TA6 - ‫מתמטיקה בדידה‬ ‫תרגול 6‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מתמטיקה בדידה‬ ‫תרגול 6‬ ‫יחסים – תכונות בסיסיות‬ ‫הגדרה: יחס מ- ‪ A‬ל-‪ B‬הוא קבוצה כך‬ ‫.‬ ‫ש-‬ ‫‪∀ xℜx‬‬ ‫)= ,‪( R‬‬ ‫‪R ⊆ A× B‬‬ ‫)1‬ ‫)2‬ ‫)3‬ ‫)4‬ ‫)5‬ ‫)6‬ ‫. למשל‬ ‫רפלקסיביות ‪x∈A‬‬ ‫)< ,‪( R‬‬ ‫אנטי רפלקסיביות‪∀ x∈A‬‬ ‫‪xℜx‬‬ ‫. למשל‬ ‫אנטי סימטריות חלש‪∀ x , y∈A xℜy ∧ yℜx → x‬‬ ‫‪=y‬ה‬ ‫)≤ ,‪( R‬‬ ‫. למשל‬ ‫אנטי סימטריות ‪¬∃ x , y∈A xℜy ∧ yℜx‬‬ ‫. )< ,‪( R‬‬ ‫חזקה‬ ‫)= ,‪( R‬‬ ‫למשל ‪∀ x , y∈A xℜy → yℜx‬‬ ‫. ( → )‪ y‬ל‬ ‫סימטריות‬ ‫)‪ ¬xℜy ∨ ¬yℜx‬למש ≠ ‪∀ x , y∈A ( x‬‬ ‫אנטי-סימטריות‬ ‫יחסים – תכונות בסיסיות )2(‬ ‫) ‪. ∀x , y , z∈A ( xℜy ∧ yℜz → xℜz‬‬ ‫6( טרנסטיביות‬ ‫)≤ ,‪ ( R, =,) ( R, <,) ( R‬כולם טרנסטיביים.‬ ‫למשל‬ ‫יחסים – דוגמאות‬ ‫דוגמא )≤ ,‪. 3ℜ5 5ℜ2 ℜ = ( R‬‬ ‫,‬ ‫1:‬ ‫רפלקסיבי, אנטי סימטרי חלש, טרנזיטיבי.‬ ‫‪A‬‬ ‫דוגמא 2: קבוצת‬ ‫ל ‪ x‬ול‬ ‫‪y‬אותו‬ ‫צבע‬ ‫אנשים‬ ‫עיניים‬ ‫↔ ‪xℜy‬‬ ‫רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי.‬ ‫יחסים – דוגמאות‬ ‫• דוגמא‬ ‫3< ,‪ℜ = ( R‬‬ ‫):‬ ‫אנטי רפלקסיבי, אנטי סימטרי חזק, טרנזיטיבי.‬ ‫יחסים - תכונות מורכבות‬ ‫יחס שקילות : רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי.‬ ‫יחס סדר חלש: רפלקסיבי, אנטי סימטרי חלש,‬ ‫טרנזיטיבי.‬ ‫או רפלקסיבי ,אנטי סימטרי ,וטרנזיטיבי‬ ‫יחס סדר חזק: אנטי סימטרי חזק, טרנזיטיבי.‬ ‫או אי-רפלקסיבי אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‬ ‫יחס סדר מלא: כל שני איברים שונים ניתנים‬ ‫להשוואה.‬ ‫יחס סדר לא מלא: קיימים שני איברים שונים שלא‬ ‫ניתנים להשוואה.‬ ‫יחסים – דוגמאות נוספות )1(‬ ‫•‬ ‫‪∀ x , y∈A (0 < x − y < 1 → xℜ, ) A = :R‬‬ ‫‪y‬‬ ‫דוגמא‬ ‫)‪∀ x∈A ( xℜx‬‬ ‫רפלקסיביות‬ ‫• נבדוק‬ ‫)1:< ‪∀ x∈A¬(0 < x − x‬‬ ‫אנטי רפלקסיבי‬ ‫• נבדוק‬ ‫לא סימטרי: נבחר 1=‪x = 0.5 y‬‬ ‫.