Maximum_minimum_and_saddle_points

Maximum_minimum_and_saddle_points - ‫נקודות...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫נקודות קיצון ונקודות אוכף של פונקציות של שני‬ ‫משתנים‬ ‫ערך קיצון מוחלט‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f‬של שני משתנים. אנו מעוניינים בנקודות הקיצון ש ‪ f‬מקבלת‬ ‫בתחום סגור וחסום ‪ R‬של המישור.‬ ‫נאמר שלפונקציה ‪ f‬מכסימום מוחלט ‪ M‬בתחום ‪ R‬בנקודה )‪ (a, b‬ב ‪ R‬אם‬ ‫)‪ f(x, y) ≤ M = f(a, b‬לכל הנקודות )‪ (x, y‬ב ‪ .R‬באופן דומה,‬ ‫מינימום מוחלט ‪ m‬בתחום ‪ R‬בנקודה )‪ (c, d‬ב ‪ R‬אם‬ ‫נאמר שלפונקציה ‪f‬‬ ‫)‪ f(x, y) ≥ m = f(c, d‬לכל הנקודות )‪ (x, y‬ב ‪.R‬‬ ‫משפט‬ ‫נתונה פונקציה של שני משתנים ‪ (z = f(x, y‬ונתון ש ‪ f‬רציפה בתחום סגור וחסום ‪R‬‬ ‫של המישור. אזי ‪ f‬מקבלת מכסימום מוחלט בנקודה )‪ (a, b‬ב ‪ R‬וכן ‪ f‬מקבלת‬ ‫מינימום מוחלט בנקודה )‪ (c, d‬ב ‪.R‬‬ ‫דוגמה‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪ z = ( cos x ) ( cos y ) e − x + y‬מקבלת מכסימום מוחלט 1 ומינימום מוחלט -‬ ‫‪− 3π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪− 3π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫≤‪≤x‬‬ ‫;‬ ‫≤‪≤y‬‬ ‫. ראה גרף הפונקציה.‬ ‫760.0 בתחום‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫דוגמה‬ ‫1‬ ‫הפונקציה ‪x − y − x − y‬‬ ‫= ‪ z‬מקבלת מכסימום מוחלט 0 ומינימום מוחלט –‪a‬‬ ‫2‬ ‫בתחום הריבועי ‪ . x ≤ a , y ≤ a‬ראה גרף הפונקציה כאשר 2 = ‪.a‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫1‬ ‫ערך קיצון מקומי‬ ‫נאמר ש ‪ (f(a, b‬מכסימום מקומי של ‪ f‬אם ישנו עיגול פתוח ‪ D‬שמרכזו )‪ (a, b‬כך ש ‪f‬‬ ‫מוגדרת ב ‪ D‬ומתקיים )‪ f(x, y) ≤ f(a, b‬לכל הנקודות )‪ (x, y‬ב ‪ .D‬אם נהפוך את כיוון אי‬ ‫השוויון אזי ‪ (f(a, b‬מינימום מקומי של .‪f‬‬ ‫)מתוך ‪( Thomas’ Calculus tenth edition‬‬ ‫משפט תנאי הכרחי לקיום נקודת קיצון מקומית‬ ‫אם לפונקציה ‪ (f(x, y‬יש מכסימום או מינימום מקומי בנקודה פנימית )‪ (a, b‬בתחום‬ ‫ההגדרה של ‪ f‬ובנוסף היא בעלת נגזרות חלקיות מסדר ראשון בנקודה זו אזי‬ ‫0 = )‪ f x (a, b‬ו 0 = )‪. f y (a, b‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח של ‪ f‬מכסימום מקומי בנקודה פנימית )‪ (a, b‬בתחום ההגדרה של ‪ .f‬ראה ציור.