exal04 - ‫תרגיל 4. מרחבי וקטורים ותת...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תרגיל 4. מרחבי וקטורים ותת מרחבי וקטורים.‬ ‫1( יהי 4 ‪ V = R‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ . R‬אילו מ- ‪ U i‬הם תתי מרחבים של ‪V‬‬ ‫א( } ‪= 0, ai ∈ R‬‬ ‫4‬ ‫‪∑a‬‬ ‫‪i‬‬ ‫1= ‪i‬‬ ‫) 4‪ , U1 = {(a1 , a2 , a3 , a‬ב( } ‪U 2 = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) ai > 0, ai ∈ R‬‬ ‫ג( }‪. U 3 = {(a1 , a2 , a3 , a4 ) a1 + 3a2 = a3 , a2 + a3 = a4 , ai ∈ R‬‬ ‫2( יהי ‪ V‬מרחב וקטורי של פונקציות ‪ f : R → R‬כאשר ‪ R‬שדה של המספרים הממשיים.‬ ‫אילו מהקבוצות הבאות מהוות תת מרחב של ‪: V‬‬ ‫א( })1( ‪ , V1 = { f f (0) = f‬ב( } 2 )) ‪V2 = f f ( x 2 ) = ( f ( x‬‬ ‫{‬ ‫ג( }‪ , V3 = { f f (−a ) = f (a), a ∈ R‬ד( }‪V4 = { f f (− a) = − f (a ), a ∈ R‬‬ ‫3( א( יהי ] ‪ R n [ x‬קבוצת כל הפולינומים מעל שדה ‪ R‬ממעלה קטנה מ- ‪n‬‬ ‫הוכח כי ] ‪ R n [ x‬הוא מרחב וקטורי.‬ ‫ב( יהי } 0 = )1( ‪ . W1 = { f ∈ R 3 [ x ] f‬האם 1‪ W‬הוא תת מרחב של ]‪) R 3 [ x‬של ]‪?( R 4 [ x‬‬ ‫ג( יהי } 1 = )1( ‪ . W2 = { f ∈ R100 [ x] f‬האם 1‪ W‬הוא תת מרחב של ]‪? R100 [ x‬‬ ‫ד( יהי } 3 = )‪ . W3 = { f ∈ R[ x] deg f ( x‬האם 3‪ W‬הוא תת מרחב של ]‪? R[ x‬‬ ‫4 ( ∗ יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬ו- ‪ W‬תת מרחב שלו. האם } ‪ U = (V \ W ) ∪ {0V‬חייב‬ ‫להיות תת מרחב של ‪ . V‬אם לא אזי תן דוגמא כאשר ‪ U‬הוא כן תת מרחב וקטורי של ‪. V‬‬ ‫‪ x - x‬‬ ‫‪ W = {‬תת קבוצת מטריצות מסדר )2 × 2( מעל שדה ‪: R‬‬ ‫5( יהי }‪ y z x, y, z ∈ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫האם ‪ W‬הוא תת מרחב וקטורי של מרחב ) ‪) M 2×2 (R‬כל המטריצות )2 × 2( מעל שדה ‪?( R‬‬ ‫6( ∗ נחשוב על ‪ C‬כמרחב וקטורי מעל שדה ‪ . R‬הראה כי המספרים המרוכבים ‪z1 = 1 − 2i‬‬ ‫ו- ‪ z 2 = 2 + 3i‬פורסים את השדה המרוכב ‪ C‬מעל השדה ‪ ), R‬ז.א. ) 2 ‪.( C = SpanR ( z1 , z‬‬ ‫האם המספרים המרוכבים ‪ z1 = 1 − 2i‬ו- ‪ z 3 = 2 − 4i‬פורסים את השדה המרוכב ‪ C‬מעל‬ ‫שדה ‪) ? R‬ז.א. ) 3 ‪.( C = SpanR ( z1 , z‬‬ ‫7( יהי ‪ U‬המרחב הנפרש על-ידי שלושה פולינומים ‪, f 2 (t ) = t 3 − 1 , f1 (t ) = 2t 3 + 3t 2 − 2t‬‬ ‫1 + ‪ f 3 (t ) = t 3 + 2t 2 − 2t‬מעל שדה 3 ‪ , Z‬ז.א. ) 3 ‪U = Span ( f1 , f 2 , f‬‬ ‫הציגו 1 + 2 ‪ g (t ) = t 3 − 3t‬כצרוף לינארי של פולינומים ) ‪ f 2 (t ), f1 (t‬ו- 3 ‪ . f‬האם הפולינום‬ ‫3 ‪ ϕ (t ) = t‬ניתן להצגה לינארית? נמקו את תשובתכם.‬ ‫8( יהי ) ‪ S 3×3 (R‬קבוצת מטריצות סימטריות מסדר )‪ (n × n‬מעל שדה ‪: R‬‬ ‫}]3 ,1[ ∈ ‪. S 3×3 (R ) = { (ai , j ) a ij = a ji , i, j‬‬ ‫הוכח כי ) ‪ S 3×3 (R‬הוא תת מרחב של מרחב ) ‪) M 3×3 (R‬כל המטריצות )3 × 3( מעל שדה ‪.( R‬‬ ‫9( יהי 3 ‪ Z‬שדה ותהי ) 3 ‪ T4×4 ( Z‬קבוצת מטריצות משולשת עליונה מסדר )4 × 4( :‬ ‫}]4 ,1[ ∈ ‪T4×4 (Z 3 ) = { (ai , j ) a ij = 0, i > j , i, j‬‬ ‫הוכח כי ) 3 ‪ T4×4 ( Z‬הוא תת מרחב של מרחב ) 3 ‪) M 4×4 (Z‬כל המטריצות )4 × 4( מעל שדה 3 ‪.( Z‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1911.1 taught by Professor Yuliaglushko during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online