‬ ‫:‬ ‫.‬ ‫סימטריות‪∀ x , y∈A ( xℜy ↔ y‬‬ ‫)‪ℜx‬‬ ‫:‬ ‫.‬ ‫יחסים – דוגמאות נוספות )1(‬ ‫)המשך(‬ ‫• נבדוק‬ ‫:‬ ‫לא טרנזיטיבי: נבחר 57.0=‪x=2, y=1.5, z‬‬ ‫טרנזטיביות‪∀ x , y , z∈A ( xℜy ∧ yℜz → x‬‬ ‫) ‪ℜz‬‬ ‫0>5.1-2>1, 0>57.0-5.1>1‬ ‫אבל 0>57.0-2>1‬ ‫יחסים – דוגמאות נוספות )2(‬ ‫‪u‬‬ ‫• יחס ההכלה:‬ ‫-‬ ‫) ‪u‬ה, = ‪ℜ = ⊆ A‬‬ ‫קבוצ( ‪P‬‬ ‫,‬ ‫‪x ⊆ y ↔ xℜy‬‬ ‫}‪ℜ = {< x, y >| x ∈ P (u ) ∧ y ∈ P (u ) ∧ x ⊆ y‬‬ ‫תכונות היחס:‬ ‫•‬ ‫רפלקסיב‪x ⊆:x‬‬ ‫י‬ ‫• לא‬ ‫•‬ ‫.‬ ‫}1{:= ‪x = φ , y‬‬ ‫סימטרי‬ ‫‪x ⊆ y, y ⊆ x‬‬ ‫טרנזיטיבי ‪( x ⊆ y ∧ y ⊆ z ) → x ⊆ z‬‬ ‫:‬ ‫יחסים – דוגמאות נוספות )3(‬ ‫‪A‬‬ ‫אדם.קבוצת בני‬ ‫‪y‬‬ ‫של ⇔ ‪xℜy‬‬ ‫‪ x‬צאצא‬ ‫אנטי סימטרי חזק- ‪ x‬צאצא של ‪ y‬אז ‪ y‬לא‬ ‫צאצא של ‪.x‬‬ ‫טרנזיטיבי - ‪ x‬צאצא של ‪ y‬וגם ‪ y‬צאצא של ‪z‬‬ ‫אז ‪ x‬לא צאצא של ‪.z‬‬ ‫יחס סדר חזק )לא מלא(.‬ ‫יחסים – דוגמאות נוספות )4(‬ ‫ש ‪xℜy ⇔ y‬‬ ‫ל‬ ‫‪ x‬בן‬ ‫אנטי סימטרי חזק.‬ ‫לא טרנזיטיבי.‬ ‫תאור יחסים ע"י גרף‬ ‫ניתן לתאר יחסים ע"י ציור גרף מכוון.‬ ‫יחסים – תרגיל 1)‪(a‬‬ ‫תנו דוגמא ליחס טרנזיטיבי, לא סימטרי, ולא‬ ‫אנטי סימטרי חלש.‬ ‫פתרון: }‪A = {a, b, c‬‬ ‫} ‪A = { a , b , b, a , a , a , b, b , a , c , b, c‬‬ ‫לא סימטרי טרנזיטיביות‬ ‫נובע‬ ‫מטרנזיטיביות‬ ‫לא אנטי‬ ‫סימטרי חלש.‬ ‫יחסים – תרגיל )1)‪b‬‬ ‫תנו דוגמא ליחס טרנזיטיבי, לא אנטי סימטרי‬ ‫חזק, ואנטי רפלקסיבי.‬ ‫פתרון: אין!‬ ‫‪∃x , y xℜy ∧ yℜx‬‬ ‫‪∃x xℜx‬‬ ‫⇐ לא אנטי‬ ‫לא אנטי‬ ‫סימטרי‬ ‫חזק‬ ‫מטרנזיטיבי‬ ‫ות‬ ‫רפלקסיבי‬ ‫יחסים – תרגיל 1)‪(c‬‬ ‫תנו דוגמא ליחס אנטי סימטרי חזק,‬ ‫ורפלקסיבי.‬ ‫פתרון: אין)‪ ∀ x , y ¬( xℜy ∧ yℜx‬אנטי‬ ‫!‬ ‫סימטרי‬ ‫חזק‬ ‫בפרט אנטי‬ ‫)‪∀ x ¬( xℜx‬‬ ‫רפלקסיבי‬ ‫יחסים – תרגיל 2‬ ‫על יחס סדריחס נגדיר ‪A‬‬ ‫,‪ S‬על‬ ‫חזק‬ ‫‪A‬‬ ‫‪R‬‬ ‫באופן הבא‬ ‫‪xSy ⇔ xRy ∨ x = :y‬‬ ‫‪ xSx‬ש.