Targilim%20Hedva2_7 - ‫תרגול‬ ‫אינטגרל...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תרגול‬ ‫אינטגרל כפול‬ ‫7‬ ‫1 . חשב את האינטגרלים :‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪∫ dθ ∫ r sin θ dr‬‬ ‫)ג‬ ‫1‬ ‫‪) ∫ dx ∫ xy 2 dy‬ב‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∫ dx ∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫2 . חשב את האינטגרל‬ ‫‪∫∫ f ( x, y) dx dy‬‬ ‫3 . באינטגרל הכפול‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪A‬‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬ ‫‪) ∫ dx ∫ ( x + y )dy‬א‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫′‬ ‫) ‪f ( x, y ) = Fx′y ( x, y‬‬ ‫כאשר‬ ‫הצב את הגבולות בשני סדרי האינטגרציה :‬ ‫‪D‬‬ ‫א . כאשר‬ ‫ב . כאשר‬ ‫ג . כאשר‬ ‫‪ D‬משולש בעל הקודקודים )0,0(‪B (1,1) , A(1,0) , O‬‬ ‫‪ D‬משולש בעל הקודקודים )0 , 0(‪B (−2 , 1) , A(2,1) , O‬‬ ‫‪ D‬טרפז בעל הקודקודים )0 , 0(‪C (0 , 1) , B (1 , 2) , A(1 , 0) , O‬‬ ‫ד . כאשר‬ ‫‪ D‬עיגול 1 ≤ 2 ‪x 2 + y‬‬ ‫ה . כאשר‬ ‫‪ D‬עיגול ‪x + y ≤ y‬‬ ‫‪{( x, y) | y ≤ 1, y ≥ x }= D‬‬ ‫ז . כאשר‬ ‫ח . כאשר‬ ‫‪ D‬טבעת 4 ≤ ‪1 ≤ x + y‬‬ ‫‪ D‬הוא התחום החסום על ידי הקווים 5.0− = ‪x y = −1 , y = − x , x = −2 , x‬‬ ‫ט . כאשר‬ ‫‪, 0 ≤ x ≤ 2 , y ≥ −2 = D‬‬ ‫י . כאשר‬ ‫‪ D‬הוא תחום משותף של העיגול 1 ≤ )3 − ‪ ( x − 2) + ( y‬והמשולש בעל הקודקודים‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ו . כאשר‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫}‬ ‫2‬ ‫‪{( x, y) | x + y ≤ 2, y ≤ x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫)0 ,0(‪B (4, 0) , A(0, 4) , O‬‬ ‫‪ D‬הוא תחום משותף של העיגול 2 ≤ )1 − ‪ ( x − 1) + ( y‬והמשולש בעל הקודקודים‬ ‫2‬ ‫כ . כאשר‬ ‫2‬ ‫)0 ,0(‪B(2 + 2 , 0) , A(0, 2 + 2 ) , O‬‬ ‫‪ D‬הוא תחום משותף של העיגול 01 ≤ 2 ‪ x 2 + y‬והמשולש בעל הקודקודים‬ ‫ל . כאשר‬ ‫)4 ,3−(‪C (5, 0), B (−3, − 4) , A‬‬ ‫4 . החלף סדר האינטגרציה באינטגרלים הכפולים :‬ ‫2 ‪1− x‬‬ ‫1‬ ‫2 ‪− 1− x‬‬ ‫1−‬ ‫‪∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫‪) ∫ dx‬ד‬ ‫‪ln x‬‬ ‫3‬ ‫1− )4 / ‪( x‬‬ ‫0‬ ‫‪) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy‬ג‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x, y )dy‬‬ ‫‪2 ax‬‬ ‫‪) ∫ dx‬ז‬ ‫∫ ‪∫ dx‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫6−‬ ‫1‬ ‫‪e‬‬ ‫0‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪2− x‬‬ ‫2‬ ‫) 0 > ‪f ( x, y )dy (a‬‬ ‫2‬ ‫‪2x‬‬ ‫)ב‬ ‫‪2 ax − x‬‬ ‫‪) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy‬א‬ ‫‪x‬‬ ‫)ו‬ ‫2‬ ‫‪2− x‬‬ ‫1‬ ‫‪∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫0‬ ‫5 . חשב את האינטגרלים הבאים :‬ ‫א.‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫2‬ ‫‪∫∫ xy‬‬ ‫כאשר ‪ D‬חסום ע''י הפרבולה ‪ y = 4 x‬והישר 1 = ‪x‬‬ ‫2‬ ‫‪D‬‬ ‫ב.‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪4− x‬‬ ‫∫∫‬ ‫כאשר ‪ D‬חסום ע''י צירי הקואורדינטות והקשת הקצרה של המעגל בעל‬ ‫‪D‬‬ ‫הרדיוס 2 שמרכזו בנקודה )2,2( .‬ ‫ג.‬ ‫ד.‬ ‫‪∫∫ | x y | dx dy‬‬ ‫‪+ y 2 ) dx dy‬‬ ‫‪D‬‬ ‫2‬ ‫כאשר ‪ D‬עיגול בעל הרדיוס ‪a‬‬ ‫‪∫∫ ( x‬‬ ‫)0 > ‪ (a‬שמרכזו בראשית .‬ ‫כאשר ‪ D‬מקבילית בעלת הצלעות‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. (a > 0), y = 3a, y = a, y = x + a , y = x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‪2 x− x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫∫ ‪∫ dx‬‬ ‫2‬ ‫‪) ∫ dx‬ה‬ ‫‪∫∫ f ( x, y) dx dy‬‬ 6 . באינטגרל הכפול‬ ‫עבור לקואורדינאטות קוטביות והצב את הגבולות האינטגרציה :‬ ‫‪D‬‬ ‫, )0 > ‪(a‬‬ ‫א . כאשר ‪ D‬עיגול 2 ‪x 2 + y 2 ≤ a‬‬ ‫ב . כאשר‬ ‫‪ D‬עיגול ‪(a > 0) , x 2 + y 2 ≤ ax‬‬ ‫ג . כאשר‬ ‫‪ D‬טבעת ‪(0 < a < b) , a ≤ x + y ≤ b‬‬ ‫‪{ ( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 − x} = D‬‬ ‫2‬ ‫ד . כאשר‬ ‫}‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫{‬ ‫ה . כאשר‬ ‫‪(a > 0) , ( x, y ) ( x 2 / a) ≤ y ≤ a , − a ≤ x ≤ a = D‬‬ ‫ו . כאשר‬ ‫‪3x =D‬‬ ‫≤ ‪{ ( x, y ) | 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y‬‬ ‫}‬ ‫7 . חשב ע''י מעבר לקואורדינטות קוטביות:‬ ‫∫∫‬ ‫‪sin x 2 + y 2 dx dy‬‬ ‫‪x 2 + y 2 dx dy‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫2 ‪π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π‬‬ ‫∫∫‬ ‫)‪a‬‬ ‫2 ‪x 2 + y 2 ≤a‬‬ ‫8 . חשב את האינטגרלים הבאים :‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫−‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪a‬‬ ‫∫∫‬ ‫−1‬ ‫2‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪( | x | + | y | ) dx dy‬‬ ‫∫∫‬ ‫)‪a‬‬ ‫1≤|‪| x|+| y‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫1≤ +‬ ‫2‪a2 b‬‬ ‫‪ c) ∫∫ xy dx dy‬כאשר ‪ D‬חסום ע''י 1 = ‪x + y = 2.5 , xy‬‬ ‫‪D‬‬ ‫9 . צייר את הגופים שנפחיהם שווים לאינטגרלים הבאים בהתאמה :‬ ‫2‪x2 y‬‬ ‫−‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫4‬ ‫9‬ ‫−1‬ ‫∫∫‬ ‫)3.9‬ ‫‪( x + y ) dx dy‬‬ ‫∫∫‬ ‫‪1− x‬‬ ‫)2.9‬ ‫1≤ ‪0≤ x + y‬‬ ‫0 ≥ ‪x ≥ 0, y‬‬ ‫2‪x2 y‬‬ ‫1≤ +‬ ‫94‬ ‫‪x 2 + y 2 dx dy‬‬ ‫∫∫‬ ‫1‬ ‫‪9.1) ∫ dx ∫ ( x 2 + y 2 ) dy‬‬ ‫0‬ ‫)5.9‬ ‫‪+ y 2 ) dx dy‬‬ ‫2‬ ‫‪x2 + y2 ≤ x‬‬ ‫0‬ ‫‪∫∫ ( x‬‬ ‫)4.9‬ ‫1≤|‪| x|+| y‬‬ ‫01. חשב את שטחי התחומים החסומים ע''י העקומים הבאים :‬ ‫5‬ ‫)0 > ‪a , (a‬‬ ‫2‬ ‫= ‪ ) xy = a 2 , x + y‬ב‬ ‫4 = ‪) x + y = 2 , x 2 − 4 y‬א‬ ‫3 ‪) x 2 + y 2 = 2 x , y = 0 , y = x‬ג‬ ‫)0 ≥ ‪) x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 , y = x , y = x 3 , ( x‬ה‬ ‫‪) x + y = 3 , y 2 = 4 x‬ד‬ ‫61 + ‪) y 2 = 2 x + 1 , y 2 = −8 x‬ז‬ ‫61 = 2 ‪) x 2 + 4 y‬ו‬ ‫11 . חשב את נפחי הגופים החסומים ע''י המשטחים הבאים :‬ ‫0 = ‪11.1) z = 1 + x + y , z = 0 , x + y = 1 , x = 0 , y‬‬ ‫)0 ≥ ‪11.2) x + y + z = 3 , z = 0 , x 2 + y 2 = 1 , x = 0 , y = 0 , ( x ≥ 0 , y‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫2 ‪11.3) z = 0 , z = x 2 + y 2 , y = 1 , y = x‬‬ ‫21 . חשב את המסה של ממברנה ‪ ( x, y ) | y ≤ 1 , y ≥ x 2 = D‬אם צפיפות הממברנה ‪f ( x, y ) = y‬‬ ‫תשובות‬ ‫)‪2. F ( A, B) − F ( A, b) − F (a, B) + F (a, b‬‬ ‫2‬ ‫3 / 3 ‪) π a‬ג‬ ‫04 / 1 ) ב‬ ‫1 )א .1‬ 3. x 1 1 0 0 0 y 1 x +1 1 1 2 0 0 0 1 0 1 1 2y −2 −x / 2 0 −2 y 1 0 1 x/2 1 y −1 2 ‫ ∫ )א‬dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ‫ ∫ )ג‬dx ‫ ∫ )ב‬dx 0 ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 1 1− x 2 1 1− y 2 −1 − 1− x 2 −1 − 1− y 2 1/ 2 0.5+ 0.25− x 2 ‫ ∫ )ד‬dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx ∫ dx ‫)ה‬ ∫ y− y2 1 f ( x, y ) dy = ∫ dy −1 / 2 0.5 − 0.25− x 2 0 ∫ − 1 1 2 −1 y− y2 0 y 1 ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ‫)ו‬ f ( x, y )dx x − −1 4− x 2 1 4− x 2 1 − 1− x 2 2 − 4− x 2 −1 1− x 2 −1 − 4− x 2 1 − 4− x 2 −1 −x −2 −1 / x y 4− x 2 −2 ∫ f ( x, y)dx ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy ‫)ז‬ ‫ ∫ )ח‬dx −0.5 −1 / x ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = −1 −x 2 −y 2 −0.5 1 −1 / y 1 −0.5 1 −2 1 −1 / y 0.5 −2 0.5 −y = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 2 1 x 0 −2 2− x 1 2− y 1 2 −2 0 y ‫ ∫ )ט‬dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx 2 −2 0 ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 3 4− y 3− 4 x − x − 3 2 2 − 6 y − y 2 −8 1+ 1+ 2 x − x 2 2 2+ 2 − x 2 4− x 1 1 ‫ ∫ )י‬dx 0 ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy 2 ∫ 1+ 2 2+ 2 − x 2 1− 1+ 2 x − x 2 ‫ ∫ )כ‬dx ∫ 0 0 1 −1 10 − x 2 3 (5− x ) / 2 10 −3 − 10 − x 2 −1 ( x − 5) / 2 3 ‫ ∫ ) ל‬dx f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dx ∫ dx f ( x, y )dy + 0 ∫ f ( x, y)dy 10 − x 2 ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy − 10 − x 2 4. 2 y 4 ‫ ∫ )א‬dy ∫ 0 y/2 3 1 ‫ ∫)ג‬dy 0 f ( x, y )dx + ∫ dy y ∫ f ( x, y )dx 0 ∫ 0 1− y 2 −1 − 1− y ‫ ∫ ) ד‬dy y 8 2− y − 2 y +1 0 − 2 y +1 ‫ ∫ ) ב‬dy f ( x, y )dx y/2 2 2 y +1 −1 2 1 1− y 0 − 1− y ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 2 2a ‫)ו‬ ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy 2a a a− a2 − y2 a a y 2 /( 2 a ) 0 y 2 /( 2 a ) 0 a+ a − y 1 ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 2 3 2 1+ 1− y 2 0 2− y ‫ ∫ )ה‬dy 2a ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ∫ f ( x, y)dx 1 ‫)ז‬ e 0 ey ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 5. ‫− 8 )ב‬ ‫12 / 23 )א‬ 16 2 3 ‫)ג‬ a4 2 ‫41 ) ד‬a 4 6. 