‬ ‫2‬ ‫• המישור ‪ y = b‬חותך את המשטח ‪ (z = f(x, y‬לאורך עקומה ‪ (z = f(x, b‬ו ‪x = a‬‬ ‫נקודה פנימית בתחום ההגדרה של העקומה ‪.(z = f(x, b‬‬ ‫• הפונקציה ‪ (z = f(x, b‬היא פונקציה גזירה של ‪ x‬בנקודה ‪) x = a‬הנגזרת היא‬ ‫)‪.( f x (a, b‬‬ ‫• לפונקציה ‪ (z = f(x, b‬מכסימום מקומי ב ‪ x = a‬ולכן‬ ‫• ערכה של הנגזרת של ‪ (z = f(x, b‬בנקודה ‪ x = a‬היא 0 )תנאי הכרחי לקיום‬ ‫נקודת קיצון לפונקציה של משתנה אחד(. היות והנגזרת היא )‪ f x (a, b‬נקבל‬ ‫0 = )‪. f x (a, b‬‬ ‫באופן דומה ניתן להראות 0 = )‪. f y (a, b‬‬ ‫מסקנה‬ ‫הנקודות היחידות בהן הפונקציה ‪ (f(x, y‬יכולה לקבל ערך קיצון הן‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫נקודות פנימיות עבורן 0 = ‪. f x = f y‬‬ ‫נקודות פנימיות עבורן או ‪ f x‬או ‪ f y‬או שתיהן אינן קיימות.‬ ‫נקודות שפה בתחום ההגדרה של הפונקציה.‬ ‫הגדרה נקודה קריטית‬ ‫נקודה פנימית בתחום ההגדרה של ‪ (f(x, y‬שבה ‪ f x‬ו ‪ f y‬שניהם 0 או ש ‪ f x‬או ‪ f y‬או‬ ‫שתיהן אינן קיימות נקראת נקודה קריטית של ‪. f‬‬ ‫הנקודות היחידות בהן הפונקציה ‪ (f(x, y‬יכולה לקבל ערך קיצון הן נקודות‬ ‫קריטיות או נקודות שפה.‬ ‫דוגמאות‬ ‫נתונות שלושת הפונקציות ותיאורן הגרפי.‬ ‫2 ‪z = f(x, y) = x 2 + y‬‬ ‫3‬ ‫2 ‪z = g(x, y) = − x 2 − y‬‬ ‫2 ‪z = h(x, y) = y 2 − x‬‬ ‫•‬ ‫נמצא נקודות קיצון מקומיות של 2 ‪z = f(x, y) = x 2 + y‬‬ ‫תחום ההגדרה הוא כל המישור: אין נקודות שפה.‬ ‫‪f x (x, y) = 2 x‬‬ ‫הנגזרות החלקיות קיימות בכל המישור.‬ ‫‪f y (x, y) = 2 y‬‬ ‫לכן אם ישנה נקודת קיצון מקומית היא יכולה להתקבל כאשר 0 = ‪f x (x, y) = 2 x‬‬ ‫וגם 0 = ‪ f y (x, y) = 2 y‬כלומר בנקודה )0,0(. ‪ (f(x, y‬אינה מקבלת ערכים שלילים‬ ‫לכן )0,0( נקודת מינימום מקומית )ראה ציור(.‬ ‫•‬ ‫נמצא נקודות קיצון מקומיות של 2 ‪z = g(x, y) = − x 2 − y‬‬ ‫שיקולים דומים מביאים למסקנה של ‪ (g (x, y‬נקודת מכסימום מקומית בנקודה )‬ ‫0,0(.‬ ‫•‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫האם ל ‪ z = h(x, y) = y − x‬נקודת מכסימום או מינימום מקומית?‬ ‫תחום ההגדרה הוא כל המישור: אין נקודות שפה.‬ ‫‪h x (x, y) = −2 x‬‬ ‫והנגזרות החלקיות קיימות בכל המישור.