targil_3 - 3 ‫תרגול‬ ‫פונקציות של...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 3 ‫תרגול‬ ‫פונקציות של מספר משתנים‬ y2 : ‫ . חשב‬f ( x, y ) = x 2 y + ‫ .נתונה הפונקציה‬I x 1 1 c) f ( y, x) d) f , e) f ( − x,− y ) x y 1 b) f ,2 3 a ) f (1,−1) : ‫ .מצא את התחום ההגדרה של פונקציות‬II 1. v( x, y) = x + 10. u ( x, y, z ) = a 2 − x 2 − y 2 − z 2 x 11. f ( x, y ) = arcsin y2 4 + x2 y x2 + y2 − 4 12. g ( x, y ) = ln 2 2 x +y y 13. h( x, y ) = arcsin x y 2. f ( x, y ) = 1 − x 2 + y2 −1 3. g ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2 4. h( x, y ) = 1 x2 + y2 −1 5. k ( x, y ) = ( x 2 + y 2 − 1)(4 − x 2 − y 2 ) 14. v( x, y ) = arccos x x+ y 6. v( x, y ) = ( x 2 + y 2 − x) / (2 x − x 2 − y 2 ) 15. g ( x, y ) = arcsin( x / y 2 ) + arcsin(1 − y ) 7. f ( x, y ) = 1 − ( x 2 + y ) 2 8. g ( x, y ) = ln(− x − y ) 9. v( x, y ) = ln(− x + y ) 16. f ( x, y ) = sin( x 2 + y 2 ) 17. v( x, y, z ) = ln( xyz ) 18. g ( x, y, z ) = ln(−1 − x 2 − y 2 + z 2 ) :(‫ .בנה את קווי הרמה של הפונקציות )או קווי הגובה‬III 1. g ( x, y ) = x + y 2. f ( x, y ) = x 2 + y 2 3. v( x, y ) = x 2 − y 2 4. h( x, y ) = ( x + y ) 2 y 5. g ( x, y ) = x 1 6. f ( x, y ) = 2 x + 2y2 7. v ( x , y ) = x y 8. h( x, y ) = e 2 x /( x 2 + y2 ) 9. f ( x, y ) = 1− | x | − | y | : ( ‫.תאר את משטחי הרמה של הפונקציות )או משטחי הגובה‬IV 1. f ( x, y, z ) = x + y + z 2. u ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 3. v( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z 2 4. g ( x, y, z ) = x 2 − y 2 − z 2 5. h( x, y, z ) = tan( x 2 + y 2 − 2 z 2 ) 6. f ( x, y, z ) = 7 2 x +3 y − z : ‫.נגזרות חלקיות. חשב את הנגזרת מסדר ראשון של הפונקציות הבאות‬V x 1. u ( x, y ) = x + y − 4 x 2 y 3 + 5 2. f ( x, y ) = 3. u ( x, y ) = x sin( 2 x + 3 y ) + e 2x y 2 y 4 4 4. v( x, y ) = x y 7. f ( x, y ) = (1 + xy ) y 10. g ( x, y ) = e − x / y + 3 13. h( x, y ) = (1 + log y x) 3 5. u ( x, y ) = (5 x 2 y − y 3 + 7) 3 8.v( x, y ) = ln( x + ln y ) y 11. f ( x, y ) = arctan x 2 6. f ( x, y ) = ln( x + y 2 ) + 5 x y 9. u ( x, y, z ) = x y / z x 12. v( x, y ) = arcsin x2 + y2 ∂g y ∂g 14. g ( x, y ) = ln x + , (1,2) = ? (1,2) = ? ∂y 2 x ∂x .