‬ ‫פתרון כ‬ ‫הראה: ‪S‬י ‪ S‬יחס סדר חל‪∀ x‬‬ ‫רפלקסיבי ככ⇒ ‪∀ x , y , z xSy ∧ ySz‬‬ ‫י י טרנזיטיבי‬ ‫‪S‬‬ ‫⇒ )) ‪∀ x , y , z (( xRy ) ∨ ( x = y )) ∧ (( yRz ) ∨ ( y = z‬‬ ‫‪⇒ ∀ x , y , z xSz‬‬ ‫טרנזיטיביות‬ ‫‪R‬‬ ‫יחסים – תרגיל 2 )המשך(‬ ‫‪S‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נראה = ‪: y‬‬ ‫מההנחה:‬ ‫‪x, y‬‬ ‫,‪xSy‬‬ ‫‪ ySx‬ונניח אנטי-‬ ‫) ‪( xRy ∨ y = x) ∧ ( yRx ∨ x = y‬‬ ‫) ‪⇒ ( xRy ∧ yRx) ∨ ( x = y‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪R‬אנטי סימטרי חזק ולכן‪F‬כלומר ,‬ ‫‪.x=y‬‬ ‫יחס הפוך‬ ‫‪A‬ב‬ ‫יחס הפוך: ‪ℜ‬י יחס‬ ‫יה‬ ‫1−‬ ‫1−‬ ‫היחס ‪ ℜ‬מוגדר ‪”x‬י ‪yℜ‬‬ ‫ע‬ ‫.‬ ‫↔ ‪xℜy‬‬ ‫1−‬ ‫• דוגמא) ≥ ,‪( R, ≤) ↔ ( R‬‬ ‫:‬ ‫‪y‬‬ ‫• דוגמא:‪ x ↔ xℜ‬בן של .‪y‬‬ ‫1−‬ ‫‪↔ yℜ x y‬‬ ‫של הורה‬ ‫‪.x‬‬ (3) ‫דוגמא‬ −1 ℜ =ℜ⇔ ‫ סימטרי‬ℜ‫טענה‬ : :‫הוכחה‬ yℜx) ⇔ ‫ סימטרי‬ℜ ∀ x , y ( xℜy ↔ −1 ∀ x , y ( xℜy ↔ xℜ y ) ⇔ −1 x, y ∈ ℜ ↔ x, y ∈ ℜ ⇔ −1 ℜ=ℜ ⇔ ‫הרכבת יחסים‬ ‫‪RS‬‬ ‫• הרכבת יחסים: יהיו‪ R,S‬יחסים ב ‪ A‬היחס‬ ‫‪xR Sz ⇔ ∃ y xSy ∧ yRz‬‬ ‫מוגדר:‬ ‫של בן.‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y yRz‬‬ ‫‬‫‪ x- xRy‬של בן.‬ ‫‪y‬‬ ‫של נכד‬ ‫‪.z‬‬ ‫‪x-xR Rz‬‬ ‫הרכבת יחסים )דוגמא(‬ ‫של חבר‬ ‫‪.z‬‬ ‫‪y- yRz‬‬ ‫‪x- xSy‬‬ ‫‪x- x( S R ) z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪- x( R S ) z‬של‪.z‬‬ ‫של‪.z‬‬ ‫של קרוב משפחה‬ ‫‪.y‬‬ ‫במשפחה חבר של מי‬ ‫החברים קרוב של אחד‬ ‫יחסים – הוכחות‬ ‫• יהי ‪ R‬יחס על קבוצה ‪ .A‬טענה‬ ‫⇔ ‪RR ⊆ R‬‬ ‫‪ R‬טרנזיטיבי‬ ‫הוכחה:‬ ‫‪ R ⇔ ∀ x , y , z xRy ∧ yRz → xRz‬טרנזיטיב‬ ‫‪ ∀ (∃ xRy ∧ yRz ) → xRz‬י‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x,z‬‬ ‫‪⇔ ∀ x , z ( xR Rz ) → xRz‬‬ ‫יחסים – הוכחות‬ ‫• יהי ‪ R‬יחס על קבוצה ‪ .A‬טענה‬ ‫⇔ ‪R ⊆ RR‬‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‬ ‫‪: ∀ x , z xRz → xR Rz‬‬ ‫הוכחה: נראה‬ ‫אם ‪ xRz‬אז מרפלקסיביות ‪xRz ∧ zRz‬‬ ‫נובע‬ ‫‪xR Rz‬‬ ‫ולכן‬ ‫.