‬ ‫‪h y (x, y) = 2 y‬‬ ‫לכן אם ישנה נקודת קיצון מקומית היא יכולה להופיע רק ב )0,0( אבל‬ ‫לאורך החלק החיובי של ציר ‪h(x, 0) = − x 2 < 0 , x‬‬ ‫לאורך החלק החיובי של ציר ‪) h(0, y) = y 2 > 0 , y‬ראה ציור(‬ ‫4‬ ‫מכאן כל עיגול פתוח במישור ‪ xy‬שמרכזו בראשית מכיל נקודות בהן הפונקציה‬ ‫חיובית ונקודות בהן הפונקציה שלילית. לפונקציה אין נקודת קיצון בראשית: יש‬ ‫לה נקודת אוכף ב )0,0(.‬ ‫הגדרה נקודת אוכף‬ ‫לפונקציה גזירה ‪ (f(x, y‬קיימת נקודת אוכף בנקודה קריטית )‪ ,(a, b‬אם בכל עיגול‬ ‫פתוח שמרכזו ב )‪ (a, b‬ישנן נקודות )‪(x, y‬מתחום ההגדרה של ‪ f‬עבורן מתקיים‬ ‫)‪ f(x, y) > f(a, b‬ו ישנן נקודות )‪(x, y‬מתחום ההגדרה של ‪ f‬עבורן מתקיים‬ ‫)‪. f(x, y) < f(a, b‬‬ ‫הנקודה )‪ ((a, b, f(a, b‬במשטח ‪ = f(x, y) z‬נקראת נקודת אוכף של המשטח.‬ ‫מבחן הנגזרת השנייה‬ ‫משפט‬ ‫נניח ש )‪ (a, b‬נקודה קריטית של פונקציה ‪ . f‬איך ניתן לקבוע האם ל ‪ f‬נקודת‬ ‫קיצון או נקודת אוכף ב )‪ .(a, b‬המבחן הבא )מבחן הנגזרת השנייה( עונה לשאלה‬ ‫זו. לא נוכיח את המשפט )ניתן להוכיח את המשפט באמצעות נוסחת טילור עבור‬ ‫פונקציה של שני משתנים(.‬ ‫נתון ש ‪ (f(x, y‬והנגזרות החלקיות מסדר ראשון ומסדר שני הן רציפות בעיגול‬ ‫שמרכזו ב )‪ (a, b‬ונתון ש 0 = )‪ f x (a, b) = f y (a, b‬אזי‬ ‫•‬ ‫ל‪f‬‬ ‫2‬ ‫מכסימום מקומי ב)‪ (a, b‬אם 0 < ‪ f xx‬ו 0 > ‪ f xx f yy − f xy‬ב )‪.(a, b‬‬ ‫הביטוי‬ ‫‪f xy‬‬ ‫‪f xx‬‬ ‫‪f yy‬‬ ‫‪f xy‬‬ ‫2‬ ‫= ‪ f xx f yy − f xy‬נקרא הדיסקרימיננטה של ‪f‬‬ ‫‪.( (Hessian of f‬‬ ‫2‬ ‫מינימום מקומי ב)‪ (a, b‬אם 0 > ‪ f xx‬ו 0 > ‪ f xx f yy − f xy‬ב )‪.(a, b‬‬ ‫•‬ ‫ל‪f‬‬ ‫•‬ ‫ל‪f‬‬ ‫•‬ ‫לא ניתן להגיע למסקנה לגבי התנהגות הפונקציה ב )‪ (a, b‬באמצעות המבחן‬ ‫2‬ ‫0 = ‪f xx f yy − f xy‬‬ ‫ב )‪.(a, b‬‬ ‫אם‬ ‫נקודת אוכף ב)‪ (a, b‬אם‬ ‫2‬ ‫0 < ‪ f xx f yy − f xy‬ב )‪.(a, b‬‬ ‫5‬ ‫דוגמאות נוספות למציאת ערכים קיצוניים מקומיים ונקודות אוכף‬ ‫דוגמה‬ ‫מצא ערכים קיצוניים מקומיים של הפונקציה 4 + ‪f(x, y) = x y - x − y − 2 x - 2 y‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫הפונקציה מוגדרת וגזירה לכל ‪ x‬ו ‪ y‬ולתחום ההגדרה אין נקודות שפה. לכן‬ ‫נקודות קיצון יכולות להיות רק בנקודות עבורן 0 = ‪. f x = f y‬‬ ‫0 = 2 - ‪f x = y - 2x‬‬ ‫2- = ‪⇒ x = y‬‬ ‫‪ ‬ו )-2,-2( היא הנקודה היחידה שבה יתכן‬ ‫0 = 2 − ‪f y = x − 2y‬‬ ‫של ‪ f‬ערך קיצון מקומי.