Ex03 - ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1‬ ‫נושא 1:‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫-102‬ ‫מושגי יסוד של תורת הקבוצות.‬ ‫תרגיל 3‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫1. הוכיחו באמצעות אינדוקציה :‬ ‫1( סכום הריבועים של כל מספרים הטבעיים עד ‪) n‬ועד בכלל( הוא‬ ‫1‬ ‫)1 + ‪, n(n + 1)(2n‬‬ ‫6‬ ‫ב( מספר )‪ (n 5 − n‬מתחלק ב-03 עבור כל ‪, n ∈ N‬‬ ‫ג( מספר 1 + ‪ 5 n +1 + 2 ⋅ 3 n‬מתחלק ב-8 עבור כל ‪, n ∈ N‬‬ ‫2. הוכיחו ע''י אינדוקציה השלמה כי לכל ‪ 8 ≤ n ∈ N‬קיימים }0{ ∪ ‪ k , t ∈ N‬כך ש-‬ ‫‪. n = 3k + 5t‬‬ ‫3. הוכיחו באמצאות האינדוקציה השלמה כי לסדרת פיבונצ'י המוגדרת בעזרת‬ ‫התנאים 1 = 1‪a 0 = a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a = a + a‬הנוסחה הבאה היא הנכונה: ‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫1− ‪n‬‬ ‫2−‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1+ ‪n‬‬ ‫‪1− 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1+ ‪n‬‬ ‫‪1 1+ 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫‪5 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4. א( כמה מספרים טבעיים בין 1 ו-0003 אינם מתחלקים לא ב-2 ולא ב-5 ?‬ ‫ב( כמה מספרים טבעיים בין 1 ו-0003 אינם מתחלקים לא ב-3, לא ב-5 ולא‬ ‫ב-7 ?‬ ‫ג( כמה מספרים טבעיים הקטנים מ-2002 זרים ל-2002? ) רמז: 2002=2·7·‬ ‫11·31 (‬ ‫5. בקבוצה של 001 תלמידים 03 מנגנים, 52 מציירים ו- 8 – גם מנגנים וגם‬ ‫מציירים.‬ ‫מהו מספר התלמידים, בקבוצה זו, שאינם מנגנים ואינם מציירים ?‬ ‫6. מתוך 03 ילדים, 02 לומדים ציור, 41 לומדים מוסיקה ו- 01 – לומדים ריקוד.‬ ‫אף ילד‬ ‫אינו לומד את כל שלוש האמנויות האלה, ו- 8 ילדים אינם לומדים אף אחת מהן.‬ ‫1( כמה ילדים לומדים מוסיקה וריקוד ?‬ ‫2( כמה ילדים לומדים רק ציור ?‬ ‫7. א( מהו מספר הסדרות באורך ‪ , n‬הבנויות מהספרות 2 ,1 ,0 , שאין בהן אפסים‬ ‫עוקבים ?‬ ‫ב( מהו מספר המספרים ‪ - n‬ספרתיים, הבנויות מהספרות 2 ,1 ,0 , שאין בהן‬ ‫אפסים עוקבים ?‬ ‫8. א( סדרה } ‪ {an‬מוגדרת בנוסחאות 2-‪ . a0 = 0, a1 = 1,an = 3an-1 - 2an‬מצאו ביטוי‬ ‫עבור ‪.an‬‬ ‫ב( סדרה } ‪ {an‬מוגדרת בנוסחאות 2-‪ . a0 = 1 a1 = 3 ,,an = 4an-1 - 4an‬מצאו‬ ‫ביטוי‬ ‫עבור ‪.an‬‬ ‫1‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1‬ ‫נושא 1:‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫-102‬ ‫מושגי יסוד של תורת הקבוצות.