‬ ‫אם ‪ R‬יחס טרנזיטיבי ורפלקסיבי ‪ ‬י‬ ‫‪R‬אז‪R = R‬‬ ‫יחסים – הוכחות‬ R ( S T ) = ( R S ) T:‫טענה‬ xR ( S T ) y ⇔ ∃z ( x( S T ) z ∧ zRy ) :‫הוכחה‬ ⇔ ∃z ∃ y { ( xTu ∧ uSz ∧ zRy )} ⇔ ∃z ∃ y { ( xTu ∧ u ( R S ) y )} ⇔ ∃z ∃ y { ( x( R S ) Ty )} • ‫יחסים – הוכחות‬ ( R S ) −1 = S −1 R −1 :‫טענה‬ x ( R S ) −1 y ⇔ y( R S ) x ⇔ ∃z ( ySz ∧ zRx) ⇔ ∃z ( zS −1 y ∧ xR −1 z ) ⇔ ∃z ( xR −1 z ∧ zS −1 y ) ⇔ x( S −1 R −1 ) y :‫הוכחה‬ • ‫פונקציות חזרה‬ ‫נתונה פונקציה‬ ‫מצא את תחום וטווח ל ‪.g‬‬ ‫• א.‬ ‫פתרון: התחום של ‪ g‬הוא → ‪ , N × N‬והטווח→ ‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫.‬ ‫))1 + ‪g = λf ∈ N × N → N .(λx ∈ N .( f ( x,2 x‬‬ ‫פונקציות חזרה )המשך(‬ ‫נתונה פונקציה‬ ‫האם ‪ g‬על? נמקו.‬ ‫• ב.‬ ‫פתרון: ‪ g‬היא על. יהי ‪ h‬איבר בטווח, כלומר‬ ‫פונקציה מ ‪ . N → N‬נצטרך להראות כי לכל ‪h‬‬ ‫‬‫=‬ ‫*‬ ‫קיימת פונקציה‪ f‬בתחום עבור‪h‬ה ) ‪. g ( f‬‬ ‫נגדיר א * ‪ f‬להיות :‪f. * f * = λx ∈ N , y ∈ N .h( x‬‬ ‫)‬ ‫זו‬ ‫ת‬ ‫מקיימת:‬ ‫= ) )‪g ( f ) = ( λf ∈ N × N → N .(λx ∈ N .( f ( x,2 x + 1)) ) ( λx ∈ N , y ∈ N .h( x‬‬ ‫))1 + ‪g = λf ∈ N × N → N .(λx ∈ N .( f ( x,2 x‬‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫‪λx ∈ N .(( λx ∈ N , y ∈ N .h( x) ) ( x,2 x + 1)) = λx ∈ N .h( x) = h‬‬ ‫תרגיל 5, שאלה 6‬ ‫יש להוכיח את נכונות כל‬ ‫‪N‬‬ ‫א. מצא פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצה‬ ‫תשובה‬ ‫}1,0 { × ‪N‬‬ ‫והקבוצה‬ ‫‪if n = 2k , k ∈ N‬‬ ‫תשובה: ‪if n = 2k + 1, k ∈ N‬‬ ‫0, ‪ k‬‬ ‫‪f (n) = ‬‬ ‫1, ‪ k‬‬ ‫)∞ ,1[‬ ‫)1,0[ × ‪N‬‬ ‫ב. מצא פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצה‬ ‫והקבוצה‬ ‫‪f ( x) = x − 1, x − x ‬‬ ‫תשובה:‬ ‫תרגיל 5, שאלה 6 )המשך 1(‬ ‫ג. מצא פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצ{ × ‪{ 0,1} N‬‬ ‫‪ 0,1} N‬ה‬ ‫‪N‬‬ ‫.‬ ‫והקבוצה{‬ ‫}1,0‬ ‫‪odd‬‬ ‫>ן2 ‪< g1 , g‬‬ ‫בהינת‬ ‫‪g1 ∈ {0,1}N even‬‬ ‫,‬ ‫תשובה:‬ ‫הפונקציה תחזיר את הפונקציה‬ ‫‪ g1 ( x) x ∈ N even‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪ g 2 ( x) x ∈ N odd‬‬ ‫‪even‬‬ ‫‪g 2 ∈ {0,1}N odd‬‬ ‫,‬ ‫תרגיל 5, שאלה 6 )המשך 2(‬ ‫‪N‬‬ ‫ד. מצא פונקציה חח"ע ועל בין ‪× { 0,1} N‬ה }1,0 {‬ ‫הקבוצ‬ ‫‪{ 0,1,2,3} N‬‬ ‫.‬ ‫והקבוצה‬ ‫תשובה:‬ ‫בהינתן> 2 ‪, g 2 ∈{0,1}N g1 ∈{0,1}N < g1 , g‬‬ ‫,‬ ‫הפונקציה תחזיר את =הפונקציה:‬ ‫0 )‪if g (n) = 0 ∧ g (n‬‬ ‫0‪‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0 = )‪1 if g (n) = 1 ∧ g (n‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪f ( n) = ‬‬ ‫1 = )‪2 if g1 (n) = 0 ∧ g 2 (n‬‬ 1 = )‪3 if g1 (n) = 1 ∧ g 2 (n‬‬ ‫‪‬‬ ‫תרגיל 5, שאלה 6 )המשך 3(‬ ‫ה. מצא פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצה‬ ‫}1 < ‪− 1 < y‬‬ ‫,1 < ‪{ ( x, y) ∈ R × R | −1 < x‬‬ ‫}1 < ‪0 < y‬‬ ‫,3 < ‪{ ( x, y ) ∈ R × R | −3 < x‬‬ ‫והקבוצה‬ ‫> 5.0 + ‪f ( x, y ) = . 3 ⋅ x,0.5 ⋅ y‬‬ ‫<‬ ‫תשובה:‬ ‫תרגיל 5, שאלה 6 )המשך 4(‬ ‫ו. מצא פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצה‬ ‫}1 < 2 ‪+ y 2 + z‬‬ ‫2‬ ‫‪{ ( x, y , z ) ∈ R × R × R | x‬‬ ‫} 50024002 < 2 ‪+ y 2 + z‬‬ ‫2‬ ‫‪{ ( x, y , z ) ∈ R × R × R | x‬‬ ‫והקבוצה‬ ‫.‬ ‫תשובה:‬ ‫> ‪f ( x, y, z ) = < 2004 2005 ⋅ x, 2004 2005 ⋅ y, 2004 2005 ⋅ z‬‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online