sol5 - ‫אלגברה ליניארית‬ ‫תרגיל...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אלגברה ליניארית‬ ‫תרגיל 5‬ ‫1.א(.‬ ‫פתרונות‬ ‫דרך 1‬ ‫‪− 2 2 ‬‬ ‫‪ 1 0‬‬ ‫‪1 2 ‬‬ ‫‪ v1 , v2 , v3 . v3 = ‬בת''ל כאשר הצרוף‬ ‫‪ 1 − 1 , v 2 = 0 1 , v1 = 1 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הליניארי היחיד השווה ל- ‪ O‬הוא הצרוף עם כל המקדמים אפסים. נבנה‬ ‫צרוף ליניארי ונשווה ל- ‪: O‬‬ ‫‪ . α1v1 + α 2 v2 + α 3 v3 = O‬השוויון בין הוקטורים שקול לארבעה שוויונים:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫3 ‪+ (−2)α‬‬ ‫+‬ ‫3 ‪2α‬‬ ‫+‬ ‫3 ‪1α‬‬ ‫3 ‪+ (−1)α‬‬ ‫2 ‪1α‬‬ ‫2 ‪0α‬‬ ‫2 ‪0α‬‬ ‫2 ‪1α‬‬ ‫+‬ ‫+‬ ‫+‬ ‫+‬ ‫1 ‪1α‬‬ ‫‪2α‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪1α‬‬ ‫1 ‪2α‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוקטורים בת''ל כאשר קיים פתרון יחיד )טריוויאלי( למערכת משוואות‬ ‫הומוגניות.‬ ‫‪1 − 2 | 0‬‬ ‫‪0 1 − 3 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪L1 ← L1 − L‬‬ ‫‪0 2 | 0‬‬ ‫‪0 0 0 | 0‬‬ ‫3‪L2 ← L2 − 2 L‬‬ ‫→ 1‪L4 ← L‬‬ ‫− 4‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪L4 − 2 L‬‬ ‫‪0 1 | 0 L4 ← → 1 0 1 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 − 3 | 0‬‬ ‫‪1 −1 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 − 3 | 0‬‬ ‫‪1 0 1 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 | 0‬‬ ‫‪0 1 − 3 | 0‬‬ ‫‪L2 → → L2 → ‬‬ ‫‪ L3 → L1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 | 0‬‬ ‫‪0 0 0 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 | 0‬‬ ‫‪0 0 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיים יותר מפתרון אחד, אזי הוקטורים 3‪ v1 , v2 , v‬ת''ל.‬ ‫דרך 2‬ ‫נעבור לוקטורי קוארדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי‬ ‫‪1 0 0 1 0 0 0 0‬‬ ‫‪E= ‬‬ ‫‪ 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)2 1‬ ‫)1 0‬ ‫)1 − 1 2‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1( = ‪[ v1 ] E‬‬ ‫0 1( = ‪[ v 2 ] E‬‬ ‫2 − ( = ‪[ v3 ] E‬‬ ‫ואז נעבוד איתם כמו שאנו יודעים לעבוד עם וקטורים ב- 4 ‪ , R‬כלומר נשים‬ ‫אותם במטריצה )בשורות או בעמודות( , נדרג ונבדוק אם מתקבלות‬ ‫שורות אפסים:‬ ‫‪ 1 2 1 2‬‬ ‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪ 1 2 1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L ←3 L − L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪L2 ← L1 − L‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫1‪2 L‬‬ ‫‪ 1 0 0 1 L3 ←+ L3 → 0 2 1 1 → 0 2 1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − 2 2 1 − 1‬‬ ‫‪0 6 3 3‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיבלנו שורת אפסים ולכן הוקטורים ‪ [ v1 ] E , [ v 2 ] E , [ v3 ] E‬ת''ל. מכיוון שהמעבר‬ ‫לוקטורי קוארדינטות הוא איזומורפיזם נסיק שהוקטורים 3‪ v1 , v2 , v‬ת"ל.‬ ‫1.ב( הוקטורים 3‪ v1 , v2 , v‬בת''ל.‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫פתרונות‬ ‫תרגיל 5‬ ‫2(.‬ ‫41 + ‪g1 (t ) = −2t − 4t + 9t + 5 , g 2 (t ) = t − t − 8t + 2 , g 3 (t ) = −10t + 2t‬‬ ‫דרך 1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫3 ‪ g1 , g 2 , g‬בת''ל כאשר הצרוף הליניארי היחיד השווה ל- ‪ O‬הוא הצרוף עם‬ ‫כל מקדמים אפסים. נבנה צרוף ליניארי ונשווה ל- ‪: O‬‬ ‫‪ . α 1 g1 + α 2 g 2 + α 3 g 3 = O‬השוויון בין הפולינומים שקול לארבעה שוויונים בין‬ ‫המקדמים לפי החזקות של ‪: t‬‬ ‫0‬ ‫2 ‪2α‬‬ ‫+‬ ‫3 ‪14α‬‬ ‫0=‬ ‫+ 1 ‪t : 5α‬‬ ‫‪ 9α‬‬ ‫3 ‪2α‬‬ ‫0=‬ ‫+ 2 ‪t 1 : 1 + (−8)α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫0 = 3 ‪t : − 4α 1 + (−1)α 2 + (−10)α‬‬ ‫2 ‪1α‬‬ ‫+‬ ‫3 ‪0α‬‬ ‫0=‬ ‫+ 1 ‪t 3 : − 2α‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוקטורים בת''ל כאשר קיים פתרון יחיד )טריוויאלי( למערכת משוואות‬ ‫הומוגניות.‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪14 | 0 ‬‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫‪14 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‪L1 ← L1 + 2 L‬‬ ‫‪2 | 0‬‬ ‫1‪L2 ← L2 − L‬‬ ‫‪ 9 − 8 2 | 0‬‬ ‫4− 1 ‪‬‬ ‫4‪L2 ← L2 + 4 L‬‬ ‫‪ − 4 − 1 − 10 | 0 ‬‬ ‫→‪ 0 − 3 − 10 | 0 L4 ← ‬‬ ‫4‪L3 ← L3 − 2 L‬‬ ‫1‪ L4 + 2 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ → ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 2 −‪‬‬ ‫1 2 −‪‬‬ ‫‪0 | 0‬‬ ‫‪0 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫41‬ ‫‪14 | 0 ‬‬ ‫41‬ ‫‪14 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 | 0‬‬ ‫2‪L2 ← L‬‬ ‫‪ 0 − 8 − 12 | 0 ‬‬ ‫2 0‪‬‬ ‫4‪L‬‬ ‫4−‬ ‫−‬ ‫→ 61‪ 0 − 3 − 10 | 0 L4 ← → 0 − 3 − 10 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‪ L4 +3 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫9 0‪‬‬ ‫‪ 0 0 − 16 | 0 ‬‬ ‫‪14 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫41‬ ‫‪14 | 0 ‬‬ ‫‪1 4 14 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 | 0‬‬ ‫4‪L2 ← L2 −3 L‬‬ ‫2 0‪‬‬ ‫‪ 0 2 0 | 0‬‬ ‫2‪L3 ← L3 +1.5 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫→ ‪ 0 − 3 − 10 | 0 L3 ←10 L4 → 0 − 3 0 | 0 ‬‬ ‫‪ L3 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 | 0‬‬ ‫‪1 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 4 14 | 0 ‬‬ ‫‪1 4 14 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 2 0 | 0‬‬ ‫‪ 0 2 0 | 0‬‬ ‫4‪L3 ↔ L‬‬ ‫‪ 0 0 0 | 0 → 0 0 1 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 | 0‬‬ ‫‪ 0 0 0 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיים פתרון יחיד, אזי הוקטורים 3 ‪g1 , g 2 , g‬‬ ‫בת''ל.‬ ‫דרך 2‬ ‫32‬ ‫נעבור לוקטורי קוארדינטות לי הבסיס הסטנדרטי ‪E = 1, t , t , t‬‬ ‫) 2 − 4 − 9 5 ( = ‪[ g 1 (t ) ] E‬‬ ‫)1 1 − 8 −‬ ‫2 ( = ‪[ g 2 (t ) ] E‬‬ ‫41( = ‪[ g 3 (t )] E‬‬ ‫) 0 01 − 2‬ ‫ואז נעבוד איתם כמו שאנו יודעים לעבוד עם וקטורים ב- 4 ‪ , R‬כלומר נשים‬ ‫אותם במטריצה )בשורות או בעמודות( , נדרג ונבדוק אם מתקבלות‬ ‫שורות אפסים:‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫תרגיל 5‬ ‫פתרונות‬ ‫‪9 − 4 − 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫1− 8 −‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 − 10 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9 − 4 − 2‬‬ ‫‪5 9 − 4 − 2 ‬‬ ‫‪ L ←2 L − L‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪ L ←2 L1 −5 L‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫→ 3‪58 − 3 − 9 → 0 58 − 3 − 9 L32 ←1L‬‬ ‫5− ‪ 14 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 116 − 6 − 28 ‬‬ ‫0‬ ‫‪0 10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫41‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיבלנו מטריצה מדורגת ללא שורות אפסים ולכן הוקטורים‬ ‫‪ [ g1 (t )] E , [ g 2 (t )] E , [ g 3 (t )] E‬בת''ל. מכיוון שהמעבר לוקטורי קוארדינטות הוא‬ ‫איזומורפיזם נסיק שהוקטורים ) ‪ g1 (t ), g 2 (t ), g 3 (t‬בת"ל.