Ô ÞÝ Ö ÛÜ Ñ ÒÖØ ÜÝØ 6 ¹Ò ÜÞ 7 • {A, B, C } {A, A, A} Þ ÑÔÝ Ü Ö Ü Ö º ÜØÕÒ Þ Ü ØÕÐ Ý ÑÜØÕÒ Ñ ÒÖØ 3 Ý Ö ¸Þ 4 ÜÝØ Ö Ø ÒÝ ÞÜ Þ Ý Þ Ñ ÒÖØ Þ 7 Ü Ð¸ Ö Ø ÒÝ Þ Ó Ý ÝÑ Ð Ò Õ ¸ ³³ 10! 4 7!3! Þ Ü Ð ÑÐÒ ÞÜ ¸Þ Þ 4 ÜÝØ ÜØÕÒ Þ Ý Ñ ÒÖØ Ü ØÕÐ Ý 2 ¸Ñ ÒÖØ Ý Ö Ø ÒÝ ³³ Ö Ø ÞÝ Þ Ö ºÞ ÞÜ Õ Þ ¸ ¸Þ Þ 4 3 ÜÝØ 3 ¹ Þ =4 7 Ý Ñ ÒÖØ ÞÜ Þ Ö Ø ÒÝ Þ Ð¸ {A, A, B } ÑÖØ 7 Ö Ø ÒÝ Ý ÑÜØÕÒ ÞÝ ÐÝ ÝÝÑÐÒ ³³ 4· Ü Þ ¸ Þ ÑÜØÕÒ Ö Þ Þ Ó ÑÖØ ÝÝ Ö Ø ÒÝ Õ ¸ Þ Ü Ð ÜØÕÒ Þ 10! 7!1!1!1! ¹Ð {A, B, C } ¸ Ü ØÕÐ Ý Ü Ý Ö Ö Ý ÑÜØÕÒ ¸Þ Ü 10! 7! Ü Ö ³³ Õ ÑÔÝ Ü Ö ¸ Ü Ö 10! 10! 10! 1 3 32 10! 10! +4·3· +4· =4· · ( + + 1) = . 7!3! 7!2! 7! 7! 62 3 7! {A, B } {A, A} º ÜØÕÒ Ü Ö Ø ÞÝ Þ 7 4 Ý 10! 7!2! Þ Ó Ý Ñ ÒÖØ 10! 7!2!1! ¹Ð 4·3· Þ 3 ÜÝØ 10! 7!3! ¹Ð Ü ØÕÐ Ñ ÒÖØ 2 Ý ÞÜ Ý Þ Ö ¸Þ Ö Ø ÒÝ ÞÜ Þ ÜÝØ Þ 2 4 Ü Ý Ñ ÒÖØ 10! 4· 8!2! ÖÞ Þ 8 Þ Þ Ô Ü Ö Ø ÒÝ Þ Þ Ð Ó 8 {A, A} Ý ÝÑ Ð Ò 10! 8!2! ¹Ð Ý • Ü ¹ÕÐ Ý Ý ÞÜ Þ Ö ¸Þ Þ 4 2 ÜÝØ ÞÝ = 12 8 Ñ ÒÖØ Ý Þ 2 Þ Ö Ø ÒÝ Þ Ó Þ Ü ÝÝ {A, B } Ð ¸ ÑÐÒ ÜØÕÒ 10! 8!1!1! ¹Ð 10! 12 · 8! º Ó ÝÝÑÐÒ 10! 9!1! ¹Ð {A} ÞÜ ÜØÕÒ Þ Ý ÑÜØÕÒ Þ Þ Ü ØÕÐ Ý Þ ÑÖØ Ü Ý ÖÞ Ö Þ Þ Ý Ü Ö ³³ 9 ÑÔÝ Þ Ñ ÒÖØ Þ 9 Õ Ü Ö Ü ¹Ð Ö Ø ÒÝ Þ Þ 10 ÐÒÝ Ý Ñ ÐÝÒ ÑÐÒ Ü × ÖÕÐ 510 − 5 · ( ÜØÕÒ ÝÞ 10 Ó Ð¸ Ü ÑÐÒ 510 Ý 10 Ü ¹Ð ÐÒ Ý Ð³³Ô ¸Ñ ÑÐÒ ³³ Õ ³³ Õ 32 10! 10! 10! + 14 · +4· + 1). 3 7! 8! 9! ³ ¸ • Ö 10! 10! 32 10! + 14 · +4· + 1). 3 7! 8! 9! ³ Ð • Ð 10! = 40. 9! º 5·( Ô 4 ÜÝØ Ö Ø ÒÝ ÞÜ 4· Þ ¸Þ Ö ÜØ Ý ÑÜØÕÒ 8 10! . 14 · 8! Ü Þ ÒÖØ Þ ØÐ ÜØÕÒ Ó ÖØÒ Ð ¸Ñ ¸ ¸ ¸ ÒÖØ Û ¸ Þ Þ Ò Ö Ø Ò Ð³³Ô Þ ¹Ð Ó ÜÞØ Þ Ð Þ Ñ Ò Þ 10! 10! = . 2!2!2!2!2! 32 ÕÜ ÛÜ ¸ عÐÖ ÔÞ ÒÐÞ Ó Û Ð º ÝÔ ÔÝ Ð ÞÐ ÒÝ º Ý ÝÔ Ò Ð ×ÜÚÒ Ð Ý Ô Ð ÝÔ Ü ÞØÐ Ö ºÓ ÜÞØ ÕÜ ÛÜ Õ ÚÒ {A, B, C } º ³³ ÐÖÒ n Ü Ñ Þ Þ ÑÐÒ ÞÐ Ó ÜÞØ Ð Þ ÜØÕÒ Ñ ÜÛÒÒ BB º Ü Ý ÔÝÒ an Þ Ð ×ÚÜ Ö Ø Ü Þ Ð Ð Ô Ð Ý ¹ ÓÒÕÔ an Ü ÝÜÕ Ö º BC BB BB BA º BC CB BC º ÜÕ º ÜÕ º Ñ ÜÕ Ñ Ñ º ×ÚÜ Ö Ø ÝÜÕ ×ÚÜ Ö Ø ÑÐÒ n−1 ÜØÕÒ Ó Ð¸ B CA ¸ Ü Ð¸ ¹Ð Ü ¹ ¸ Ü Ð ¹Ð ¹Ð ÐÒ ÞÒ Ý B Ý ¹ n−1 A ¸ ¹ ÝÒ Ð Ü ÞÐ ÞÐ Þ ÝÜÕ º ×ÚÜ Ö Ø ÝÜÕ º ÐÒ ÜÛÔ n n−1 Ü A ¸ C Ð Ü ÚÜ Ð n ¸ B ¹ ÜØÕÒ Ó Ñ ¹ Ñ Ð º ¹ º º • ÞÒ C C an−2 + an−2 ÜØÕÒ Ð • Þ ÞÒ B • Ñ ÞÒ Ð ÑÐÒ ÑÐÒ ÐÒ Þ Ü ¸ ¹Ð Ó ÜÞØ ÞÒ Ü ¹ ÞÒ Ð ÒÐ Ü Ð n ÐÞ Þ Þ ¹ ¸ ÞÐ ÝÒ n Ð ÞÒ Ü ¹ Ð Ð ÞÐ Þ C Ý Þ Ü ¹ ÐÒ ÞÒ ÞÒ A ÐÒ º n−1 A an−2 Ý ¹Ð an−1 n−1 ÜØÕÒ Ó Ð ÐÒ an−1 º ÑÐÒ ¹ º ×ÚÜ Ö Ø ³ º º ÝÜÕ Ð Ð³³Ô ÕÜ ÛÜ Õ Ó Ð an = 2an−1 + 2an−2 . ¶¶¶¶¶¶¶ ³ º ÑÐÒ n−1 ÜØÕÒ Ó Ð¸ B CA ¸ Ü Ð¸ ¹Ð Ü ¹ Ó Ð Ü Ð º ÞÒ ¹ ÞÐ ÐÒ ¸ n−1 ÞÒ A Þ ÝÒ Ð Ü Ð Þ ÑÐÒ ÜØÕÒ A ¸ ¹ C ¸ ÞÐ ¹ B Ð ¹ Ò Ð Ô • Ñ • Ñ ÞÒ • Þ ÞÒ C ¸ ÑÖ Ñ Þ Ü Ð ÐÞ ÐÒ ÞÒ Ü n ¹Ð Ó ÜÞØ Ü Ð n ÞÒ ¸ ÝÒ n Ð ÞÒ Ü ¹ Ð ÐÒ Ð ÞÐ Þ C Ý Þ Ü ¹ ÐÒ º n−1 A B Ý ¹Ð an−1 n−1 ÜØÕÒ Ó Ð ÐÒ an−1 º ÑÐÒ ¹ ¹ Ð Ð ¸ ÞÒ B ¹ ÝÒÔ Þ ÜÔ B BB.... n−2 ¸ Ð Ü ÞÒ Ð Ò ÑÖ n−2 Ü ¹ Ð ÞÒ n Ü ÐÒ B A..... ÝÒÒ ÐÒ ÐÒ Ñ ÜÛÒ Ð B B.... Ý ÜÒ Ð ÜÝØ ÜÛÒ Ó Ô ÐÒ BBC.... Ü Ð Ð Ð C ¸ ¹ ÐÒ n−1 ¸ Ü ÐÒÐ C º an−1 º an−2 º º ¹Ð Ý an−1 − an−2 C ¹Ð ¹ ¹ ÞÐ ¹Ð ÞÐ Ý B ÝÒÒ B Ð n ÞÒ n−1 ÞÒ ÐÜ Ü Ü ÐÒÓ Þ ÑÐÒ Ü Þ ÑÐÒ ÜØÕÒ – n−1 ÞÐ Ð ÒÙ n−1 Ý ÞÒ ¹ ¹ Ü Þ ÑÐÒ ÜØÕÒ – n ÞÒ Ü Þ ÑÐÒ ÜØÕÒ Ó Ð ÕÜ ÛÜ Õ Ó Ð an = 3an−1 − an−2 . ¶¶¶¶¶¶¶¶ ³ B CA ¸ ÑÐÒ n−1 ÜØÕÒ Ó Ð¸ Ü ¹Ð an−1 n−1 ÜØÕÒ Ó Ð¸ ¹Ð Ü Ó Ð Ü ÐÒ ÞÒ n−1 an−2 ¹Ð Ð º ÝÒ Ü A an−2 ¹ ÞÐ ¹Ð Þ ¹ B ÞÐ Ð ¸ ¹ ÞÒ C Ü ¸ ÞÐ ¸ B C ¹ º Ü Ñ Þ • Þ ÞÒ B • Ñ ÞÒ Ð • Þ Ü ¹ ÑÐÒ Ü Ñ ÞÒ Ð ¹ Þ n ÐÒ Ü n ¹Ð Ó ÜÞØ Ü Ð n ¹ ÞÒ Ð ÞÒ n Ð A Ü ÐÞ n−1 ¹ ¹ Ð ÝÒ ÞÒ Ý C Þ ÞÐ Þ Ý Ð ÐÒ Ý º A ÐÒ º n−1 Ð ÐÒ an−1 º ÑÐÒ ¹ Ý º Ð ÞÒ A ÜØÕÒ ÑÐÒ º ¹ ÜØÕÒ ÕÜ ÛÜ Õ Ó Ð an = 2an−1 + an−2 . ¶¶¶¶¶¶¶¶ ³ º ÑÐÒ C BA ¸ ÜØÕÒ Ó Ð¸ ¹ Ð n−1 Þ Ð n Ð Ü ¹ º Ü Ð ¹Ð ÜØÕÒ Ó ÐÒ ÞÒ Ý Ð C º n−1 A ¸ ¹ ¹ º ÞÐ ÞÐ ÝÒ Ü ¹Ð Ý Ð n−1 ÞÒ an−2 + bn−1 n ¹Ð Ü Ý Þ A ¹ Ð ÐÒ ÞÒ Ð Ò ºÑ Ü ÐÒ an−1 º n−1 A an−2 Ü Ü ¹ ¸ ¸ B ¹ Ð n ÑÐÒ ÑÐÒ ÞÒ n Ü B ¹ Þ Þ • Ñ Ð ÜØÕÒ ÜØÕÒ Ñ • Þ ÞÒ ¸ ¹Ð Ó ÜÞØ ÝÛ ÜÞ ÞÒ Ü Ð ÐÞ Þ ÞÐ ¹ ÞÒ Ð ÝÒ Þ B A Ü ÞÐ Ò bn C º ¹ ÞÒ ¹ ÓÒÕÔ ÑÐÒ n−1 A an−2 + bn−1 Ü ¹ Ð º ÐÒ ÞÒ ¸ ¹Ð n−1 C Ý ÝÒ Ð Ü ¹ Ð ÞÐ n ÞÒ C Ð ÐÒ ¸ ÝÒ Ü ¹ Ð ÞÒ B ÐÞ ¸ Þ ÑÐÒ bn = an−2 + bn−1 º Ð ÞÒ C ÜØÕÒ Ó ¹Ý Ñ • Ñ ¹ к Ö ¹ ÔÓ Ò ÕÜ ÛÜ Õ Ó Ð an = an−1 + 2an−2 + 2bn−1 . ÐØ Ôµ Ý º bn − bn−1 = an−2 Ô ÚÒÝ Þ ÝÒÞÝÔ ¸ bn−1 ¹Ò Ü Ø Ð ´ 2an+1 = 2an + 4an−1 + 2bn n+1→n Ô ÜÚ Ð ÝÒ 2 Þ ¹ Ú 2an = 2an−1 + 4an−2 + 2bn−1 Ð ÛÔ ÔÝ Ü Ò ÔÝ ÝÒ ÜÕ ³³Ö 2an+1 − 2an = 2an + 2an−1 − 4an−2 + 2(bn − bn−1 ) = 2an + 2an−1 − 4an−2 + 2an−2 ÜÒ Ð an+1 = 2an + an−1 − an−2 ÕÜ ÛÜ Õ ´ n−1→n ÚÔµ ³³ an = 2an−1 + an−2 − an−3 . ¶¶¶¶¶¶¶¶ ³ B CA ¸ º ÑÐÒ ÜØÕÒ Ó n−1 и Ü n−1 и ¹Ð Ü Ý ³³ Þ Ü ¸ ÐÒ B Ð ¸ ÑÐÒ ÝÒ ÔÝ ÜØÕÒ Ó Ðº A Ð Ñ ÛÒ Þ Þ ¹ ÐÒ º n−1 Ý ¹Ð an−1 ÜØÕÒ Ó Ð ÐÒ an−1 º ÑÐÒ ¹ ¹ Ð B ¹ 1 º ¹Ð ¸ Ð Ý ¸ B C ¹ Ñ Ñ ÞÒ ¹ • Þ ÞÒ A ¹ Ð ÞÒ ÞÒ B • Þ Ü Ð • Ñ ÞÒ Ð ¹ ÐÒ Ü n ¹Ð Ó ÜÞØ Ü Ð n ¹ ÞÒ ¸ Ð ¹ C Ü Ó BBB....B ¸ ÞÒ ÞÐ Ð Ð n Ð A Ü ÞÐ Þ C Ý Ð ÐÒ ÞÐ ÞÒ n Ü ÕÜ ÛÜ Õ Ó Ð an = 2an−1 + 1. ÜÞ Ò ¸ ÝÒ Þ Ü ÞØÐ Ð ÕÜ ÛÜ Õ Þ ÚÒÐ ÛÜ Ñ ÝÛ ºÞ Ô Ò Ð ÒÑ ÝÒ ÜÖ Ö Ø ÞÝ º Ü Ü ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1911.1 taught by Professor Yuliaglushko during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online