Ex06Sol - ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫נושא 3:‬ ‫1669-1‬ ‫תרגיל‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫1. א( לא ,‬ ‫2. – 3.‬ ‫ב( כן ,‬ ‫כן ,‬ ‫ג(‬ ‫-102‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫6 - פתרונות‬ ‫ד( כן .‬ ‫בנו טבלאות האמת.‬ ‫4. לכל אחד מהפסוקים הבאים, מצא פסוק דיסיונקטיבי נורמלי ששקול לו‬ ‫:‬ ‫א(‬ ‫‪((P Λ Q Λ R) V (P Λ ¬Q Λ R ) V (P Λ ¬Q Λ ¬R) V (¬P Λ Q Λ R‬‬ ‫)‪P Λ¬ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ¬ R ) V (¬P Λ¬ Q Λ ¬R‬‬ ‫)¬ ‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ב(‬ ‫‪((P Λ Q Λ R) V (P Λ ¬Q Λ R ) V (P Λ ¬Q Λ ¬R) V (¬P Λ Q Λ R‬‬ ‫)‪P Λ¬ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ¬ R ) V (¬P Λ¬ Q Λ ¬R‬‬ ‫)¬ ‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪X ∨ Y ⇔ ¬X → Y‬‬ ‫) ‪X ∧ Y ⇔ ¬( X → ¬Y‬‬ ‫5. ‪( I‬‬ ‫א.‬ ‫⇔ ) ‪¬( P ∧ Q ∧ ¬R ) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R‬‬ ‫⇔ ) ‪⇔ (( P ∧ Q) ∧ ¬R ) → ((¬P ∧ ¬Q) ∧ R‬‬ ‫))‪⇔ (¬(¬( P → ¬Q) → R )) → (¬(¬(¬P → Q) → ¬R‬‬ ‫ב.‬ ‫⇔ )))‪( P → (Q → R )) ∨ (¬( P → ( R → Q‬‬ ‫)))‪⇔ (¬( P → (Q → R ))) → (¬( P → ( R → Q‬‬ ‫) ‪X ∧ Y ⇔ ¬(¬X ∨ ¬Y‬‬ ‫‪X → Y ⇔ ¬X ∨ Y‬‬ ‫‪( II‬‬ ‫א.‬ ‫ב.‬ ‫⇔ ) ‪¬( P ∧ Q ∧ ¬R ) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R‬‬ ‫)) ‪⇔ (¬P ∨ ¬Q ∨ R ) ∨ (¬( P ∨ Q ∨ ¬R‬‬ ‫⇔ ))‪( P → (Q → R )) ∨ (¬( P → ( R → Q‬‬ ‫))‪⇔ (¬P ∨ ¬Q ∨ R ) ∨ (¬(¬P ∨ ¬R ∨ Q‬‬ ‫6. יהיו : ‪ " - A‬רינה אופה עוגה. ", ‪ " - B‬רינה מנגנת בכינור. " ,‬ ‫‪ " - C‬אבא של רינה ישלם עבור ביטוח הרכב שלה ".‬ ‫אזי את השיקול הנתון ניתן להציג כנוסחה: )))‪AΛ(A→¬B) Λ (¬B→¬C‬‬ ‫‪. →¬C‬‬ ‫בודקים שהנוסחה היא טאוטולוגיה )למשל בעזרת הרכבת טבלת האמת (‬ ‫ומכאן רואים‬ ‫שהשיקול הוא נכון.‬ ‫7. יהיו : 6 = 4 + 2 " - ‪B‬‬ ‫," 6 = 3 + 2 " - ‪, " .A‬‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫נושא 3:‬ ‫1669-1‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תרגיל‬ ‫-102‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫6 - פתרונות‬ ‫אזי את השיקול הנתון ניתן להציג כנוסחה: ) ) ‪. A→B) Λ ¬A) →¬A‬‬ ‫בודקים שהנוסחה היא טאוטולוגיה ומכאן מוצאים שהשיקול הוא נכון.‬ ‫8. משתמשים שקילויות לוגית :‬ ‫א( ) ‪A ∧ B ⇔ ¬( A → ¬B‬‬ ‫אימפליקציה ושלילה(‬ ‫)המבטא קוניונקציה דרך‬ ‫‪A ∨ B ⇔ ¬A → B‬‬ ‫אימפליקציה ושלילה(‬ ‫)המבטא דיסיונקציה דרך‬ ‫))‪A ↔ B ⇔ ¬(( A → B ) → ¬( B → A‬‬ ‫ושלילה(‬ ‫‪A → B ⇔ ¬A ∨ B‬‬ ‫ב(‬ ‫דיסיונקציה ושלילה(‬ ‫)‪A ↔ B ⇔ ¬( A ∧ ¬B ) ∧ ¬( B ∧ ¬A‬‬ ‫ושלילה(‬ ‫)המבטא שקילות דרך אימפליקציה‬ ‫)המבטא אימפליקציה דרך‬ ‫)המבטא שקילות דרך קוניונקציה‬ ‫9. אם נוסחה ‪ (A(p1,p2,...pn‬לא כוללת שלילה ¬ אז ערך האמת שלה‬ ‫בהשמה‬ ‫‪ p1 = p2 =...= pn = T‬תמיד שווה ל- ‪ . T‬לכן אי אפשר לבטא נוסחה שקרית‬ ‫)למשל ‪(pΛ¬p‬‬ ‫דרך הקשרים ללא שלילה.