‫ . נגזרות חלקיות של פונקציה מורכבת, כלל השרשרת‬VI ‫נתון‬ −t U (t ) = u ( f (t ), g (t ), h(t )), h(t ) = t , g (t ) = e , f (t ) = sin 4t , 3 . V (t ) = v( f (t ), g (t )) , .1 u ( x, y , z ) = x + y + x z . U ′(t ) ‫חשב‬ 2 2 g (t ) = ln(t 2 + ln 5t ), f (t ) = t e 2t , v( x, y ) = x / y ‫2. נתון‬ . V ′(t ) ‫חשב‬ ‫נתון‬ Z ( x,y ) = z ( f ( x,y ), g ( x, y )) .3 g ( x, y ) = y / x , f ( x,y ) = x / y , z (u , v) = u ln v ∂ Z / ∂ y, ∂ Z / ∂ x ‫חשב‬ 2 . U ( x) = u ( x, v( x)) , v( x) = x 3 , u ( x, y ) = ln(e x + e y ) .4 . d U / d x ‫חשב‬ Z (t ) = z (t , f (t), v(t)) v(t) = t , f (t) = 1 / t , z (t , x, y ) = tan(3t + 2 x 2 − y ) .5 . d Z / dt , ∂z / ∂t ‫חשב‬ g (u , v) = u cos v , f (u , v) = u sin v , z ( x, y ) = arctan (x/y) .6 Z (u , v) = z ( f (u , v), g (u , v)) , . ∂ Z / ∂u , ∂ Z / ∂ v ‫חשב‬ 2 . U (t ) = u ( f (t ), g (t )) , .7 g (t ) = t sin t , f (t ) = t cos t , u ( x, y ) = e x y . U ′(π / 2) ‫חשב‬ ‫ גזירה אזי מתקיים השוויון‬z ( x, y ) = f ( x 2 − y 2 ) ‫הוכח כי אם‬ .8 y (∂z / ∂x) + x(∂z / ∂y ) = 0 2 2 ‫ גזירה אזי מתקיים השוויון‬z ( x, y ) = e y f ( ye x /( 2 y ) ) ‫הוכח כי אם‬ (x2 − y 2 ) .9 ∂z ∂z + xy = xyz ∂x ∂y ‫ גזירה אזי מתקיים השוויון‬u ( x, y, z ) = f ( x 2 z − yz ) ‫הוכח כי אם‬ .01 ∂u ∂u ∂u + 2y − 2z =0 ∂x ∂y ∂z ‫ גזירה אזי מתקיים השוויון‬u ( x, y , z ) = f ( x − y , y − z , z − x) ‫11. הוכח כי אם‬ ∂u ∂u ∂u + + =0 ∂x ∂y ∂z x ‫תשובות‬ I. a) 0 b) 110 9 c) xy 3 + x 2 y d) x3 + y x2 y2 e) − x 2 y − II. 1. y ≥ 0 2. | x | ≤ 1, | y | ≥ 1 3. x 2 + y 2 ≤ 1 4. x 2 + y 2 > 1 5. 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 6. x ≤ x 2 + y 2 < 2 x 7. | x 2 + y |≤ 1 11. | x |≤ y 2 , y ≠ 0 { 12. x 2 + y 2 = 4 }{ 8. x + y < 0 9. y > x 10. x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 13. | y |≤| x |, x ≠ 0 } 14. y ≥ 0, y ≥ −2 x, x + y ≠ 0 ∪ y ≤ 0, y ≤ −2 x, x 2 + y 2 ≠ 0 2 2 15. y 2 = − x , y 2 = x ‫המשולש העקום החסום ע''י הפרבולות‬ ( ‫ ) לא כולל את הראשית‬y = 2 ‫והישר‬ y2 x ‫... ,2 ,1 ,0 = ‪16. 