‬ ‫2− = ‪f xx‬‬ ‫‪f xx f xy‬‬ ‫2− = ‪f yy‬‬ ‫2‬ ‫0 > 3 = 1 − 4 = ‪= f xx f yy − f xy‬‬ ‫וגם 0 < ‪ f xx‬לכן ל ‪ f‬יש‬ ‫‪f xy f yy‬‬ ‫1 = ‪f xy‬‬ ‫נקודת מקסימום מקומי ב )-2, -2( ו 8=)2-,2-(‪.f‬‬ ‫דוגמה‬ ‫מצא נקודות קיצון מקומיות ונקודות אוכף של ‪f(x,y)=x y‬‬ ‫הפונקציה מוגדרת וגזירה לכל ‪ x‬ו ‪ y‬ולתחום ההגדרה אין נקודות שפה. לכן‬ ‫נקודות קיצון יכולות להיות רק בנקודות עבורן 0 = ‪. f x = f y‬‬ ‫0 = ‪ f x = y‬ו 0 = ‪ f y = x‬ו )0, 0( היא הנקודה היחידה שבה יתכן ערך קיצון.‬ ‫0 = ‪f xx‬‬ ‫0 = ‪f yy‬‬ ‫2‬ ‫0 < 1− = 1 − 0 = ‪= f xx f yy − f xy‬‬ ‫1 = ‪f xy‬‬ ‫‪f xy‬‬ ‫‪f xx‬‬ ‫‪f yy‬‬ ‫‪f xy‬‬ ‫לכן ל ‪ f‬יש נקודת אוכף ב‬ ‫)0, 0( ואין לה נקודת קיצון מקומית.‬ ‫דוגמה‬ ‫מצא נקודות מכסימום, מינימום מקומיות ונקודות אוכף של‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2/) ‪. z = f(x, y) = ( x 2 − y 2 ) e (-x − y‬‬ ‫ראשית נמצא את הנקודות הקריטיות.‬ ‫נמצא נקודות עבורן 0 = )‪f x (x, y) = f y (x, y‬‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪(x, y) = [ − 2y - y ( x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2 / ) ‪f x (x, y) = 2 x - x ( x 2 − y 2 ) e ( − x − y‬‬ ‫2 / 2‪− y‬‬ ‫2‬ ‫]‬ ‫‪− y 2 ) e ( −x‬‬ ‫2‬ ‫‪fy‬‬ ‫6‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫0 = ) 2 ‪x 2 - ( x 2 − y‬‬ ‫הנקודות הקריטיות הן פתרונות של מערכת המשוואות‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫0 = ) ‪y - 2 - ( x − y‬‬ ‫הפתרונות הם ) 2 ±,0( ,)0, 2 ± ( ,)0,0(‬ ‫]‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫2/ 2 ‪− y‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫)‬ ‫2/ 2 ‪− y‬‬ ‫הנגזרות מסדר שני הן‬ ‫)‬ ‫2/ ‪− y‬‬ ‫נרכז את התוצאות בטבלה‬ ‫2‬ ‫‪f xx f yy − f xy‬‬ ‫[‬ ‫‪f xx (x, y) = 2 - 5 x 2 + x 2 ( x 2 − y 2 ) + y 2 e ( -x‬‬ ‫]‬ ‫2‬ ‫‪f xy (x, y) = x y ( x 2 − y 2 ) e ( -x‬‬ ‫[‬ ‫‪f yy (x, y) = 5 y 2 − 2 + y 2 ( x 2 − y 2 ) − x 2 e ( -x‬‬ ‫‪f yy‬‬ ‫‪f xy‬‬ ‫‪f xx‬‬ ‫נקודה‬ ‫קודת אוכף‬ ‫מכסימום‬ ‫4‬‫2 ‪16/e‬‬ ‫2‬‫-4/‪e‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫-4/‪e‬‬ ‫)0,0(‬ ‫)0, 2 (‬ ‫מכסימום‬ ‫2 ‪16/e‬‬ ‫-4/‪e‬‬ ‫0‬ ‫-4/‪e‬‬ ‫)0, 2 − (‬ ‫מינימום‬ ‫2 ‪16/e‬‬ ‫4/‪e‬‬ ‫0‬ ‫4/‪e‬‬ ‫) 2 ,0(‬ ‫4/‪e‬‬ ‫0‬ ‫4/‪e‬‬ ‫) 2 - ,0(‬ ‫מינימום‬ ‫2 ‪16/e‬‬ ‫התיאור הגראפי של הפונקציה מאשר תוצאות אלו:‬ ‫מציאת נקודות מכסימום , מינימום מוחלטים בתחומים סגורים וחסומים‬ ‫תהי ‪ (f(x,y‬פונקציה רציפה בתחום ‪ R‬סגור וחסום.‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫מצא נקודות פנימיות של ‪ R‬בהן יתכן של ‪ f‬נקודות מכסימום או מינימום‬ ‫מקומיות וחשב את הערך של ‪f‬בנקודות הנ"ל. אלו הנקודות שעבורן‬ ‫מתקיים 0 = ‪ f x = f y‬או נקודות שבהן או ‪ f x‬או ‪ f y‬או שתיהן אינן קיימות.‬ ‫מצא את נקודות השפה של ‪ R‬עבורן יש ל ‪ f‬נקודות מכסימום או מינימום‬ ‫מקומיות. חשב את ערך של ‪f‬בנקודות הנ"ל.‬ ‫התבונן ברשימה שקבלת ומצא את המכסימום המוחלט והמינימום המוחלט‬ ‫של ‪ f‬ב ‪.R‬‬ ‫דוגמה‬ ‫מציאת מכסימום , מינימום מוחלט‬ ‫7‬ ‫נתונה הפונקציה 2 ‪f(x, y) = 2 + 2 x + 2 y - x 2 − y‬‬ ‫מצא את המכסימום המוחלט והמינימום המוחלט של ‪ f‬במשולש המישורי‬ ‫שברביע הראשון החסום ע"י הקווים 0 = ‪y = 9-x, y = 0, x‬‬ ‫‪ f‬גזירה לכן נקודות קיצון יכולות להתקבל רק בנקודות שעבורן 0 = ‪f x = f y‬‬ ‫ונקודות שפה.‬ ‫•‬ ‫נקודות פנימיות‬ ‫)1,1( = )‪⇒ (x, y‬‬ ‫•‬ ‫0 = ‪f x = 2 - 2 x‬‬ ‫‪ ‬ו 4 = )1,1(‪f‬‬ ‫0 = ‪f y = 2 - 2 y‬‬ ‫נקודות שפה‬ ‫בקטע ‪OA‬‬ ‫0 = ‪ y‬ו 2 ‪ f(x, y) = f(x, 0) = 2 + 2 x + - x‬היא פונקציה של ‪ x‬המוגדרת עבור‬ ‫9 ≤ ‪.0 ≤ x‬‬ ‫נקודות הקיצון שלה יכולות להיות בנקודות הקצה 0 = ‪ x‬או 9 = ‪x‬‬ ‫2=)0,0(‪f‬‬ ‫16- = )0 ,9(‪f‬‬ ‫או בנקודות פנים שעבורן ‪0 = f ' (x, 0) = 2 − 2 x‬‬ ‫כלומר עבור 1 = ‪ x‬ו ,1(‪f‬‬ ‫3=)0‬ ‫בקטע ‪OB‬‬ ‫0 = ‪ x‬ו 2 ‪ f(x, y) = f( 0, y) = 2 + 2 y + - y‬היא פונקציה של ‪ y‬המוגדרת עבור‬ ‫9 ≤ ‪.0 ≤ y‬‬ ‫כמו במקרה הקודם עבור הקטע ‪ OA‬אנו מקבלים את הנקודות המועמדות‬ ‫לקיצון‬ ‫2=)0,0(‪ f‬ו 3=)1 ,0(‪f‬‬ ‫16- = )9 ,0(‪f‬‬ ‫בקטע ‪AB‬‬ ‫8‬ ‫נותר לחשב רק נקודות הפנים )כבר לקחנו בחשבון את נקודות הקצה של‬ ‫2 ‪f(x, y) = 2 + 2 x + 2 (9 - x) - x 2 − (9 − x) 2 = −61 + 18 x − 2 x‬‬ ‫‪ AB ). y = 9-x‬ו‬ ‫2/9 = ‪f ' (x, 9 - x) = 18 - 4 x = 0 ⇒ x = 9/2; y = 9 - x‬‬ ‫2/14- = )2/9 ,2/9( ‪f‬‬ ‫נתבונן ברשימת הערכים 4, 2, - 16, 3, - 2 /14‬ ‫המכסימום הוא 4 והוא מתקבל ע"י הפונקציה בנקודה )1,1(‬ ‫המינימום הוא -16 והוא מתקבל ע"י הפונקציה בנקודות )9,0( ו )9, 0(‬ ‫פתרון בעיות‬ ‫דוגמה פתרון בעיית נפח עם אילוץ‬ ‫חברת משלוחים מקבלת רק קופסאות מלבניות אשר מקיימות את התנאי: האורך +‬ ‫היקף החתך אינו עולה על 801 ‪ . cm‬מצא את ממדיה של קופסא בעלת נפח‬ ‫מכסימלי והמתאימה לתנאי החברה.