‬ ‫01. ב(‬ ‫⇔ ) ‪A ∧ ( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C ) ⇔ A ∧ (( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C )) ⇔ A ∧ (( A ∧ B ) ∨ C‬‬ ‫. ) ‪⇔ ( A ∧ ( A ∧ B)) ∨ ( A ∧ C ) ⇔ ( A ∧ A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ) ⇔ ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C‬‬ ‫שקילות דואלית : ) ‪A ∨ ( A ∧ C ) ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C‬‬ ‫11. נרכיב טבלת האמת:‬ ‫‪BVC‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫1669-1‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪¬AVC‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫מבוא‬ ‫‪T‬‬ ‫נוש ‪:3 F‬‬ ‫א‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪AVB‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫2‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫למתמטיקה ‪ T‬דיסקרטית‬ ‫3‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ת‬ ‫לוגיקה מתמטי 4‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫5‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬ת‬ ‫תרגיל 6 ‪ T‬פתרונו‬ ‫‬‫6‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫7‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫8‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫))‪p→(q→r) (pΛ q)Λ( p→(q→r‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪q→r‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪pΛq‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫-102‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫בהנחה כ- ‪ AVB‬טאוטולוגיה שורות 7- 8 בלתי אפשרויות . בהנחה כ- ¬‪A‬‬ ‫‪ VC‬טאוטולוגיה‬ ‫שורות 2 ו- 4 בלתי אפשרויות . בשורות האחרות ערך האמת של ‪BVC‬‬ ‫הוא ‪. T‬‬ ‫21. א( נבדוק אם הנוסחה )) ‪ pΛ q)Λ( p→(q→r)))→r ⇔ A‬היא טאוטולוגיה .‬ ‫נרכיב טבלת האמת:‬ ‫ב( נבדוק אם הנוסחה )) ‪ pV q)Λ¬ p)→q ⇔ A‬היא טאוטולוגיה .‬ ‫⇔ ‪(( p ∨ q ) ∧ ¬p) → q ⇔ (( p ∧ ¬p ) ∨ ( q ∧ ¬p )) → q ⇔ (F ∨ (q ∧ ¬p)) → q‬‬ ‫‪⇔ (q ∧ ¬p ) → q ⇔ ¬(q ∧ ¬p ) ∨ q ⇔ ¬q ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ T ⇔ T‬‬ ‫31. נוכיח באינדוקציה שלמה על מספר הקשרים.‬ ‫‪qi ⇒ S‬‬ ‫‪S = qi‬‬ ‫לכן‬ ‫עבור 0=‪: n‬‬ ‫נניח כי הטענה נכונה עד ל ‪. n‬‬ ‫צ"ל עבור 1+‪.n‬‬ ‫2 ‪S = S1 → S‬‬ ‫כאשר 1‪ S‬ו 2 ‪ S‬הם גם נוסחאות לוגיות במשתנים‬ ‫‪q1 ,....., q n‬‬ ‫וקשר → בלבד. אז ‪ , S 2 ⇒ S‬כמו כן ב 2 ‪ S‬יש לכל היותר ‪ n‬קשרים ,‬ ‫לכן קיים ‪ q i‬כך‬ ‫ש 2 ‪) q i ⇒ S‬לפי הנחת האינדוקציה ( לכן ‪ q i ⇒ S 2 ⇒ S‬לכן ‪. q i ⇒ S‬‬ ‫41*. נרכיב טבלת האמת לנוסחה )) ‪A ⇔ (((U ∧ Q) → ¬P ) → (( P → ¬Q) → U‬‬ ‫בהנחה‬ ‫‪A‬‬ ‫‪(P→¬Q )→U‬‬ ‫‪P→¬Q‬‬ ‫‪(UΛQ) →¬P‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪UΛ‬‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫‪Q‬‬ ‫1669-1‬ ‫‪ T‬נושא 3: ‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫סמסטר ב' 2002 ‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫כפסוק ‪ U‬לא תלוי בפסוקים‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ T‬תרגיל 6 - פתרונות ‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ P‬ו- ‪: Q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫-102‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫כדי ‪ A‬יהי טאוטולוגיה צריך להגדיר ‪ U‬כך ששורות 4, 6, 8 בלתי‬ ‫אפשרויות.