Ex07Sol - ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫נושא 3:‬ ‫1669-1‬ ‫תרגיל‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫1. א( ‪, F‬‬ ‫2.‬ ‫ב( ‪, T‬‬ ‫3 ≤ ‪ x‬וגם‬ ‫0 > ‪ x‬וגם‬ ‫‪ x‬זוגיים לכן 2 = ‪ . x‬וזה ה ‪ x‬היחיד.‬ ‫1(‬ ‫א( ‪, T‬‬ ‫א( ‪, T‬‬ ‫ב( ‪T‬‬ ‫3(‬ ‫א( ‪, T‬‬ ‫ב( ‪T‬‬ ‫4(‬ ‫א( ‪, T‬‬ ‫ב( ‪. T‬‬ ‫ב( ‪T‬‬ ‫2(‬ ‫ב( ‪.T‬‬ ‫)‪(∀x)( P( x) ∧ Q( x‬‬ ‫5. א(‬ ‫6.‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫7 - פתרונות‬ ‫ג( ‪. T‬‬ ‫3. א( ‪) F‬דוגמא נגדית 1− = ‪, ( x‬‬ ‫4.‬ ‫-102‬ ‫))‪(∃x)( P( x) ↔ ¬Q( x‬‬ ‫ב(‬ ‫א(‬ ‫))) 2‪A ⇔ (∀x1 )(∀x2 )(( x1 ≤ x2 ) → ( f ( x1 ) ≤ f ( x‬‬ ‫))) 2‪ " - ¬A ⇔(∃x1 )(∃x2 )(( x1 ≤ x2 ) ∧( f ( x1 ) > f ( x‬קיימים ‪ x1 , x2 ∈ R‬כך ש-‬ ‫2‪ x1 ≤ x‬ו- ) 2‪. " f ( x1 ) > f ( x‬‬ ‫))))‪(∀x ∈ R )((¬(0 ≤ x)) → (¬((∃y ∈ R )( y y = x‬‬ ‫ב(‬ ‫)))‪(∀x ∈ R )(∀y ∈ R)((¬(0 ≤ x)) → (¬( y y = x‬‬ ‫זה שקול ל‬ ‫7 . משמעות הנוסחה היא שלכל מספר טבעי יש מספר טבעי שקטן ממנו. הנוסחה היא‬ ‫שקרית כי ל-1 אין‬ ‫אף אחד שקטן ממנו. גם הנוסחה השניה היא שקרית כי אף מספר לא יכול להיות‬ ‫קטן מעצמו.‬ ‫ב ‪ Z‬הנוסחה הראשונה היא אמיתית והשניה עדין שקרית.‬ ‫8.‬ ‫א( ))4,4 (‪, ( R (1,1) ∨ R (1,2) ∨ R (1,3) ∨ R(1,4)) ∧ ... ∧ ( R (4,1) ∨ R(4,2) ∨ R( 4,3) ∨ R‬‬ ‫ב(‬ ‫))4,4( ‪(¬ Q(1) ∧ R(1,1) ∧ R (1,2) ∧ R (1,3) ∧ R (1,4)) ∨ ... ∨ (¬ Q( 4) ∧ R (4,1) ∧ R( 4,2) ∧ R (4,3) ∧ R‬‬ ‫9. א( 1( ‪ x‬קשור, ‪y‬‬ ‫0≤‪, z‬‬ ‫ג( 1( ‪ x‬קשור, ‪y‬‬ ‫חופשי, 2( ‪, y ∈ R‬‬ ‫חופשי, 2( 0 = ‪, y‬‬ ‫ב( 1( ‪ x,y‬קשורים, ‪z‬‬ ‫ד( 1( ‪ x,y‬קשורים, ‪z‬‬ ‫∅∈ ‪z‬‬ ‫01.‬ ‫0= ‪.z‬‬ ‫א( ‪, F‬‬ ‫11.‬ ‫21. א(‬ ‫ב(‬ ‫ג(‬ ‫ב( ‪,F‬‬ ‫ג( ‪, F‬‬ ‫) ‪F1 (v ) = P(v, v, v‬‬ ‫))‪F2 (v ) = (∀w)( S (v, w, w‬‬ ‫)) ‪F3 (v) = (∃w)( F2 ( w) ∧ P ( w, w, v‬‬ ‫31. א(‬ ‫1‬ ‫ד(‬ ‫‪.T‬‬ ‫חופשי, 2(‬ ‫חופשי, 2(‬ 201- ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫לוגיקה מתמטית‬ ‫7 - פתרונות‬ :3 ‫נושא‬ ‫תרגיל‬ 1-9661 2002 '‫סמסטר ב‬ ∃x∀yP( x, y ) → ∀x∃yQ( x, y ) ¬(∃x∀yP( x, y )) ∨ ∀x∃yQ( x, y ) ∀x∃y¬P ( x, y ) ∨ ∀x∃yQ( x, y ) ∀x∃y¬P ( x, y ) ∨ ∀u∃yQ(u, y ) ∀x∀u (∃y¬P ( x, y ) ∨ ∃yQ(u , y )) ∀x∀u∃y (¬P ( x, y ) ∨ Q(u , y )) ∀xP( x, y ) → ∀x∃yQ( x, y ) ¬(∀xP( x, y )) ∨ ∀x∃yQ( x, y ) (‫ב‬ ∃x¬P( x, y ) ∨ ∀x∃yQ( x, y ) ∃u¬P (u , y ) ∨ ∀x∃yQ( x, y ) ∃u (¬P (u , y ) ∨ ∀x∃yQ( x, y )) ∃u∀x(¬P (u , y ) ∨ ∃yQ( x, y )) ∃u∀x∃z (¬P (u, y ) ∨ Q( x, z )) . P(x) : | x | > 4 , Q(x) : x > 4 ‫41. א( ניקח לדוגמה‬ . ( P (−6) → Q (−6)) = F ‫∀( כי למשל‬x)( P ( x) → Q ( x)) = F -‫ברור ש‬ . (∀x )Q( x) = F -‫∀( ו‬x ) P ( x ) = F ‫∀( כי‬x) P ( x) → (∀x)Q ( x) = T ‫אבל‬ . ‫לכן הנוסחה א( לא נכונה‬ ‫ב( מצד אחד‬ (∃x)( P( x) → Q( x )) ⇔ (∃x)(¬P ( x ) ∨ Q( x )) ⇔ (∃x)¬P ( x) ∨ (∃x)Q( x ) ‫מצד אחר‬ (∃ x) P( x) → (∃ x)Q( x) ⇔ ¬ ((∃ x) P( x)) ∨ (∃ x)Q( x) ⇔ (∀ x)¬ P( x) ∨ (∃ x)Q( x) . ‫∀( הנוסחה ב( לא נכונה‬x)¬P ( x ) ⇔ (∃x ) P ( x) -‫מכיוון ש‬ / -‫ ∀( ו‬x)( P( x) → Q( x)) ⇔ (∀ x)(¬ P( x) ∨ Q( x)) (‫ג‬ (∀ x)(¬ Q( x) → ¬ P( x)) ⇔ (∀ x)(Q( x) ∨ ¬ P( x)) . (∀ x)( P ( x) → Q( x)) ⇔ (∀ x)(¬ Q( x) → ¬ P ( x)) ‫אז‬ 2 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online