2πk ≤ x 2 + y 2 ≤ π (2k + 1), k‬‬ ‫}0 > ‪17. {x > 0, y > 0, z > 0} ∪ {x > 0, y < 0, z < 0} ∪ {x < 0, y > 0, z < 0} ∪ {x < 0, y < 0, z‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫1− < 2 ‪18. ( x, y, z ) : x 2 + y 2 − z‬‬ ‫החלק הפנימי של ההיפרבולויד דו -יריעתי 1− = 2 ‪x 2 + y 2 − z‬‬ ‫מעגלים ‪2. c ≥ 0 , x 2 + y 2 = c‬‬ ‫ישרים מקבילים‬ ‫משפחת היפרבולות שוות שוקיים בעלות אסימפטוטות ‪y = ± x‬‬ ‫‪III. 1. x + y = c‬‬ ‫‪3. x 2 − y 2 = c‬‬ ‫משותפות:‬ ‫וזוג הישרים ‪ y = ± x‬עצמו‬ ‫ישרים מקבילים ‪4. c ≥ 0, x + y = c‬‬ ‫אלומת ישרים ‪ y = cx‬ללא הראשית .5‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫+‬ ‫0 > ‪= 1, c‬‬ ‫)‪1 / c 1 /(2c‬‬ ‫משפחת אליפסות‬ ‫משפחת היפרבולות } 2 ‪{c ≠ 0 : xy = c‬‬ ‫& }0 = ‪x‬‬ ‫.6‬ ‫‪7. {c = 0 : y = 0 or‬‬ ‫אלומת מעגלים העוברים דרך הראשית )ללא הראשית( ‪8. x 2 + y 2 = c1 x‬‬ ‫ריבועים )1 ≥ 1‪9. | x | + | y |= c1 (c‬‬ ‫משפחת מישורים מקבילים ‪IV. 1. x + y + z = c‬‬ ‫נקודה )0,0,0( עבור 0 = ‪ , c‬ומשפחת ספירות‬ ‫‪2. c > 0 , x 2 + y 2 + z 2 = c‬‬ ‫‪3. x + y − z = c‬‬ ‫2‬ ‫משפחת היפרבולוידים דו-יריעתיים עבור 0 < ‪c‬‬ ‫משפחת היפרבולוידים חד-יריעתיים עבור 0 > ‪c‬‬ ‫חרוט עבור 0 = ‪c‬‬ ‫משפחת היפרבולוידים דו-יריעתיים עבור 0 > ‪c‬‬ ‫משפחת היפרבולוידים חד-יריעתיים עבור 0 < ‪c‬‬ ‫חרוט עבור 0 = ‪c‬‬ ‫‪+π k , k ∈Z‬‬ ‫‪π‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪4. x 2 − y 2 − z 2 = c‬‬ ‫≠ ‪5. x 2 + y 2 − 2 z 2 = c , c‬‬ ‫משפחת מישורים מקבילים 1‪6. 2 x + 3 y − z = c‬‬ V. 1. ∂u ∂u = 4 x 3 − 8 xy 3 , = 4 y 3 − 12 x 2 y 2 ∂x ∂y ∂u ∂x ∂v 4. ∂x ∂u 5. ∂x ∂f 6. ∂x 3. = sin( 2 x + 3 y ) + 2 x cos(2 x + 3 y ), = yx y −1 , 2. ∂f ∂f − 2 x 1 = 2 + 2 ye 2 xy , = 3 + 2 xe 2 xy ∂x y ∂y y ∂u = 3 x cos(2 x + 3 y ) ∂y ∂v = x y ln x ∂y ∂u = 3(5 x 2 y − y 3 + 7) 2 (5 x 2 − 3 y 2 ) ∂y 2 ∂f 2y = + 5 xy 2 xy ln 5 y 2 ln 5 , ∂y x + y 2 = 30 xy(5 x 2 y − y 3 + 7) 2 , = 1 x + y2 + 5 xy 2 7. ∂f ∂f xy (1 + xy) y = y 2 (1 + xy ) y −1 , ln f = y ln(1 + xy ) ⇒ = ln(1 + xy ) + ∂x ∂y 1 + xy 8. ∂v 1 = , ∂x x + ln y 11. ∂v 1 = ∂y ( x + ln y ) y ∂f y =− 2 , ∂x x + y2 ∂f x =2 ∂y x + y 2 2 ∂h 3(1 + log y x) ln x 13. = , log y x = , ∂x ln y x ln y 10. ∂g e −x / y =− , ∂x y ∂g xe − x / y = ∂y y2 12. | y| ∂v =2 , ∂x x + y 2 xy ∂v =− ∂y | y | (x 2 + y 2 ) 3(1 + log y x) 2 ln x ∂h =− ∂y y ln 2 y VI 1. dU / dt = 4(2 x + z ) cos 4t − 2 ye −t + 3 xt 2 = 4(2 sin 4t + t 3 ) cos 4t − 2e − 2t + 3t 2 sin 4t 2. dV e 2t (1 + 2t ) x 2t + 1 / t = −22 = dt y y t + ln 5t 3. ∂Z 2u ln v u 2 y = − =, ∂x y v x2 ∂Z 2 xu ln v u 2 1 =− + = ∂y vx y2 dU e x + 3e y x 2 = = dx ex + ey ∂z d Z 3 − 4 x / t 2 − 0.5 / t 3 = = , = = 5. ∂ t cos 2 (3t + 2 x 2 − y ) dt cos 2 (3t + 2 x 2 − y ) 4. 6. ∂ Z / ∂u = ( y sin v − x cos v) /( x 2 + y 2 ) = dU (π / 2 ) = −π 3/ 8 7. dt y I. 3) 1 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 ≤ 1 x 1 y x 4) x 2 + y 2 > 1 y x2 + y2 ≥1 2 2 5) ‫.א‬ ⇒1≤ x + y ≤ 4 2 2 x + y ≤ 4 x2 + y2 ≤1 ‫.ב‬ ⇒ ‫ןיא ןורתפ‬ x 2 + y 2 ≥ 4 2 2 x + y −x≥0 2 2 6) ‫.א‬ ⇒ x ≤ x + y < 2x 2 2 2 x − x − y > 0 x2 + y2 − x ≤ 0 ‫.ב‬ ⇒ ‫ןיא ןורתפ‬ 2 2 2 x − x − y < 0 x y 2x 1 y x 7) − 1 ≤ x + y ≤ 1 2 y = 1− x2 y y = −1 − x 2 x 8) x + y < 0 y = −x 13) y=x y | y |≤| x | y ≤1⇒ x x ≠ 0 14) − 1 ≤ x ≤1⇒ x+ y x y y = −x x + y > 0 x+ y >0 ‫.א‬ ⇒ y ≥0 − x − y ≤ x ≤ x + y y ≥ −2 x y = −2 x x + y < 0 x + y < 0 ‫ .ב‬x ≥ x + y ⇒ y ≤ 0 x ≤ −x − y y ≤ −2 x y y=2 − 1 ≤ 1 − y ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2 2 2 x 15) ⇒− y ≤ x≤ y −1 ≤ ≤1 y≠0 y2 x x = −y2 x = y2 x y x2 + y2 = π x 2 + y 2 = 3π 16) sin( x + y ) ≥ 0 ⇒ 2πk ≤ x + y ≤ 2πk + π 2 2 2 2 x x + y = 2π 2 k ∈ N ∪ {0} 2 C=0 C=2 y III. x 2) x 2 + y 2 = C , C ≥ 0 C =1 y C = −1 1 3) x 2 − y 2 = C −1 C =1 C=0 x 1 −1 C = −1 C =1 y C=0 4) ( x + y ) 2 = C , C ≥ 0 ⇒ x + y = ± C 1 x 1 −1 C =1 C = 0 C =1 7) xy = C , C ≥ 0 8) e 2 x /( x 2 + y 2 ) C = e C1 , C1 = 2 x /( x 2 + y 2 ) =C⇒ x 2 + y 2 ≠ 0 2 2 2 x + y = C x C = 1 1 ‫וא‬ x = 0 C1 = ln C y ≠ 0 2 2 C ≠ 1, x + y ≠ 0 y c = e2 1 2 x c=e ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online