‬ ‫אז יש 2 אפשרויות של טבלת האמת לפסוק‬ ‫‪U‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫לכן ניתן להניח כפסוק‬ ‫כל נוסחה השקולה‬ ‫ל - ‪. ¬P ∨ ¬Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪:U‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ U‬הוא כל טאוטולוגיה התלויה ב- ‪ P‬ו- ‪ Q‬או‬ ‫‪. ('E1=(xy)+( x'y)+(x'y‬א 51.‬ ‫הערה:‬ ‫‪xy = x and y‬‬ ‫‪x+y = x or y‬‬ ‫‪x’ = not x‬‬ ‫מפת קרנו המתאימה ל- 1‪ E‬מוצגת כאן:‬ ‫‪'y‬‬ ‫0‬ ‫‪y‬‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪'x‬‬ ‫נקיף שני מלבנים בסיסיים מקסימאליים )מקבצים( המהווים כיסוי מינימאלי‬ ‫של האחדות במפה.‬ ‫לכל מקבץ מתאים פסוק )לפי הצבעים(: ‪x’, y‬‬ ‫ולכן צורה דיסיונקטיבית נורמאלית מינימאלית של 1‪ E‬היא: ‪x’+y‬‬ ‫.‬ ‫ב ‪(E2=(xyz)+(xyz’)+(x’yz’)+(x’y’z‬‬ ‫מפת קרנו המתאימה ל- 2‪ E‬מוצגת כאן:‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫נושא 3:‬ ‫1669-1‬ ‫תרגיל‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫-102‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫6 - פתרונות‬ ‫‪y'z‬‬ ‫0‬ ‫‪’y'z‬‬ ‫0‬ ‫‪'yz‬‬ ‫1‬ ‫‪yz‬‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪'x‬‬ ‫שלושת המלבנים המוקפים מהווים כיסוי מינימאלי של אחדות ע"י מקבצים.‬ ‫לכל מקבץ מתאים פסוק )לפי הצבעים(: ‪yz’, xy, x’y’z‬‬ ‫ולכןצורה דיסיונקטיבית נורמאלית מינימאלית של 2‪ E‬היא: )+)’‪xy)+(yz‬‬ ‫‪((x’y’z‬‬ ‫ג. ‪(’E3=(xyz)+(x’y‬‬ ‫ראשית נמצא את הצורה הדיסיונקטיבית נורמאלית השלמה: )אפשר לעשות‬ ‫זאת ע"י הוספת )‪ (’z+z‬כפי שמודגם בסעיף הבא או ע"י טבלת אמת(‬ ‫‪ (’E3=(xyz)+(x’y’z)+(x’y’z‬מפת קרנו המתאימה ל- 3‪ E‬מוצגת כאן:‬ ‫‪y'z‬‬ ‫0‬ ‫‪’y'z‬‬ ‫0‬ ‫‪'yz‬‬ ‫0‬ ‫‪yz‬‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪'x‬‬ ‫שני המלבנים המוקפים מהווים כיסוי מינימאלי של אחדות ע"י מקבצים.‬ ‫לכל מקבץ מתאים פסוק )לפי הצבעים(: ‪x’y’, xyz‬‬ ‫וחזרנו למעשה לנוסחה המקורית- הצורה דיסיונקטיבית נורמאלית‬ ‫מינימאלית של 3‪ E‬היא: ‪(’E3=(xyz)+(x’y‬‬ ‫ד. ‪(’E4=(y’zt)+(xzt’)+(xy’z‬‬ ‫ראשית נמצא את הצורה הדיסיונקטיבית נורמאלית השלמה:‬ ‫‪[(’E4 = (y’zt)+(xzt’)+(xy’z’) = [(y’zt)(x+x’)]+[(xzt’)(y+y’)]+[(xy’z’)(t+t‬‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫נושא 3:‬ ‫1669-1‬ ‫תרגיל‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫-102‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫6 - פתרונות‬ ‫= )‪(’xy’zt)+ (x’y’zt)+ (xyzt’)+ (xy’zt’)+(xy’z’t)+(xy’z’t‬‬ ‫מפת קרנו המתאימה ל- 4‪ E‬מוצגת כאן:‬ ‫‪z't‬‬ ‫0‬ ‫‪’z't‬‬ ‫0‬ ‫‪'zt‬‬ ‫1‬ ‫‪zt‬‬ ‫0‬ ‫‪xy‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪'xy‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪’x'y‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪x'y‬‬ ‫שלושת המלבנים המוקפים מהווים כיסוי מינימאלי של אחדות ע"י מקבצים.‬ ‫לכל מקבץ מתאים פסוק )לפי הצבעים(: ‪y’zt, xy’, xzt‬‬ ‫ולכן הצורה דיסיונקטיבית נורמאלית מינימאלית של 4‪ E‬היא:‬ ‫‪(E4 = (xy’)+(xzt’)+(y’zt‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1911.1 taught by Professor Yuliaglushko during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online