2π π /2 a ∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr ‫)א‬ 0 ∫ dθ ‫)ב‬ 0 π /2 ‫ ∫ )ג‬dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr 1 /(cos θ + sin θ ) 0 b 0 ∫ dθ ‫)ד‬ a 0 ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr −π / 2 0 2π a cos θ 3π 4 a sin θ π a sin θ 4 cos 2 θ π 0 0 ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr 0 ‫ ∫ )ה‬dθ a sin θ π ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr + ∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr + 3∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr π 0 4 4 π /3 2 / cos θ π /4 ‫)ו‬ cos 2 θ 1 / cos θ ∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr 7 . a ) 2π a 3 /3 b) − 6π 2 15 ‫ ) ב‬a 2 − 2 ln 2 8 3π 2 − 11.2. 43 10. ‫3 / 46 )א‬ 11.1. 5 / 6 b) 2π a b / 3 c) 1 8. a ) 4 / 3 ‫)ג‬ π 3 3 4 + ‫3 / 46 ) ד‬ ‫ )ה‬π / 8 37 − ln 2 128 ‫8 )ו‬π ‫3/02 )ז‬ 12. m = 0.8 11.3. 88 / 105 ‫פתרונות‬ 1 1 1 0 0 0 1. ‫ ∫ )א‬dx ∫ ( x + y )dy = ∫ ( xy + y 2 / 2) 1 x 1 xy ‫ ∫ ) ב‬dx ∫ xy dy = ∫ 3 0 x2 0 2 2π 3 y=x y=x a a3 ‫ ∫ )ג‬dθ ∫ r sin θ dr = 3 0 0 2 2 y =1 y =0 1 dx = ∫ ( x + 1 / 2)dx = 0 1 1 dx = ∫ ( x 4 − x 7 ) dx = 30 2 2π ∫ sin 2 θ dθ = 0 A B A B A a b a b ( )dx = ∫ (F ′ ( x, B) − F ′ ( x, b))dx = a ′ ′ 2. ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dx ∫ (Fx )′ y dy = ∫ Fx y=B y =b A x a 4 x 5. ‫ ∫∫ )א‬xy dx dy = 2 2 D 4− x D 2 =∫ ∫ dy ∫ xy −2 dx y /4 2− 4 x − x 2 0 0 = ∫ dx 2 − 4x − x 2 4− x 0 2 2 2 dx dy ‫∫∫ )ב‬ 1 dy ∫ 4− x 2 ‫ | ∫∫ )ג‬x y | dx dy = 4∫ xdx ∫ ydy 0 0 y 3a ‫ ( ∫∫ ) ד‬x 2 + y 2 ) dx dy = ∫ dy a 2 ∫∫ + y 2 )dx y −a a 0 ∫ dθ ∫ r r dr 2π 2 2 2 2π 0 sin x + y dx dy = 2 π ≤ x + y ≤ 4π 2 2 0 x 2 + y 2 dx dy = x 2 + y 2 ≤a 2 ‫)ב‬ ∫ (x 2π ∫∫ 7. ‫)א‬ 0 a2 − x2 a D − ∫ x dx 4− x 0 D 2 2 dx dx = ∫ = π ∫ dθ ∫ r sin r dr 1 1− x 0 D 0 ∫∫ ( | x | + | y | ) dx dy = 4 ∫∫ ( x + y ) dx dy = 4∫ dx ∫ ( x + y )dy 8. a ) | x|+| y|≤1 b) x2 a 2 x + y ≤1 x≥0 , y ≥0 ∫∫ 1− y2 + b 2 ≤1 x2 a2 − 2π dx dy = b2 1 0 y2 0 2 ∫ dθ ∫ 1 − r a b r dr x = a r cos θ , y = b r sin θ 2 2− x −6 10. ‫ )א‬S = 2 ∫ dx ∫ dy 2 cos θ 0 ∫ r dr 1 3− y −6 y2 4 ‫ )ד‬S = ∫ dy ∫ dy ∫ dx 1− x 0 a2 x 2 0 ∫ dθ 2.5 a − x a 2 x −1 4 π /3 ‫ )ג‬S = 2a ‫ )ב‬S = ∫ dx 0 11.1. V = ∫ dx ∫ (1 + x + y )dy 11.2. V = ∫∫ (3 − x − y )dxdy = π /2 ∫ 0 D 1 1 −1 x2 11.3. V = ∫ dx ∫ ( x 2 + y 2 )dy 1 dθ ∫ (3 − r cos θ − r sin θ ) r dr 0 1 1 −1 x2 12. m = ∫∫ y dx dy = ∫ dx ∫ y dy D Extremums of functions of two variables (constrained maxima and minima, Lagrange multipliers)12.9. Double integrals in Cartesian coordinates. Properties. Evaluation. Double integral as a volume. Fibini’s theorems. Area of bounded plane region. Average value. Calculations of mass and centers of mass for flat bodies. 13.1, 13.2 Exersises 8: Thomas: 12.9 (1-8, 13 -18, 19 - 21), 13.1 (1-10, 11-16, 21-26) 5 ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern