Theory2-www.underwar.co.il

Theory2-www.underwar.co.il - ‫מבוא למתמטיקה...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫תורת הקבוצות‬ ‫נושא 2.‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫)המשך(‬ ‫1. יחסים‬ ‫א( זוגות סדורים . מכפלה קרטזית‬ ‫הגדרה. זוג סדור הוא זוג עצמים )לאו דווקא שונים( שבו נתון סדר , ז''א נתון איזה עצם‬ ‫הראשון ואיזה השני .‬ ‫דוגמה. >4,3< - הזוג הסדור שאיברו הראשון 3 ואיבר השני 4 ,‬ ‫>3,4< - הזוג הסדור שאיברו הראשון 4 ואיבר השני 3 ,‬ ‫נדגיש ש- >4,3< ≠ >3,4<‬ ‫>3,3< - הזוג הסדור שאיברו הראשון 3 ואיבר השני 3 ,‬ ‫הערה. לא משתמשים בסימון ∈ לזוגות סדורים .‬ ‫שוויון זוגות סדורים. נאמר כי >‪ <a,b> = <c,d‬אם ורק אם ‪ a = b‬וגם ‪.c = d‬‬ ‫באופן דומה נדבר על שלשות סדורות, רביעיות סדורות וכו' .‬ ‫הגדרת מכפלה קרטזית.‬ ‫תהינה ‪ A, B‬קבוצות. נגדיר‬ ‫}‪A × B = {< a , b >| a ∈ A, b ∈ B‬‬ ‫הקבוצה ‪ A × B‬נקראת מכפלה קרטזית קבוצה ‪ A‬בקבוצה ‪. B‬‬ ‫בדרך כלל ‪A × B ≠ B × A‬‬ ‫דוגמה 1.‬ ‫דוגמה 2.‬ ‫דוגמה 3.‬ ‫}> 4,2 < ,> 3,2 < ,> 1,2 < ,> 4,1 < ,> 3,1 < ,> 1,1 <{ = }4,3,1{ × }2,1{‬ ‫}> 2,4 < ,> 1,4 < ,> 2,3 < ,> 1,3 < ,> 2,1 < ,> 1,1 <{ = }2,1{ × }4,3,1{‬ ‫מישור- }‪R × R = {< x, y >| x ∈ R, y ∈ R‬‬ ‫לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים ‪Ø × A = Ø‬‬ ‫)כי אין זוגות סדורות שהאיבר הראשון שלהם שייך ל- ‪Ø‬‬ ‫ב( הגדרה של יחס. תחום וטווח.‬ ‫הגדרה. יחס )דו-מקומי( היינו קבוצה של זוגות סדורים.‬ ‫הגדרה. יחס )דו-מקומי( על קבוצה ‪ A‬היינו תת קבוצה של ‪. A × A‬‬ ‫דוגמא. עד פה סימון < )כמו 3<2( לא היה עצם מתמטי . עתה הוא הקבוצה:‬ ‫}…>3,2< ,>3,1< ,>2,1< ,>4,3<{ = < ,‬ ‫ז''א קבוצת כל הזוגות הסדירים >‪ <n, m‬של מספרים טבעיים שבהם ‪. n<m‬‬ ‫זהו יחס על ‪. N‬‬ ‫1‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫משתמשים גם בסימון ‪ <N‬ליחס < ב- ‪ . N‬אז‬ ‫}…>3,2< ,>3,1< ,>2,1< ,>4,3<{ = ‪<N‬‬ ‫עוד דוגמא: יחס השוויון על ‪. N‬‬ ‫}…>4,4< ,>3,3< ,>2,2< ,>1,1<{ = ‪=N‬‬ ‫סימון. יהא ‪ R‬יחס דו-מקומי.‬ ‫אם ‪ < a, b >∈ R‬אז נסמן גם ‪. aRb‬‬ ‫)במקרים קונקרטיים משתמשים במקום ‪ R‬ב- <, >, =,...(.‬ ‫כשאין הדבר כך נסמן ‪. a R b‬‬ ‫הערה. אם ‪ R‬יחס על ‪ A‬ו- ‪ A ⊆ B‬אז ‪ R‬יחס גם על ‪. B‬‬ ‫למשל ‪ <N‬יחס על ‪ N‬אך גם על ‪. C ,R ,Q ,Z‬‬ ‫הגדרה. יהא ‪ R‬יחס על ‪ A‬ונניח כי ‪ . C ⊆ A‬צמצום ‪ R‬ל- ‪ C‬היינו היחס‬ ‫‪R1 C = (C × C ) ∩ R‬‬ ‫למשל ‪< N =< Z 1N‬‬ ‫הגדרה. תחום היחס ‪: R‬‬ ‫} קיים ‪ b‬כך ש- ‪Dom(R) = {a | <a,b> € R‬‬ ‫טווח היחס ‪: R‬‬ ‫} קיים ‪ b‬כך ש- ‪Range(R) = {b | <a,b> € R‬‬ ‫דוגמאות:‬ ‫1.‬ ‫} 3 ,2 ,1{ = ‪A‬‬ ‫}>3,2< ,>3,1< , >2,1<{= ‪R = <A‬‬ ‫}2 ,1{ = )‪Dom (R‬‬ ‫}3,2{ = )‪Range (R‬‬ ‫2.‬ ‫}2‪R = {<x,y> | x,y € Z, y=x‬‬ ‫‪Dom (R) = Z‬‬ ‫}…,61 ,9 ,4 ,1 ,0{ = )‪Range (R‬‬ ‫3.‬ ‫} ‪ x, y‬בני אדם , ‪ x‬בנו\בתו ‪R = {<x,y> | y‬‬ ‫כל בני האדם שחיו או חיים - )‪Dom (R‬‬ ‫כל ההורים - )‪Range (R‬‬ ‫יש עניין: למצוא כל יחסי השקילות על קבוצה.‬ ‫ג(‬ ‫תכונות של יחסים.‬ ‫יהא ‪ R‬יחס על ‪.A‬‬ ‫הגדרה. יהא ‪ R‬יחס על קבוצה ‪ R .A‬יקרא רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪< a, a >∈ R‬‬ ‫הגדרה. ‪ R‬יקרא סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬מתקיים‬ ‫‪< b, a >∈ R ⇔< a, b >∈ R‬‬ ‫2‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫הגדרה. ‪ R‬יקרא טרנזיטיבי אם לכל ‪ a, b, c ∈ A‬מתקיים‬ ‫‪< a, c >∈ R ⇐< a, b >∈ R , < b, c >∈ R‬‬ ‫דוגמאות:‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫4.‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫= , ≤ , ⊆ - יחסים רפלקסיביים )אך לא < ( .‬ ‫‪ =N‬רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי‬ ‫‪ <N‬אינו סימטרי ואינו רפלקסיבי אך הוא טרנזיטיבי‬ ‫‪ ≤N‬אינו סימטרי אף רפלקסיבי וטרנזיטיבי‬ ‫‪X‬‬ ‫5. תהא ‪ X‬קבוצה. נגדיר על )‪ P(X‬יחס‬ ‫} ‪⊆ = {< A, B >| A ⊆ B ⊆ X‬‬ ‫זהו יחס טרנזיטיבי‬ ‫‪X‬‬ ‫6. }2 ≤| ‪R = {< a , b >∈ Z × Z || a − b‬‬ ‫יחס זה סימטרי ורפלקסיבי אך לא טרנזיטיבי. ‪ < 5,3 >, < 3,2 >∈ R‬אך ‪< 5,2 >∉ R‬‬ ‫ד( יחס שקילות. מחלקת השקילות . קבוצת המנה‬ ‫הגדרה. יהא ‪R‬‬ ‫א. ‪R‬‬ ‫ב. ‪R‬‬ ‫ג. ‪R‬‬ ‫יחס על קבוצה ‪ .A‬נאמר כי ‪ R‬יחס שקילות על ‪ A‬אם:‬ ‫רפלקסיבי‬ ‫סימטרי‬ ‫טרנזיטיבי‬ ‫דוגמאות. 1. יחס השוויון על ‪. A‬‬ ‫2. קבוצת תושבי הארץ - ‪, A‬‬ ‫} ‪ x, y‬אזרחי אותה מדינה | >‪R = { <x, y‬‬ ‫3. קבוצת כל הילדים - ‪, A‬‬ ‫} ‪ x, y‬ילדי אותה שנה | >‪S = { <x, y‬‬ ‫4. }‪ n-m‬מתחלק ב-4 | ‪≡ 4 = {< n, m >∈ Z × Z‬‬ ‫נוכיח שהיחס האחרון הוא יחס שקילות .‬ ‫רפלקסיביות. 4 ≡∈> ‪n − n = 4 ⋅ 0 ⇒< n, n‬‬ ‫סימטריות. אם 4 ≡∈> ‪ < n, m‬אז ‪ n-m = 4k‬עם ‪ . k ∈ Z‬לכן ‪ m-n = -4k‬ו- 4 ≡∈> ‪< m, n‬‬ ‫טרנזיטיביות. נניח 4 ≡∈> ‪< n, m >, < m, p‬‬ ‫אזי קיימים ‪ k , l ∈ Z‬כך ש- ‪. m-p = 4l, n-m = 4k‬‬ ‫לכן )‪ n-p = 4(k+l‬ו- 4 ≡∈> ‪< n, p‬‬ ‫הגדרה . יהא ‪ R‬יחס שקילות על ‪ . A‬יהא ‪. a ∈ A‬‬ ‫מחלקת השקילות של ‪ a‬ביחס ‪ R‬היינה }‪a / R = {b ∈ A | aRb‬‬ ‫הגדרה . קבוצה }‪ A / R = {a / R | a ∈ A‬כל המחלקות השקילות של ‪ R‬נקראת קבוצת המנה‬ ‫של ‪. A‬‬ ‫דוגמאות. 1. ביחס 4 ≡ מתקיים‬ ‫4 ≡ / 1− = } ‪3 / ≡ 4 = {..., −9,−5,−1,3,7,11,...} = {4a + 3 | a ∈ Z‬‬ ‫3‬ ‫1669-1-102‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫למעשה יש כאן בדיוק ארבע מחלקות שקילות : 4 ≡ / 0 , 4 ≡ / 1 , 4 ≡ / 2 , 4 ≡ / 3‬ ‫קבוצת המנה כללת ארבע קבוצות אלה. אז } 4 ≡ / 3, 4 ≡ / 2, 4 ≡ / 1, 4 ≡ / 0{ = 4 ≡ / ‪Z‬‬ ‫2. קבוצת תושבי כדור הארץ = ‪A‬‬ ‫} ל- ‪ x, y‬אותה אזרחות | >‪R = { <x, y‬‬ ‫מחלקות השקילות : הלאומים השונים .‬ ‫משפט. יהא ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ . A‬יהיו ‪ . a, b ∈ A‬אזי או ש- ‪ a / R = b / R‬או ש-‬ ‫‪. a /R ∩b/ R = Ø‬‬ ‫הוכחה. אם ‪ a / R ∩ b / R = Ø‬סיימנו.‬ ‫נניח ש- ‪ . a / R ∩ b / R ≠ Ø‬צריך להוכיח ‪. a / R = b / R‬‬ ‫מההנחה קיים איבר ‪ c ∈ A‬כך ש- ‪ c ∈ b / R‬ו- ‪c ∈ a / R‬‬ ‫כלומר ‪ . < a, c >∈ R , < b, c >∈ R‬מכאן ‪ < c, a >∈ R‬ולכן ‪ < b, a >∈ R‬עקב‬ ‫סימטריות וטרנזיטיביות.‬ ‫נראה כי ‪. a / R ⊆ b / R‬‬ ‫יהא ‪ . d ∈ a / R‬אזי ‪ < a, d >∈ R‬ולכן ‪. < b, d >∈ R‬‬ ‫כלומר ‪ d ∈ b / R‬כנדרש .‬ ‫משיקולי סימטריה גם ‪ . b / R ⊆ a / R‬אז ‪. a / R = b / R‬‬ ‫נעבור עכשיו למושג החלוקה של קבוצה.‬ ‫הגדרה. נניח ש- ‪ P‬קבוצה שאיבריה הם קבוצות.‬ ‫נגדיר‬ ‫} קיימת ‪ B ∈ P‬כך ש- ‪U P = { x | x ∈ B‬‬ ‫דוגמאות. 1. }6,5,4,3,2{ = } }6,5,2{ ,}4{ ,}3,2{ { ‪U‬‬ ‫2. } קב' אזרחי אנגליה , קב' אזרחי צרפת , קב' אזרחי איטליה,... { = ‪P‬‬ ‫קבוצת אזרחי אירופה - ‪U P‬‬ ‫הגדרה. תהא ‪ A‬קבוצה. חלוקה של ‪ A‬היינה קבוצה ‪ P‬של קבוצות המקיימת את התנאים :‬ ‫א.‬ ‫‪,UP=A‬‬ ‫ב.‬ ‫לכל ‪ B,C ∈ P‬שונות בהכרח ‪, B∩C = Ø‬‬ ‫‪Ø∉ P‬‬ ‫ג.‬ ‫הערה. ניתן לחשוב על חלוקה של ‪ A‬כחלוקת יבשת למדינות ללא אזורים מפורזים וללא‬ ‫שטחים משוטפים.‬ ‫דוגמאות. 1. אוסף קבוצות אזרחי מדינות אירופה, כמקדם ,‬ ‫2. } } ‪P = { {4n|n ∈ Z } , {4n + 1|n ∈ Z } , {4n + 2|n ∈ Z } , {4n + 3|n ∈ Z‬‬ ‫הערה. נשים לב שבדוגמא הראשונה קיבלנו את קבוצת המנה של היחס "שוויון אזרחות"‬ ‫ובדוגמא השניה את קבוצת המנה של היחס 4 ≡ .‬ ‫משפט. יהא ‪ R‬יחס שקילות על הקבוצה ‪ . A‬אזי קבוצת המנה ‪ A / R‬הנה חלוקה של ‪. A‬‬ ‫הוכחה. נסמן }‪ P = A / R = {a / R | a ∈ A‬ונוכיח ש- ‪ P‬חלוקה.‬ ‫)א( נראה ש- ‪. U P = A‬‬ ‫4‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫אם ‪ a ∈ A‬אז מהרפלקסיביות נובע ‪ < a, a >∈ R‬ולכן ‪ . a ∈ a / R‬מהגדרת ‪U P‬‬ ‫נובע ש- ‪ . a ∈ ∪P‬לפי כך ‪. A ⊆ ∪P‬‬ ‫להפך, יהא ‪ . a ∈ ∪P‬אזי ‪ a‬שייך למחלקת שקילות של ‪ A‬אך מחלקות שקילות‬ ‫הן תת-קבוצות של ‪ . A‬לכן ‪. a ∈ A‬‬ ‫קיבלנו: ‪ ∪ P ⊆ A‬ובס''כ ‪. ∪ P = A‬‬ ‫)ב( תהינה ‪ B, C ∈ P‬שונות . נראה כי הן זרות .‬ ‫מהגדרת ‪ P‬יש ‪ b, c ∈ A‬כך ש- ‪B = b / R , C = c / R‬‬ ‫מהמשפט הקודם: או ש- ‪ b / R = c / R‬או ש- ‪b / R ∩ c / R = Ø‬‬ ‫הואיל ו- ‪ b / R ≠ c / R‬בהכרח ‪B ∩ C = b / R ∩ c / R = Ø‬‬ ‫)ג( נראה כי‬ ‫‪.Ø∉ P‬‬ ‫פרוש הדבר: אף מחלקת שקילות ‪ a / R‬כש- ‪ a ∈ A‬אינה ריקה .‬ ‫ואמנם, מהרפלקסיביות ‪ a ∈ a / R‬ולכן ‪a / R ≠ Ø‬‬ ‫בזאת הוכחנו ש- ‪ P‬חלוקה .‬ ‫מיחסי שקילות קיבלנו חלוקות. עכשיו נבנה מחלקות יחסי שקילות .‬ ‫הגדרה. תהא ‪ P‬חלוקה של קבוצה ‪ . A‬נגדיר את היחס ‪) EP‬התלוי ב- ‪ ( P‬על ‪ A‬כדלקמן‬ ‫}קיימת ‪ C ∈ P‬כך ש- ‪EP = { <a,b> | a, b ∈ C‬‬ ‫טענה: ‪ EP‬היינו יחס שקילות .‬ ‫הוכחה . א( . ‪ EP‬היינו יחס על ‪. A‬‬ ‫אם ‪ < a, b >∈ E P‬אז קיימת ‪ C ∈ P‬כך ש- ‪ . a, b ∈ C‬בפרט ‪ a, b ∈ ∪P‬אך ‪U P = A‬‬ ‫)מהגדרת חלוקה(. לכן ‪ a, b ∈ A‬כלומר ‪. < a, b >∈ A × A‬‬ ‫בזאת הוכחנו כי ‪ E P ⊆ A × A‬כנדרש .‬ ‫ב( . ‪ EP‬רפלקסיבי.‬ ‫יהא ‪ . a ∈ A‬צריך להוכיח ‪. < a, a >∈ E P‬‬ ‫מעבדה ש- ‪ A∈ ∪P‬בהכרח ‪ a ∈ ∪P‬כלומר קיימת ‪ C ∈ P‬כך ש- ‪. a ∈C‬‬ ‫אז ‪. < a, a >∈ E P‬‬ ‫ג( . ‪ EP‬יחס סימטרי.‬ ‫נניח ש- ‪ . < a, b >∈ E P‬אזי קיימת ‪ C ∈ P‬כך ש- ‪ . a, b ∈C‬נוכל גם לומר ש-‬ ‫‪ b, a ∈ C‬כלומר ‪< b, a >∈ E P‬‬ ‫ד( . ‪ EP‬יחס טרנזיטיבי.‬ ‫נניח ש- ‪ . < b, c >∈ E P , < a, b >∈ E P‬אזי קיימות ‪ C, D ∈ P‬כך ש- ‪, a, b ∈C‬‬ ‫‪. b, c ∈ D‬‬ ‫נשים לב : ‪ b ∈C ∩ D‬ולכן ‪C ∩ D ≠ Ø‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כי ‪ P‬חלוקה אז ‪ . C = D‬לכן ‪. < a, c >∈ E ← a, b, c ∈C‬‬ ‫5‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫דוגמא. ‪ – A‬קבוצת כל האנשים הנמצאים בחדר ,‬ ‫נגדיר יחס } ‪ a, b , a, b ∈ A‬נולדו באותו חודש | >‪R = { <a, b‬‬ ‫קיבלנו חלוקה } }נולדו בדצמבר{, ... , }נולדו בפברואר{, }נולדו בינואר{ { = ‪A/R‬‬ ‫יכולנו להתחיל מהחלוקה ובעזרתה להגדיר יחס ‪. R‬‬ ‫משפט. תהא ‪ A‬קבוצה.‬ ‫‪E‬‬ ‫א( . לכל יחס שקילות ‪ R‬על ‪ A‬מתקיים ‪= R‬‬ ‫ב( . לכל חלוקה ‪ P‬של ‪ A‬מתקיים ‪A / E P = P‬‬ ‫‪A/ R‬‬ ‫ללא הוכחה.‬ ‫ה( יחסי סדר.‬ ‫הגדרה. יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬יקרא אנטיסימטרי )או אסימטרי( אם לכל ‪ a, b ∈ A‬מתקיים‬ ‫‪< a, b >∈ R & < b, a >∈ R ⇔ a = b‬‬ ‫הערה. לחילופין יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬אנטיסימטרי אם אין איברים ‪ a, b ∈ A‬שונים כך ש-‬ ‫‪< a, b >∈ R & < b, a >∈ R‬‬ ‫הגדרה. יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬יקרא יחס סדר חלקי אם:‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‬ ‫‪ R‬אנטיסימטרי‬ ‫‪ R‬טרנזיטיבי‬ ‫הגדרה. נאמר גם שהזוג הסדור >‪) <A, R‬כאשר ‪ R‬יחס סדר חלקי על קבוצה ‪ (A‬היינה‬ ‫קבוצה סדורה חלקית .‬ ‫דוגמאות: ‪ ≤Z‬על ‪ ⊆ , Z‬על )‪. P(X‬‬ ‫תאור גרף של קבוצה סדורה חלקית.‬ ‫נבין זאת כך:‬ ‫א( כל איבר עומד ביחס עם עצמו,‬ ‫ב( ‪ xRy‬אם ורק אם ניתן להגיע מ- ‪ x‬ל- ‪y‬‬ ‫ע''י עליה לאורך הקווים.‬ ‫בדוגמא ‪ aRf , aRd , aRa‬אך איברים ‪f, g‬‬ ‫לא עומדים ביחס.‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫הגדרה. תהא >‪ <A, R‬קבוצה סדורה חלקית‬ ‫ויהיו ‪ . a, b ∈ A‬נאמר כי ‪a, b‬‬ ‫ניתנים להשוואה אם ‪ aRb‬או ‪bRa‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫דוגמאות: א( בקבוצה סדורה חלקית > ≤ ,‪ < Z‬כל שני איברים ניתנים להשוות,‬ ‫ב( בקבוצה סדורה חלקית > ⊆ ,)‪ <P(X‬כש- }3 ,2 ,1{ = ‪ X‬נכון ש- }2,1{ ⊆ }1{‬ ‫אך תת-הקבוצות }2,1{ ו- }3,2{ אינם ניתנים להשוואה.‬ ‫הערה. לפעמים נכתיב ‪ a≤ bבמקום ‪ < a, b >∈ R‬או ‪ . aRb‬יש להדגיש כי אין זה יחס " ≤ "‬ ‫מוכר בין מספרים . הסימון רק מציין כי ‪ y‬נמצא מעל ‪ x‬בתרשים כנ''ל .‬ ‫תזכורת. יהא ‪ R‬יחס על ‪ A‬ו- ‪ . B ⊂ A‬הצמצום של ‪ R‬ל- ‪ B‬חיינו )‪R1B = R ∩ ( B × B‬‬ ‫6‬ ‫1669-1-102‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫טענה. אם ‪ R‬יחס סדר חלקי על ‪ A‬ואם ‪ B ⊂ A‬אז ‪ R1B‬יחס סדר חלקי על ‪. B‬‬ ‫ללא הוכחה .‬ ‫הגדרה. תהא >‪ <A, R‬קבוצה סדורה חלקית ויהא ‪ . a ∈ A‬נאמר כי ‪ a‬איבר מזער או איבר‬ ‫מינימלי אם אין ‪ b≠a‬ב- ‪ A‬כך ש- ‪ . bRa‬נאמר כי ‪ a‬איבר מרבי או איבר מקסימלי‬ ‫אם אין ‪ b≠a‬ב- ‪ A‬כך ש- ‪. aRb‬‬ ‫דוגמא. )שרטוט(‬ ‫‪g‬‬ ‫כאן ‪ a, b, c, d‬מינימליים‬ ‫‪ h, i, g‬מקסימליים‬ ‫‪i‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הגדרה. תהא >‪ <A, R‬קבוצה סדורה חלקית ויהא ‪ . a ∈ A‬נאמר כי ‪ a‬מינימום ב- >‪<A, R‬‬ ‫אם לכל ‪ b ∈ A‬מתקיים ‪ . aRb‬נאמר כי ‪ b‬מקסימום ב- >‪ <A, R‬אם לכל ‪a ∈ A‬‬ ‫מתקיים ‪. aRb‬‬ ‫דוגמאות. 1. > ‪ . < N , ≤ N‬כאן 1 – מינימום ואין מקסימום.‬ ‫}3,2,1{‬ ‫2. >⊆ ,)}3,2,1{(‪) < P‬שרטוט(‬ ‫כאן ‪ – Ø‬מינימום ,‬ ‫}3 ,2 ,1{ - מקסימום‬ ‫}2,1{‬ ‫}3,2{‬ ‫}3,1{‬ ‫}2{‬ ‫}1{‬ ‫}3{‬ ‫3. )שרטוט(‬ ‫כאן אין מינימום,‬ ‫‪ - f‬מקסימום‬ ‫‪Ø‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫טענה. בקבוצה סדורה חלקית יש לכל היותר מינימום אחד.‬ ‫הוכחה. תהא >‪ <A, R‬קבוצה סדורה חלקית . נניח ש- ‪ a, b ∈ A‬שני איברי מינימום של ‪.A‬‬ ‫מכן ש- ‪ a‬מינימום נובע ‪a≤ b‬‬ ‫מכן ש- ‪ b‬מינימום נובע ‪b≤ a‬‬ ‫מכן ש- ≤ אנטיסימטרי מקבלים ‪. b=a‬‬ ‫טענה. אם ‪ a‬מינימום בקבוצה סדורה חלקית >‪ <A, R‬אז הוא איבר מינימלי בה.‬ ‫הוכחה. נניח ש- ‪ b ∈ A‬מקיים ‪ . b≤ a‬צריך להוכיח ‪ b=a‬ואמנם מכן ש- ‪ a‬מינימום ‪. a≤ b‬‬ ‫מהאנטי סימטריות נובע ‪ . b=a‬לכן לא קיים ‪ a ≠ b ∈ A‬כך ש- ‪. b≤ a‬‬ ‫משפט. בכל קבוצה >‪ <A, R‬סדורה חלקית סופית קיים לפחות איבר מינימלי אחד .‬ ‫7‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫הוכחה. נניח שבקבוצה הנתונה אין איבר מינימלי. יהא ‪ a ∈ A‬איבר כלשהו של הקבוצה.‬ ‫לפי הנחה ‪ a‬איננו מינימלי, לכן חייב להיות איבר ‪ x1 ∈ A‬המקיים ‪ x1 ≤ a‬ו- ‪. x1 ≠ a‬‬ ‫גם אינו מינימלי, לכן חייב להיות איבר ‪ x 2 ∈ A‬שונה מ- 1‪ x‬המקיים 1‪ , x 2 ≤ x‬וכך הלאה.‬ ‫באופן כזה מתקבלת סדרה של איברים המקיימים:‬ ‫)1( 1‪... ≤ x n +1 ≤ x n ≤ ... ≤ x 2 ≤ x‬‬ ‫)2( ‪ xi +1 ≠ xi‬עבור כל ‪. i‬‬ ‫מכיוון שמספר איברי הקבוצה הוא סופי, חייבים להיות בסדרה זו שני איברים שווים,‬ ‫למשל, 1 ≥ ‪ . x k + t = x k , t‬לפי התכונה )1( נקבל ‪. x k +1 ≤ x k‬לפי טרנזיטיביות של היחס ≤‬ ‫נקבל ‪ . x k +1 ≥ x k + t = x k‬לבסוף מתקיימים התנאים הבאים: 1+ ‪ x k ≤ x k‬ו- ‪ . x k +1 ≤ x k‬בגלל‬ ‫האנטי-סימטריות של היחס ≤ נקבל 1+ ‪ , x k = x k‬בניגוד למבנה הסדרה )תכונה )2( (.‬ ‫סתירה זו מוכיחה, כי חייב להיות ב- ‪ A‬לפחות איבר מינימלי אחד.‬ ‫חשוב לשים לב שאם ‪ A‬היא קבוצה אינסופית אז המשפט האחרון לא תמיד נכון. לדוגמא, ב- > ≤ ,‪< Z‬‬ ‫אין איבר מינימלי אך ב- > ≤ ,‪ < N‬יש איבר מינימלי )מספר 1 (.‬ ‫2. פונקציות.‬ ‫א( הגדרה של פונקציה. תחום, טווח ותמונה של פונקציה‬ ‫תהיינה ‪ A‬ו- ‪ B‬קבוצות כלשהן . נגדיר יחס מ- ‪ A‬ל- ‪. B‬‬ ‫הגדרה 1. תת-קבוצה ‪ F‬כלשהי של מכפלה קרטזית ‪ A × B‬נקראת יחס מ- ‪ A‬ל- ‪. B‬‬ ‫)ז''א ‪( F ⊆ A × B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫דוגמא 1. }‪A = {1,2,3}, B = {a, b‬‬ ‫}> ‪, A × B = {< 1,a > , < 2,a > , < 3,a > , < 1,b > , < 2,b > , < 3,b‬‬ ‫}> ‪F = {< 1,a > , < 2,b > , < 3,b‬‬ ‫‪ F‬הוא היחס מ- ‪ A‬ל- ‪. B‬‬ ‫הגדרה 2. יחס ‪ F‬מ- ‪ A‬ל- ‪ B‬נקרא פונקציה אם לכל ‪ a ∈ A‬קיים ‪ b ∈ B‬אחד ויחיד כך‬ ‫ש- ‪. aFb‬‬ ‫במילים אחרות אם ‪ F‬היא פונקציה אז מ- 1‪ aFb‬ו- 2‪ aFb‬נובע 2‪. b1 = b‬‬ ‫דוגמא 2. תהיינה קבוצות ‪ A‬ו- ‪ B‬הנזכר לעיל בדוגמא 1 .‬ ‫יהיו 1‪ F‬ו- 2‪ F‬יחסים מ- ‪ A‬ל- ‪: B‬‬ ‫}> ‪F1 = {< 1,a > , < 2,b > , < 3,b‬‬ ‫}> ‪F2 = {< 1,a > , < 1,b > , < 3,a‬‬ ‫אזי 1‪ F‬היא פונקציה מ- ‪ A‬ל- ‪ B‬אולם 2‪ F‬אינה פונקציה מכיוון ש- - ‪ 1F2 b‬ו- ‪1F2 a‬‬ ‫אבל ‪. a ≠ b‬‬ ‫8‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫נשים לב. אנו אוסרים על המצבים :‬ ‫?‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫אך מרשים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫תיאור אחר של פונקציה הוא הבא.‬ ‫הגדרה 3. תהיינה ‪ A‬ו- ‪ B‬קבוצות כלשהן. נניח כי לכל ‪ a ∈ A‬מתאים איבר יחיד ‪. b ∈ B‬‬ ‫האוסף של התאמות כאלה יקרא פונקציה מ- ‪ A‬ל- ‪. B‬‬ ‫נכתוב ‪ f : A → B‬או ‪. A ⎯ f B‬‬ ‫→⎯‬ ‫נכתוב )‪ f(a‬קרי " ‪ f‬של ‪ " a‬עבור האיבר של ‪ B‬אשר ‪ f‬מתאימה ל- ‪ . a ∈ A‬זהו הערך של ‪f‬‬ ‫ב- ‪ a‬או התמונה של ‪ a‬תחת ‪.f‬‬ ‫ברור כי הגדרות 2 ו-3 של פונקציה שקולות .‬ ‫מספיק לשים לב על הקשר ביניהן : ‪afb ⇔ f (a) = b‬‬ ‫מינוח: ‪ A‬תקרא תחום )‪ (domain‬הפונקציה ותסומן ) ‪, Dom( f‬‬ ‫‪ B‬תקרא טווח )‪ (range‬הפונקציה ותסומן ) ‪, Rng( f‬‬ ‫נגדיר גם )‪Im( f ) = { f (a) | a ∈ A} : Im(f‬‬ ‫)‪A = Dom(f‬‬ ‫)‪B = Rng(f‬‬ ‫)‪Im(f‬‬ ‫הגדרה 4. לכל פונקציה ‪ f : A → B‬תת-קבוצה }‪ {< a, f (a) >| a ∈ A‬נקראת גרף של‬ ‫הפונקציה ‪. f‬‬ ‫דוגמאות. 3. 2 ‪ . Im(f) = [0, ∞) , Dom( f ) = Rng ( f ) = R , f ( x) = x‬הגרף של ‪ f‬הוא‬ ‫פרבולה.‬ ‫4. 4 = )2( ‪A =< {1,2}, B = {3,4}, f (1) = 3, f‬‬ ‫}4 ,3{ = )‪Dom(f) = {1, 2}, Rng(f) = Im(f‬‬ ‫9‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫גרף של הפונקציה :‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫5. }אזרחי ישראל {=‪} ,B = N , A‬ל- ‪ a ∈ A‬מתאים מס' ת''ז ‪, f = { <a, n> | n ∈ N‬‬ ‫‪} ⊂ N , Rng(f) = B = N , Dom(f)=A‬קבוצת כל מספרי הזהות הקיימים{ = )‪Im(f‬‬ ‫ב( פונקציות על ופונקציות חד-חד-ערכיות.‬ ‫הגדרה. נאמר כי פונקציה ‪ f : A → B‬היינה על ‪ B‬אם ‪. Im(f) = B‬‬ ‫סימון: ‪ B‬על⎯ ‪f : A‬‬ ‫→⎯‬ ‫‪x‬‬ ‫דוגמאות. 6. נבדוק האם פונקציה ‪ f : R → R‬המוגדרת ע''י הנוסחה‬ ‫2+ | ‪| x‬‬ ‫|‪|x‬‬ ‫=| )‪ | f ( x‬ולכן ‪. Im( f ) = (−1,1) ⊂ R‬‬ ‫ברור שלכל ‪ x ∈ R‬מתקיים 1 <‬ ‫2+ | ‪| x‬‬ ‫אזי ‪ f‬אינה על ‪ . R‬גרף של הפונקציה הוא הבא :‬ ‫= ) ‪ f ( x‬היא על.‬ ‫1‬ ‫8.0‬ ‫6.0‬ ‫4.0‬ ‫2.0‬ ‫0‬ ‫01‬ ‫9‬ ‫8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1-‬ ‫0-‬ ‫2.0-‬ ‫3-‬ ‫2-‬ ‫4-‬ ‫5-‬ ‫6-‬ ‫7-‬ ‫8-‬ ‫9-‬ ‫01-‬ ‫4.0-‬ ‫6.0-‬ ‫8.0-‬ ‫1-‬ ‫7. נגדיר פונקציה )1,1−( → ‪g : R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ע''י נוסחה‬ ‫2+ | ‪| x‬‬ ‫= )‪. g ( x‬‬ ‫נראה ש- ‪ g‬היא פונקציה על.‬ ‫יהא )1,1−( ∈ ‪ . y‬נוכיח שקיים ‪ x ∈ R‬כך ש- ‪. g(x) = y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫= ‪ x‬ואם 0 ≤ ‪ y‬ומרגלים‬ ‫באמת, אם 0 ≥ ‪ y‬אז 0 ≥ ‪ x‬ומקבלים‬ ‫‪1− y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫= ‪.x‬‬ ‫מקבלים‬ ‫‪1+ y‬‬ ‫הגדרה 5. ‪ - f : A → B‬פונקציה חד-חד-ערכית אם אין 2 ‪ a1 ≠ a‬כך ש- ) 2 ‪f (a1 ) = f (a‬‬ ‫חח '' ע‬ ‫1−1‬ ‫סימון: ‪ f : A ⎯⎯→ B‬או ‪. f : A ⎯⎯ → B‬‬ ‫⎯‬ ‫01‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫דוגמאות. 8. ‪ f : R → R‬המוגדרת ע''י הנוסחה 2 ‪ f ( x) = x‬היא אינה חח''ע כי למשל‬ ‫4= )2-(‪ f(2) = f‬אך 2− ≠ 2‬ ‫9. פונקצית 1+‪ f(x) = 2x‬היינה חח''ע‬ ‫‪x‬‬ ‫01. נראה כי פונקציה ‪ f : R → R‬המוגדרת ע''י הנוסחה‬ ‫1+ | ‪| x‬‬ ‫נניח כי ‪ x1 , x2 ∈ R‬ו- ) 2‪ f ( x1 ) = f ( x‬ונראה כי בהכרח 2‪. x1 = x‬‬ ‫נשים לב ש-‬ ‫0 = ‪f ( x ) > 0 ⇔ x > 0 , f ( x) < 0 ⇔ x < 0 , f ( x ) = 0 ⇔ x‬‬ ‫לכן מ- ) 2‪ f ( x1 ) = f ( x‬נובע כי או 0 = 2‪ x1 = x‬או 0 > 2‪. x1 x‬‬ ‫במקרה הראשון סיימנו.‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫=‬ ‫במקרה השני מקבלים‬ ‫1+ | 2‪| x1 | +1 | x‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫← 2‪x1 = x‬‬ ‫א. 0 > 2‪= 2 . x1 > 0, x‬‬ ‫1 + 2‪x1 + 1 x‬‬ ‫1‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫← 2‪x1 = x‬‬ ‫ב. 0 < 2‪. x1 < 0, x‬‬ ‫=‬ ‫1 + 2‪− x1 + 1 − x‬‬ ‫= )‪ f ( x‬חח''ע.‬ ‫ג( הרכבת פונקציות .‬ ‫הגדרה . תהיינה שתי פונקציות ‪ f : A → B‬ו- ‪ g : B → C‬כמתואר‬ ‫‪g‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫יהי ‪ . a ∈ A‬אזי ‪ . f (a ) ∈ B‬קבוצה ‪ B‬היא תחום של ‪ .g‬מכאן שניתן לקבל תמונה‬ ‫של )‪ f(a‬תחת הפונקציה ‪ g‬כלומר ))‪ . g(f(a‬הפונקציה זו מ- ‪ A‬ל- ‪ C‬כזאת שלכל‬ ‫‪ a ∈ A‬מתאים ))‪ g(f(a‬השייך ל- ‪ C‬נקראת הרכבת פונקציות ‪ f‬ו- ‪ g‬ותסומן ‪. g f‬‬ ‫לפי ההגדרה : )) ‪( g f )(a ) = g ( f (a‬‬ ‫טענה. הרכבה ‪ g f : A → C‬של פונקציות ‪ f : A → B‬ו- ‪ g : B → C‬היא פונקציה.‬ ‫הוכחה. יהא ‪ . a ∈ A‬קיים ‪ b ∈ B‬אחד ויחיד כך ש- ‪ . < a , b >∈ f‬ל- ‪ b‬זה קיים ‪. c ∈ C‬‬ ‫אחד ויחיד כך ש- ‪ . < b, c >∈ g‬מכאן ש- ‪. < a , c >∈ g f‬‬ ‫יחידות. נניח שגם ‪ c ′ ∈ C‬מקיים ‪ . < a , c ′ >∈ g f‬מהגדרת ‪ g f‬קיים ‪b′ ∈ B‬‬ ‫כך ש- ‪ . < a , b′ >∈ f , < b′, c ′ >∈ g‬מיחידות ‪ b‬נובע ש- '‪ . b = b‬לכן‬ ‫‪ . < b, c ′ >∈ g‬מיחידות ‪ c‬נובע ש- '‪. c = c‬‬ ‫הערות . 1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫4.‬ ‫לשים לב להפוך הסדר: ‪g f‬‬ ‫) ‪Dom( g f ) = Dom( f‬‬ ‫) ‪Rng( g f ) = Rng( g‬‬ ‫) ‪Im( g f ) ⊆ Im( g‬‬ ‫11‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫יתכן כי ) ‪f ) ⊂ Im( g‬‬ ‫‪Im( g‬‬ ‫דוגמא. יהיו ‪ f : R → R‬המוגדרת ע''י הנוסחה 2 ‪, f ( x) = x‬‬ ‫‪ g : R → R‬המוגדרת ע''י הנוסחה 1 + ‪. g ( y ) = y‬‬ ‫אזי ‪ f g : R → R‬היא 1 + 2 ‪, ( g f )( x ) = x‬‬ ‫‪. Im( g f ) = [1, ∞) , Im ( g ) = R‬‬ ‫הערה. הרכבת פונקציות אינה קומוטטיבית. ככלל ‪ . g f ≠ f g‬למעשה יתכן ש- ‪g f‬‬ ‫מוגדרת אך ‪ f g‬לא. גם כאשר אין בעייה בתחומי ההגדרה לא חייב להתקיים‬ ‫שוויון ‪ . g f = f g‬לדוגמא , ‪ g f ≠ f g‬כי 1 + 2 ‪. ( x + 1) 2 ≠ x‬‬ ‫הגדרה. פונקציה ‪ Id A : A → A‬כך שלכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪ Id A ( a ) = a‬נקראת פונקציה זהות.‬ ‫טענה. לפונקציה ‪ f : A → B‬מתקיים ‪. Id B f = f , f Id A = f‬‬ ‫הוכחה. ל- ‪. (Id B f )(a ) = Id B ( f (a )) = f ( a ) , ( f Id A )(a ) = f ( Id A (a )) = f ( a ) a ∈ A‬‬ ‫טענה. הרכבת פונקציה היינה אסוציאטיבית, כלומר לפונקציות ‪, g : B → C , f : A → B‬‬ ‫‪ h : C → D‬מתקיים ) ‪. (h g ) f = h ( g f‬‬ ‫הוכחה. התחום ‪ A‬והטווח ‪ D‬של פונקציות ‪ (h g ) f‬ו- ) ‪ h ( g f‬שווים.‬ ‫יהא ‪ . a ∈ A‬אזי:‬ ‫) ‪((h g ) f )( a ) = (h g )( f (a )) = h( g ( f (a ))) = h (( g f )(a )) = (h ( g f ))(a‬‬ ‫ד( פונקציה הפיכה. פונקציה הפוכה.‬ ‫הגדרה. תהא ‪ f : A → B‬פונקציה. נאמר כי ‪ f‬הפיכה אם קיימת פונקציה ‪ g : B → A‬כך‬ ‫ש- ‪ . f g = Id B , g f = Id A‬אם פונקציה ‪ g‬קיימת אז היא נקראת הפוכה‬ ‫לפונקציה ‪. f‬‬ ‫סימון: 1- ‪ - f‬פונקציה הפיכה ל- ‪. f‬‬ ‫דוגמאות. 1. ‪ f : Z → Z‬כש- 1+‪f(n) = n‬‬ ‫‪ g : Z → Z‬כש- 1 - ‪ - g(n) = n‬פונקציה הפוכה ל- ‪. f‬‬ ‫2. }6,5,4 ( → }3,2,1{ : ‪ f‬כש- 5 = )3(‪, f(1) = 4, f(2) = 6, f‬‬ ‫}3,2,1( → }6,5,4{ : ‪ g‬כש- 3 = )5(‪, g(4) = 1, g(6) = 2, g‬‬ ‫)‪ - g(n‬פונקציה הפוכה ל- ‪. f‬‬ ‫3. ‪ f : R → R‬כש- 2‪. f(x) = x‬‬ ‫פונקציה הזו לא הפיכה .‬ ‫אילו הייתה ‪ g : R → R‬כך ש- ‪ f g = g f = Id R‬אז לכל ‪ x‬צריך להתקיים‬ ‫)2‪. g(x)2 = x = g(x‬‬ ‫2‬ ‫בפרט : )1(‪ - -1 = g((-1) ) = g(1) , 1 = g(12) = g‬סתירה.‬ ‫משפט. פונקציה f : A → B‬הפיכה אם ורק אם היא על וחד-חד-ערכית.‬ ‫הוכחה. א. נוכיח כי אם ‪ f‬הפיכה אז היא על וחח''ע .‬ ‫21‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫אם ‪ f‬הפיכה אז קיימת ‪ g : B → A‬כך ש-‬ ‫‪f g = Id B , g f = Id A‬‬ ‫)*(‬ ‫נראה ש- ‪ f‬חח''ע. יהיו ‪ a1 , a 2 ∈ A‬ונניח כי ) 2 ‪ . f ( a1 ) = f ( a‬אזי‬ ‫2 ‪a1 = Id A (a1 ) = ( g f )(a1 ) = g ( f (a1 )) = g ( f (a 2 )) = ( g f )(a 2 ) = Id A (a 2 ) = a‬‬ ‫נראה ש- ‪ f‬על. יהא ‪ . b ∈ B‬נגדיר )‪ . a = g(b‬אזי ‪ a ∈ A‬ומתקיים‬ ‫‪f ( a ) = f ( g (b)) = ( f g )(b) = Id B (b) = b‬‬ ‫ב. צריך להוכיח כי אם ‪ f‬על וחח''ע אז היא הפיכה.‬ ‫בונים פונקציה הפוכה לפונקציה ‪. f‬‬ ‫נגדיר יחס ‪ g‬מ- ‪ B‬ל- ‪ A‬באופן הבא : }‪. g = {< b, a > | f (a ) = b, b ∈ B, a ∈ A‬‬ ‫נוכיח כי ‪ g‬היא פונקציה מ- ‪ B‬ל- ‪. A‬‬ ‫מכיוון ש- ‪ f‬פונקציה על נקבל כי לכל ‪ b ∈ B‬קיים ‪ a ∈ A‬כך ש- ‪. f(a)=b‬‬ ‫ז''א )‪ . B = Dom (g‬כעת אם )‪ g(b) = a1 ≠ a2 = g(b‬אז )2‪ b = f(a1) = f(a‬לפי‬ ‫הגדרת ‪ g‬בניגוד לחד-חד ערכיות של ‪. f‬‬ ‫הוכחנו כי ‪ g‬היא פונקציה מ- ‪ B‬ל- ‪. A‬‬ ‫נרשום ‪ f : A → B, g : B → A‬ומתקיימים התנאים‬ ‫‪g (b) = a ⇔ f (a ) = b‬‬ ‫)**(‬ ‫נציג לשוויון ‪ f(a)=b‬מ- )**( ערך )‪ g(b‬במקום ‪ a‬ונקבל‬ ‫‪(∀b) f ( g (b)) = b ⇒ f g = Id B‬‬ ‫נציג לשוויון ‪ g(b)=a‬מ- )**( ערך )‪ f(a‬במקום ‪ b‬ונקבל‬ ‫‪. (∀a ) g ( f (b)) = a ⇒ g f = Id A‬‬ ‫כלומר ‪ g‬פונקציה הפוכה לפונקציה ‪. f‬‬ ‫3. חשבון עוצמות.‬ ‫א( קבוצות שקולות . עוצמה של קבוצה.‬ ‫הגדרה. תהינה ‪ A, B‬קבוצות. נאצר כי ‪ A, B‬שוות עוצמה )או שקולות או איזומורפיות( אם‬ ‫קיימת פונקציה חח''ע ועל ‪ . f : A → B‬אנחנו אומרים גם ש- ‪ f‬הוא איזומורפיזם‬ ‫בין ‪ A‬ל- ‪. B‬‬ ‫סימון: ‪. A ~ B‬‬ ‫דוגמאות. 1. ‪ Z‬ו- ‪ 2Z‬שוות עוצמה ,‬ ‫‪f : Z → 2 Z f ( n) = 2n‬‬ ‫חח''ע ועל .‬ ‫2. }0{\‪ Z‬ו- ‪ N‬שוות עוצמה ,‬ ‫‪n‬‬ ‫⎧‬ ‫‪ n ∈ N‬זוגי ,‬ ‫⎪‬ ‫2‬ ‫⎨ = )‪ g : N → Z \ {0} g (n‬חח''ע ועל .‬ ‫1+ ‪n‬‬ ‫−⎪‬ ‫‪ n ∈ N‬אי − זוגי ,‬ ‫2⎩‬ ‫3. ‪C‬‬ ‫שאלות: האם‬ ‫שוות עוצמה ל- 2‪,R‬‬ ‫‪ C‬ו- ‪ N‬שוות עוצמות ?‬ ‫31‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫האם‬ ‫‪ C‬ו- ‪ R‬שוות עוצמות ?‬ ‫טענה. שוויון עוצמה הוא יחס שקילות .‬ ‫הוכחה פשוטה.‬ ‫הגדרה. מחלקת השקילות של קבוצה ‪ A‬ביחס ~ תקרא העוצמה של ‪ A‬ותסומן |‪. |A‬‬ ‫| ‪A ~ B ⇔| A |=| B‬‬ ‫הערה.‬ ‫סימון. ‪ α, β, γ‬יסמנו עוצמות .‬ ‫הגדרה. קבוצה ‪ A‬תקרא סופית אם היא שוות עוצמה למספר טבעי |}1-‪. n = |{1,2,...,n‬‬ ‫הערה. לפיכך מושג העוצמה היינו הכללה של מושג המספר לקבוצות אינסופיות.‬ ‫ב( קבוצות בנות מניה.‬ ‫הגדרה. קבוצה ‪ A‬תקרא בת מניה אם היא שקולה )איזומורפית ( לקבוצה ‪. N‬‬ ‫את העובדה שהקבוצה ‪ A‬היא בת מניה נסמן 0א = |‪. |A‬‬ ‫דוגמאות. 1. קבוצת כל המספרים הטבעיים הזוגיים }...,‪ N 2 = {2,4,...,2n‬היא קבוצה בת מנייה .‬ ‫איזומורפיזם בין 2 ‪ N‬לבין ‪ N‬הוא הבא 2 ‪. f (n) = 2n, f : N → N‬‬ ‫2. קבוצה ‪ Z‬כל המספרים השלמים היא בת מנייה , ז''א 0א = |‪. |Z‬‬ ‫איזומורפיזם בין ‪ Z‬לבין ‪ N‬הוא הבא:‬ ‫0 ≥ ‪⎧ g(n) = 2n + 1, n‬‬ ‫⎨ ,‪. g : Z → N‬‬ ‫0 < ‪⎩ g(n) = 2n, n‬‬ ‫משפט. קבוצה ‪ Q‬כל המספרים הרציונליים היא קבוצה בת מנייה.‬ ‫3−‬ ‫6‬ ‫נציג כי‬ ‫הוכחה. כל מספר רציונלי ניתן לרשום כצורה מצומצמת )למשל את המספר‬ ‫4‬ ‫8−‬ ‫‪p‬‬ ‫נגדיר גובה ‪ h‬של מספר = ‪) α‬כאשר 0>‪ ( (p, q) = 1 , q‬באופן הבא : ‪. h = |p| + q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫מספר שברים המתאימים לגובה מסוימת ‪ h‬הוא סופי. למשל, לגובה 1 מתאים רק שבר‬ ‫1− 2 − 1 2‬ ‫1− 1‬ ‫0‬ ‫, , , וכך הלאה .‬ ‫, , לגובה 3 - מספרים‬ ‫= 0 , לגובה 2 - מספרים‬ ‫,‬ ‫2 1 21‬ ‫11‬ ‫1‬ ‫כעט נרשום כל המספרים הרציונליים בסדרה הבאה לפי גובות שלהם :‬ ‫(.‬ ‫2 − 2 1− 1 1− 1‬ ‫,,‬ ‫... ,‬ ‫,‬ ‫,,‬ ‫112211‬ ‫הצלחנו לסדר את המספרים הרציונליים . כלומר קבוצה ‪ Q‬היא קבוצה בת מנייה .‬ ‫,0‬ ‫ג( השוואת עוצמות . משפט קנטור-ברנשטיין.‬ ‫נגדיר עכשיו יחס סדר לבין העוצמות שירחיב את הסדר הרגיל ב- ‪. N‬‬ ‫הגדרה. תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬ ‫נאמר כי ‪ A < B‬אם ורק אם קיימת פונקציה חח''ע ‪. f : A → B‬‬ ‫~‬ ‫41‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫טענה. אם ‪ A ⊆ B‬אז ‪B‬‬ ‫<‬ ‫~‬ ‫‪A‬‬ ‫הוכחה ברורה.‬ ‫טענה לכל קבוצות ‪ , A, B, C, D‬אם‬ ‫‪B‬‬ ‫<‬ ‫~‬ ‫‪ B~D , A~C , A‬אז ‪D‬‬ ‫<‬ ‫~‬ ‫‪.C‬‬ ‫הוכחה . מההנחות קיימות פונקציות‬ ‫‪ f : C → A‬חח''ע ועל ,‬ ‫‪ g : A → B‬חח''ע ,‬ ‫‪ h : B → D‬חח''ע ועל ,‬ ‫אז ‪ ( h g f ) : C → D‬חח''ע .‬ ‫הגדרה. תהינה ‪ α, β‬עוצמות . נאמר כי ‪ α ≤ β‬אם קיימת קבוצה ‪ A‬מעוצמה ‪ α‬וקיימת‬ ‫קבוצה ‪ B‬מעוצמה ‪ β‬כך ש- ‪. A < B‬‬ ‫~‬ ‫אם ‪ n, m ∈ N‬ו- ‪m‬‬ ‫‪N‬‬ ‫≤ ‪ n‬אז | }‪. | {1,2,..., n} |≤| {1,2,..., m‬‬ ‫אם נזהה את מספר ‪ n‬עם העוצמה | }‪ | {1,2,..., n‬אז מקבלים שהסדר ≤ על העוצמות ירחיב‬ ‫את‬ ‫‪N‬‬ ‫≤ על ‪. N‬‬ ‫ניתן להוכיח כי ליחס ≤ על העוצמות מתקיימים רפלקסיביות וטרנזיטיביות . אנטי-סימטריות‬ ‫של היחס נובע מהמשפט הנקרא‬ ‫משפט קנטור-ברנשטיין ) ‪ . ( Cantor-Bernstein‬לכל שתי קבוצות ‪ A‬ו- ‪ , B‬אם‬ ‫ו- ‪A‬‬ ‫<‬ ‫~‬ ‫‪A< B‬‬ ‫~‬ ‫‪ B‬אז ‪. A ~ B‬‬ ‫הוכחה ארוכה מעוד )מחוץ לקורס שלנו( .‬ ‫ניסוח שקול של משפט קנטור-ברנשטיין:‬ ‫תהינה ‪ α, β‬עוצמות . אם ‪ α ≤ β‬ו- ‪ β ≤ α‬אז ‪. β = α‬‬ ‫כלומר, יחס ≤ היינו אנטי-סימטרי , ולכן הוא יחס סדר חלקי .‬ ‫טענה. ל- ‪ a < b‬ממשיים:‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫3.‬ ‫| )‪, | (0, 1) | = | (a, b‬‬ ‫| ]‪| (a, b) | = | (a, b] | = |[a, b) | = | [a, b‬‬ ‫| )1 ,0( | = | ‪| R‬‬ ‫מכן: כל שני קטעים היינם שווי עוצמה ועוצמתם כעוצמת ‪. R‬‬ ‫הוכחה. 1. הפונקציה )‪ f(x) = a + x(b - a) , f: (0, 1) → (a, b‬היינה חח''ע ועל.‬ ‫2. מתקיים‬ ‫מכאן‬ ‫)1 + ‪(a, b) ⊆ (a, b] ⊆ [a, b] ⊆ (a − 1, b‬‬ ‫)1 + ‪(a, b) ⊆ [a, b) ⊆ [a, b] ⊆ (a − 1, b‬‬ ‫| )1 + ‪| (a, b) | ≤ | (a, b] | ≤ | [a, b] | ≤ | (a − 1, b‬‬ ‫| )1 + ‪| (a, b) | ≤ | [a, b) | ≤ | [a, b] | ≤ | (a − 1, b‬‬ ‫51‬ ‫מבוא למתמטיקה דיסקרטית‬ ‫1669-1-102‬ ‫סמסטר ב' 2002‬ ‫תורת הקבוצות )המשך(‬ ‫נושא 2‬ ‫| )1+‪.| (a, b) | = | (0, 1) | = | (a-1, b‬‬ ‫ע''פ 1.‬ ‫ממשפט קנטור-ברנשטיין, כל האי-שוויונות דלעיל היינן שוויונות .‬ ‫3. הפונקציה ‪ f ( x) = tg (0.5πx) , f: (0, 1) → R‬היינה חח''ע ועל.‬ ‫ד( משפט האלכסון.‬ ‫סימון: 0א = |‪ , |N‬א = |‪. |R‬‬ ‫הוכחנו כי |)1,0( | = |‪ , |R‬כלומר‬ ‫א = |)1,0(|‬ ‫משפט האלכסון של קנטור )‪) | N | < | [0,1) | : (Cantor‬כלומר א < 0א (.‬ ‫הוכחה. א( קיימת פונקציה חח''ע )1,0[ → ‪ ) . f : N‬למשל 1 − ‪. ( f ( n ) = n‬‬ ‫לכן | )1,0[ | ≤ | ‪. | N‬‬ ‫ב( נראה שאין פונקציה )1,0[ → ‪ g : N‬על .‬ ‫תהא )1,0[ → ‪ g : N‬פונקציה כלשהי . נוכיח שהיא לא על .‬ ‫נרשום בהצגות מעוגלות:‬ ‫}9...1,0{ ∈ ‪ε i‬‬ ‫, ... 31 ‪g (1) = 0.ε 11ε 12ε‬‬ ‫, ... 32 ‪g ( 2) = 0.ε 21ε 22ε‬‬ ‫, ... 33 ‪g (3) = 0.ε 31ε 32ε‬‬ ‫.……………………‬ ‫לכל ‪ i‬נבחר }8...1,0{ ∈ ‪ δ i‬כך ש- ‪. δ i ≠ ε i‬‬ ‫יהא‬ ‫... 31 ‪ . a = 0.δ 11δ 12δ‬זו הצגה מעוגלת.‬ ‫נשים לב :‬ ‫1 ‪ δ 1 ≠ ε‬ולכן )1( ‪a ≠ g‬‬ ‫2 ‪ δ 2 ≠ ε‬ולכן )2( ‪a ≠ g‬‬ ‫.....................................‬ ‫מכאן רואים ש- ) ‪ . a ∉ Im( g‬לפיכך ‪ g‬איננה על .‬ ‫מהמשפט האחרון רואים שקיימות קבוצות אינסופיות לא שקולות.‬ ‫משפט קנטור. לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים | )‪. | A | < | P(A‬‬ ‫הוכחה. א( ברור כי | )‪ , | A | ≤ | P(A‬ואמנם נגדיר פונקציה }‪f(a) = {a‬‬ ‫היא חח''ע : ‪. f ( a ) = f (b) ⇒ {a} = {b} ⇒ a = b‬‬ ‫, )‪f: A → P(A‬‬ ‫ב( נוכיח כי אין פונקציה )‪ g: A → P(A‬על.‬ ‫נניח ש- )‪ g: A → P(A‬פונקציה . נראה ש- ‪ g‬אינה על .‬ ‫תהא })‪. B = {b ∈ A | b ∉ g (b‬‬ ‫ברור ש- )‪ . B ∈ P( A‬נניח בשלילית‬ ‫כך ש - ) ‪. B ∈ g ( a‬‬ ‫ אם ‪ a ∈ B‬אז ) ‪ a ∉ g ( a‬כלומר‬‫ אם ‪ a ∉ B‬אז ) ‪ a ∈ g ( a‬כלומר‬‫מכן שבכל מקרה קיבלנו סתירה נובע‬ ‫61‬ ‫כי ) ‪ . B ∈ Im( g‬אזי קיים ‪a ∈ A‬‬ ‫‪ - a ∉ B‬סתירה .‬ ‫‪ - a ∈ B‬סתירה .‬ ‫ש- ) ‪ B ∉ Im( g‬ולכן ‪ g‬אינה על .‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1911.1 taught by Professor Yuliaglushko during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online