‬ ‫נסמן ב ‪ z, y, x‬האורך, הרוחב והגובה של ה קופסא המלבנית.‬ ‫היקף החתך הוא ‪2y + 2z‬‬ ‫המכסימלי המקיים 801 = ‪x + 2 y +2 z‬‬ ‫אנו מחפשים את הנפח ‪V= x y z‬‬ ‫) הקופסא הגדולה ביותר המקיימת את תנאי החברה(. נכתוב את הנפח כפונקציה של‬ ‫שני משתנים.‬ ‫2 ‪V(y, z) = (108 - 2 y - 2 z) y z = 108 y z - 2 y 2 z − 2y z‬‬ ‫נשווה את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון ל 0‬ ‫0 = ‪Vy (y, z) = 108 z - 4 y z - 2 z 2 = (108 − 4 y − 2 z) z‬‬ ‫0 = ‪Vz (y, z) = 108 y - 2 y 2 - 4 y z = (108 - 2 y - 4 z ) y‬‬ ‫הנקודות הקריטיות הן )0, 0(, )0, 45(, )45, 0( )81, 81(.‬ ‫הנפח הוא 0 עבור )0, 0(, )0, 45(, )45, 0(. בנקודה )81, 81( ניעזר במבחן‬ ‫הנגזרת השנייה:‬ ‫‪Vyy = −4 z Vzz = - 4 y Vyz = 108 - 4 y - 4 z‬‬ ‫2‬ ‫2 ) ‪Vyy Vzz − Vyz = 16 y z − 16 (27 − y − z‬‬ ‫→‬ ‫0 < )81(4− = )81,81( ‪Vyy‬‬ ‫0 > 2 )9− (61 − )81()81(61 =‬ ‫) 81,81(‬ ‫]‬ ‫2‬ ‫‪Vzz − Vyz‬‬ ‫‪[V‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫לכן ב )81, 81( הנפח מכסימלי.‬ ‫9‬ ‫הממדים של הקופסא הם ‪x = 108 -2 (18)-2(18)=36 cm , y = 18 cm , z = 18 cm‬‬ ‫3 ‪V = 36 (18) (18)= 11.664 cm‬‬ ‫הנפח המכסימלי הוא‬ ‫סיכום‬ ‫נקודות קיצון של ‪(f (x, y‬‬ ‫יכולות להופיע ב‬ ‫1. נקודות שפה של התחום של ‪f‬‬ ‫2. נקודות קריטיות ) נקודות פנים בהן 0 = ‪ f x = f y‬או נקודות שבהן או ‪ f x‬או ‪f y‬‬ ‫או‬ ‫שתיהן אינן קיימות(. אם הנגזרות החלקיות מסדר ראשון ומסדר שני הן‬ ‫רציפות בעיגול שמרכזו ב )‪ (a, b‬ונתון ש 0 = )‪ f x (a, b) = f y (a, b‬אזי לפי מבחן‬ ‫הנגזרת השנייה:‬ ‫2‬ ‫• ל ‪ f‬מכסימום מקומי ב)‪ (a, b‬אם 0 < ‪ f xx‬ו 0 > ‪ f xx f yy − f xy‬ב ),‪a‬‬ ‫‪.(b‬‬ ‫2‬ ‫מינימום מקומי ב)‪ (a, b‬אם 0 > ‪ f xx‬ו 0 > ‪ f xx f yy − f xy‬ב )‪.(a, b‬‬ ‫•‬ ‫ל‪f‬‬ ‫•‬ ‫ל‪f‬‬ ‫•‬ ‫לא ניתן להגיע למסקנה לגבי התנהגות הפונקציה ב )‪ (a, b‬באמצעות‬ ‫2‬ ‫0 = ‪f xx f yy − f xy‬‬ ‫ב )‪.(a, b‬‬ ‫המבחן אם‬ ‫נקודת אוכף ב)‪ (a, b‬אם‬ ‫01‬ ‫2‬ ‫0 < ‪ f xx f yy − f xy‬ב )‪.(a, b‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 1911.101.1 taught by Professor Kagnovski during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online