‬ ‫3.א(.‬ ‫}0 = ‪ U 1 . U 1 = {( x, y, z, t ) ∈ R : x + y + z + t‬הוא מרחב הפתרונות של מערכת‬ ‫הומוגנית:‬ ‫0 = ‪x+ y+ z +t‬‬ ‫‪ y , z , t‬משתנים חופשיים, ‪ . x = − y − z − t‬יש 3 משתנים חופשיים ולכן‬ ‫3 = ) 1 ‪. dim(U‬‬ ‫נמצא בסיס ל- 1 ‪ , U‬נציב: 1 = ‪ z = t = 0 , y‬נקבל: 1− = ‪x‬‬ ‫1 = ‪ y = t = 0 , z‬נקבל: 1− = ‪x‬‬ ‫1 = ‪ y = z = 0 , t‬נקבל: 1− = ‪x‬‬ ‫קיבלנו שלושה וקטורים המהווים בסיס ל- 1 ‪: U‬‬ ‫)0,0,1,1−( = 1‪. v3 = (−1,0,0,1) , v 2 = (−1,0,1,0) , v‬‬ ‫4‬ ‫3.ב(.‬ ‫}‪U 3 . U 3 = {v = ( x, y, z , t ) : x + 3 y = z , y + z = t‬‬ ‫הוא מרחב הפתרונות של מערכת‬ ‫הומוגנית:‬ ‫‪x + 3y − z‬‬ ‫0=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0=‪y+z−t‬‬ ‫‪‬‬ ‫נפתור אותה:‬ ‫‪1 3 −1 0 | 0‬‬ ‫‪1 0 − 4 3 | 0‬‬ ‫2‪L1 ← L1 −3 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 1 − 1 | 0 → 0 1 1 − 1 | 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z, t‬משתנים חופשיים, ‪y = − z + t , x = 4 z − 3t‬‬ ‫.‬ ‫יש 2 משתנים חופשיים ולכן 2 = ) 3 ‪. dim(U‬‬ ‫נמצא בסיס ל- 3 ‪ , U‬נציב: 1 = ‪ t = 0 , z‬נקבל: 4 = ‪y = −1 , x‬‬ ‫0 = ‪ t = 1 , z‬נקבל: 3− = ‪y = 1 , x‬‬ ‫קיבלנו שני וקטורים המהווים בסיס ל- 3 ‪v 2 = (−3,1,0,1) , v1 = (4,−1,1,0) : U‬‬ ‫4(.‬ ‫הוקטורים )1,3 ,1,2( = 1‪ u 3 = (−1,1, 3, 0) , u 2 = (1, 2, 0,1) , u‬הפורשים את ‪U‬‬ ‫) ) 3 ‪ ( U = Span(u1 , u 2 , u‬בת''ל, אזי הם מהווים בסיס של ‪. dim(U ) = 3 , U‬‬ ‫5(.‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫פתרונות‬ ‫תרגיל 5‬ ‫נראה שהוקטורים ) ‪, u 2 = (1 − i, 5, 2 + i ) , u1 = (1 + i, 3 + 8i, 5 + 7i‬‬ ‫) ‪ u 3 = (1 + i, 3 + 2i, 4 − i‬בת''ל מעל ‪: C‬‬ ‫‪1+ i ‬‬ ‫‪ 1+ i 1− i 1+ i ‬‬ ‫‪1 + i 1 − i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L2 ←( 3+8i ) L1 −(1+i ) L2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫5‬ ‫0 ‪3 + 2i L3 ←7 i ) L1+i→ ‬‬ ‫6‬ ‫→ 2‪− 6 + 6i L3 ← −(11L‬‬ ‫+5 (‬ ‫3‪− (1 ) L‬‬ ‫‪ 6 L3 +i ‬‬ ‫‪ 3 + 8i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5 + 7i 2 + i 4 − i ‬‬ ‫‪ 0 11 − i − 7 + 9i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1+ i ‬‬ ‫‪1 + i 1 − i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 − 6 + 6i ‬‬ ‫0‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪0 18 − 18i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר חושבים על ‪ C‬כמרחב וקטורי מעל ‪ R‬כל מספר מרוכב מיוצג ע"י‬ ‫זוג מספרים ממשיים, למשל: המספר ‪ 2 + i‬מיוצג ע"י הזוג: )1,2 ( , כלומר‬ ‫אנו חושבים על מספר מרוכב כוקטור ב- 2 ‪. R‬‬ ‫ובאופן דומה, נציג את הוקטורים 3 ‪ u1 , u 2 , u‬כוקטורים ב- 6 ‪u '1 = (1,1, 3,8, 5,7) : R‬‬ ‫, )1,2 ,0,5 ,1−,1( = 2 ' ‪ . u '3 = (1,1, 3,2, 4,−1) , u‬בדקו כי 3' ‪ u '1 , u ' 2 , u‬בת''ל מעל ‪. R‬‬ ‫6(.‬ ‫הוקטורים 2 ‪u 3 = v1 + v 3 − v 2 , u 2 = v 1 − 2 v 2 , u1 = v1 + v‬‬ ‫בת''ל כאשר הצרוף‬ ‫הליניארי היחיד השווה ל- ‪ O‬הוא הצרוף עם כל מקדמים אפסים. נבנה‬ ‫צרוף ליניארי ונשווה ל- ‪: O‬‬ ‫‪:. α 1u1 + α 2 u 2 + α 3u3 = O‬‬ ‫= ) 2‪O = α 1u1 + α 2 u 2 + α 3u 3 = α1 (v1 + v2 ) + α 2 (v1 − 2v2 ) + α 3 (v1 + v3 − v‬‬ ‫3‪(α 1 + α 2 + α 3 )v1 + (α 1 − 2α 2 − α 3 )v2 + α 3 v‬‬ ‫הוקטורים 3 ‪ v 1 , v 2 , v‬בת''ל, אזי:‬ ‫0=‬ ‫0=‬ ‫0=‬ ‫3‪+ α‬‬ ‫3‪− α‬‬ ‫3‪α‬‬ ‫2‪+ α‬‬ ‫2 ‪− 2α‬‬ ‫1 ‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 | 0‬‬ ‫‪1 | 0‬‬ ‫1 1‪‬‬ ‫1 1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫− 2‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 − 2 − 1 | 0 L2 ← L1 → 0 − 3 − 2 | 0 ‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪1 | 0‬‬ ‫‪1 | 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיים פתרון יחיד למערכת משוואות הומוגניות, אזי הוא פתרון טריוויאלי:‬ ‫0 = 3 ‪ , α 1 = α 2 = α‬אזי הוקטורים 3 ‪ u 1 , u 2 , u‬בת''ל.‬ ‫דרך 2‬ ‫הוקטורים 3‪ v1 , v 2 , v‬מהווים בסיס ל- } 3‪ . Sp{v1 , v 2 , v‬מכיוון ש-‬ ‫} 3‪ u1 , u 2 , u 3 ∈ Sp{v1 , v 2 , v‬נוכל לעבור לוקטורי קוארדינטות של 3 ‪ u1 , u 2 , u‬לפי‬ ‫הבסיס הסדור 3‪: B = v1 , v 2 , v‬‬ ‫)0 1 1( = ‪[ u1 ] B‬‬ ‫) 0 2 − 1( = ‪[ u 2 ] B‬‬ ‫)1 1 − 1( = ‪[ u 3 ] B‬‬ ‫3‬ ‫כעת נעבוד כרגיל ב- ‪ : R‬נסדר במטריצה, נדרג ונבדוק אם מתקבלות‬ ‫שורות אפסים:‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫1 1‪‬‬ ‫1 1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L ←L − L ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪ 1 − 2 − 1 → 0 − 3 − 2 ‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫פתרונות‬ ‫תרגיל 5‬ ‫קיבלנו מטריצה מדורגת ללא שורות אפסים לכן הוקטורים‬ ‫‪ [ u1 ] B , [ u 2 ] B , [ u 3 ] B‬בת"ל, מכיוון שהמעבר לוקטורי קוארדינטות הוא‬ ‫איזומורפיזם נסיק כי 3 ‪ u1 , u 2 , u‬בת"ל.‬ ‫7(.‬ ‫ארבעת הוקטורים 1 = )‪, v3 ( x ) = ( x − 2) = x − 4 x + 4 , v 2 ( x) = x − 2 , v1 ( x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫8 − ‪ v 4 ( x) = ( x − 2) 3 = x 3 − 6 x 2 + 12 x‬בת"ל )בדקו זאת!( , אזי הם מהווים בסיס‬ ‫במרחב ] ‪.( dim(R 4 [t ]) = 4 ) R 4 [t‬‬ ‫> 4‪ , A = <v1 , v2 , v3 , v‬נמצא את הקואורדינטות של הוקטור‬ ‫3 ‪ g ( x) = 2 − 5 x + 6 x 2 − x‬בבסיס סדור ‪ A‬כמקדמים בצרוף ליניארי‬ ‫4‪. g = α1v1 + α 2 v2 + α 3 v3 + α 4 v‬‬ ‫השוויון בין הפולינומים שקול לארבעה שוויונים בין המקדמים לפי‬ ‫החזקות של ‪: x‬‬ ‫2 = 4 ‪1 : α 1 − 2α 2 + 4α 3 − 8α‬‬ ‫5 − = 4 ‪α 2 − 4α 3 + 12α‬‬ ‫‪x: ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫6 = 4 ‪α 3 − 6α‬‬ ‫‪x :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫1− = 4 ‪α‬‬ ‫‪x :‬‬ ‫‪| − 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪| 7‬‬ ‫3‪L1 ← L1 − 4 L‬‬ ‫→ ‪ L2 ← ‬‬ ‫3‪ L2 + 4 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫0|‬ ‫‪‬‬ ‫‪| −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)1−,0,7,8( = ‪[ g ] A‬‬ ‫04‬ ‫0 4−‬ ‫01‬ ‫10‬ ‫‪| 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪| 7‬‬ ‫‪| 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪| − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫2−‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫00‬ ‫00‬ ‫01‬ ‫10‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪| 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‪L1 ← L1 +8 L‬‬ ‫‪| − 5‬‬ ‫4‪L2 ← L2 −12 L‬‬ ‫‪L3 ← L3 6 L‬‬ ‫→ 4‪| 6 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪| − 1‬‬ ‫‪− 6‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫0‪‬‬ ‫2‪L1 ← L1 + 2 L‬‬ ‫0 ‪ → ‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫8 − 4 2 − 1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫21 4 − 1 0 ‪‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫6− 1‬ ‫‪‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫| 0 0 2 − 1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫| 0 0 1 0‪‬‬ ‫| 0 1 0 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫| 1 0 0 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫8(.‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ w3 = ‬הפורשים את‬ ‫הוקטורים ‪ 0 1 , w2 = 1 0 , w1 = 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) 3‪W = Span( w1 , w2 , w‬‬ ‫( בת''ל, אזי הם מהווים בסיס של ‪. W‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫> 3‪ , B = <w1 , w2 , w‬נמצא את הקואורדינטות של המטריצה ‪‬‬ ‫‪1/ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫בבסיס סדור ‪ B‬כמקדמים בצרוף ליניארי 3‪C = α 1 w1 + α 2 w2 + α 3 w‬‬ ‫השוויון בין המטריצות שקול לארבעה שוויונים :‬ ‫2=‬ ‫1‪ α‬‬ ‫‪− α‬‬ ‫2− =‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪α‬‬ ‫21 =‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3 1 = 3‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫)3 1, 2 1,2( = ‪[C ] B‬‬ ‫‪)W‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪C=‬‬ ‫2 / 1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫.‬ ‫תרגיל 5‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫פתרונות‬ ‫9(.‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪e ⇔ v ∈ T3×3 ( R‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫+ ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוקטורים‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v = 0 d‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v = 0 d‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪ 0 1 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 0 ‪e = a 0 0 0 + b 0 0 0 + c 0 0 0 + d ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫6‪e 0 0 1 + f 0 0 0 = av1 + bv 2 + cv3 + dv 4 + ev5 + fv‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫6‪ v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v‬מהווים בסיס ב- ) ‪. dim(T3×3 ( R )) = 6 , T3×3 ( R‬‬ ‫01(.‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪e ⇔ v ∈ S 3×3 ( R‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫+ ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוקטורים‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v = b d‬‬ ‫‪c e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v = b d‬‬ ‫‪c e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪ 0 1 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 0 ‪e = a 0 0 0 + b 1 0 0 + c 0 0 0 + d ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫0 0‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫6‪e 0 0 1 + f 0 0 0 = av1 + bv 2 + cv3 + dv 4 + ev5 + fv‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫6‪ v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v‬מהווים בסיס ב- ) ‪. dim( S 3×3 ( R )) = 6 , S 3×3 ( R‬‬ ‫11(.‬ ‫שלושת הוקטורים ) ‪v3 = (0, 0,1) , v 2 = (0,1, c) , v 1 = (1, a, b‬‬ ‫בת''ל במרחב ‪) F‬‬ ‫3 = ) 3 ‪ ,( dim( F‬אזי הם מהווים בסיס של 3 ‪) F‬ניתן לראות שאם מסדרים‬ ‫אותם בשורות מתקבלת מטריצה מדורגת(.‬ ‫> 1‪ , D = <v3 , v 2 , v‬נמצא את הקואורדינטות של הוקטור )1,1,1( = ‪ v‬בבסיס‬ ‫סדור ‪ D‬כמקדמים בצרוף ליניארי 1‪. v = α 1v3 + α 2 v 2 + α 3 v‬‬ ‫השוויון בין הוקטורים שקול לשלושה שוויונים :‬ ‫1=‬ ‫1‪ α‬‬ ‫‪‬‬ ‫1=‬ ‫2 ‪aα 1 + α‬‬ ‫1 = ‪bα + cα + α‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫1‪‬‬ ‫3‬ ‫מהמשוואה הראשונה נקבל: 1 = 1 ‪ , α‬נציב במשוואה השניה ונקבל:‬ ‫‪ , α 2 = 1 − a‬נציב במשוואה השלישית ונקבל: ‪ . α 3 = 1 − b − c + ac‬לכן:‬ ‫)‪. [v] D = (1,1 − a,1 − b − c + ca‬‬ ‫שימו לב: אפשר היה לחשוב שאת מערכת המשוואות שקיבלנו אפשר‬ ‫לדרג ולהגיע לפתרון, אבל זה לא נכון! כי אנו לא יודעים מיהו האפס‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫פתרונות‬ ‫תרגיל 5‬ ‫בשדה ‪) F‬זה יכול להיות ‪ a‬או ‪ b‬או ‪ ( c‬וכמובן שלכפול באפס זו לא‬ ‫פעולת שורה חוקית.‬ ‫21(.‬ ‫} ‪ V = { v(t ) = at + bt + ct : a, b, c ∈ R‬במרחב של פולינומים אי-זוגיים מדרגה‬ ‫קטנה מ- 6 מעל ‪. R‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫שלושת הוקטורים 5 ‪ v 3 (t ) = t + t , v 2 ( t ) = t − t , v 1 (t ) = 2t + t‬בתייל‬ ‫במרחב ‪ .( dim( V ) = 3 ) V‬אזי הם מהווים בסיס במרחב ‪. V‬‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫> 3 ‪ , A = <v 1 , v 2 , v‬נמצא את הקואורדינטות של הווקטור ‪g(t ) = 2t − t + 5t‬‬ ‫בבסיס סדור ‪ A‬כמקדמים בצרוף ליניארי 3 ‪. g = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v‬‬ ‫השוויון בין הפולינומים שקול לשלושה שוויונים בין המקדמים לפי‬ ‫החזקות של ‪: t‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪t : 2α‬‬ ‫5 = 3‪+ α‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪t :‬‬ ‫1− = 3‪α2 + α‬‬ ‫‪5‬‬ ‫2 ‪t : α1 − α‬‬ ‫2=‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫נפתור את המערכת הלא הומוגנית:‬ ‫‪1 − 1 0 | 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫→ 1‪L1 ↔ L 3 → 0 1 1 | − 1 L 3 ←L 3 − 2 L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0 1 | 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 − 1 0 | 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫→ 1‪1 | − 1 L 2 ←L 2 + L‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 0 ‪L 3 ←L 3 − 2→ ‬‬ ‫2‪ ‬‬ ‫‪0 0 − 1 | 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)3−,2,4( = ‪[g ]A‬‬ ‫‪1 0 0 | 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 0 | 2 ‬‬ ‫‪ 0 0 1 | − 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0 1 | 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 1 | − 1‬‬ ‫‪1 − 1 0 | 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 − 1 0 | 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 1 | − 1‬‬ ‫‪0 2 1 | 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 − 1 0 | 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪L1 ← L1 + L‬‬ ‫‪0 | 2‬‬ ‫1 0‪‬‬ ‫3 ‪L 3 ←− L‬‬ ‫→‪ 0 0 − 1 | 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 101.1911.1 taught by Professor Yuliaglushko during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online