‬ ‫תרגיל 3‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫ג( סדרה } ‪ {an‬מוגדרת בנוסחאות 2-‪ a0 = 1, a1 = 2, an = kan-1 + lan‬כאשר‬ ‫‪. k,l ∈ N‬‬ ‫מצאו ביטוי עבור ‪.an‬‬ ‫ד( סדרה } ‪ {an‬מוגדרת בנוסחאות 2-‪ a0 =a ,b a1 = , an = kan-1 + lan‬כאשר‬ ‫‪ . a, b, k , l ∈ N‬מצאו ביטוי עבור ‪.an‬‬ ‫ה(* סדרה } ‪ {an‬מוגדרת בנוסחאות 2-‪ a0 =a ,b a1 = , an = kan-1 + lan‬כאשר‬ ‫‪ . a, b, k , l ∈ R‬מצאו ביטוי עבור ‪ . a n‬שימו לב על המקרים כאשר ≤ ‪k2+4l‬‬ ‫0.‬ ‫9. בכמה אופנים אפשר לשלם 02 שקלים באמצאות מטבעות ב-1 ש''ח, ב-5‬ ‫ש''ח‬ ‫וב-01 ש''ח ?‬ ‫01. מצא את המקדם הבינומי אלי של 01‪ x‬בביטוי ) 5)...+3‪. x) = (1+ x + x2 + x‬‬ ‫11. מהו מספר האפשרויות לסדר 02 כדורים זהים בשבעה תאים שונים אם בתא‬ ‫הראשון‬ ‫יכולים להיות לכל היותר 01 כדורים ?‬ ‫21 במחלקה 08 עובדים בוחרים ראש המחלקה מתוך 3 מועמדים. בנה פונקציה‬ ‫היוצרת‬ ‫שבאמצעותה אפשר למצוא מספר האפשרויות לבחירת ראש המחלקה.‬ ‫31 מצא פונקציה היוצרת של סדרות ‪ a n‬הבאות‬ ‫א( ‪ , a n = n, n ∈ N‬ב( ‪ , a n = n 2 , n ∈ N‬ג( ‪ a n = (1 + α ) n‬כאשר ‪, α ∈ R, n ∈ N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ד( ‪ a n = 1 + α‬כאשר ‪ , α ∈ R, n ∈ N‬ה( , ‪, a n = 2 , n ∈ N‬‬ ‫ו( ‪. a 2 k −1 = 0 , a 2 k = 1, k ∈ N‬‬ ‫41. בכמה דרכים ניתן לבחור ‪ 3n‬כדורים מתוך כדורים אדומים, לבנים ושחורים‬ ‫כך שכל צבע לא יבחר‬ ‫יותר מ- ‪ 2n‬פעמים ?‬ ‫51. מצא מספר פתרונות במספרים שלמים עבור המשוואה:‬ ‫8 = 5 ‪x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x‬‬ ‫א( אם הפתרונות האלה מקיימים את התנאים: 0 ≥ ‪ x i‬עבור 5,...,1 = ‪. i‬‬ ‫ב( אם הפתרונות האלה מקיימים את התנאים: 0 > ‪ x i‬עבור 5,...,1 = ‪. i‬‬ ‫ג( אם הפתרונות האלה מקיימים את התנאים: 0 ≥ 2 ‪. x 5 ≥ 3 , x 3 , x 4 ≥ 2 , x1 , x‬‬ ‫61. יהי ‪ bn‬מספר פתרונות של המשוואה: }0{ ∪ ‪. 3a + 4b + 2c + 2d = n, n ∈ N‬‬ ‫מצה את‬ ‫פונקציה היוצרת של סדרה ‪bn‬‬ ‫.‬ ‫2‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫נושא 1:‬ ‫-102‬ ‫מושגי יסוד של תורת הקבוצות.‬ ‫תרגיל 3‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫.71* יהי ‪ c n‬מספר פתרונות של המשוואה: }0{ ∪ ‪x1 + x 2 + x 3 + x 4 = n, n ∈ N‬‬ ‫במספרים‬ ‫שלמים כך ש- 4 ‪ . 0 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x‬מצא את פונקציה היוצרת של סדרה ‪. c n‬‬ ‫81. מהו מספר האפשרויות להטיל 01 קוביות שונות, כך שסכום התוצאות יהי‬ ‫52.‬ ‫3‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online