Targilim%20Hedva2_7 - ‫תרגול‬ ‫אינטגרל...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תרגול‬ ‫אינטגרל כפול‬ ‫7‬ ‫1 . חשב את האינטגרלים :‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪∫ dθ ∫ r sin θ dr‬‬ ‫)ג‬ ‫1‬ ‫‪) ∫ dx ∫ xy 2 dy‬ב‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∫ dx ∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫2 . חשב את האינטגרל‬ ‫‪∫∫ f ( x, y) dx dy‬‬ ‫3 . באינטגרל הכפול‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪A‬‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬ ‫‪) ∫ dx ∫ ( x + y )dy‬א‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫′‬ ‫) ‪f ( x, y ) = Fx′y ( x, y‬‬ ‫כאשר‬ ‫הצב את הגבולות בשני סדרי האינטגרציה :‬ ‫‪D‬‬ ‫א . כאשר‬ ‫ב . כאשר‬ ‫ג . כאשר‬ ‫‪ D‬משולש בעל הקודקודים )0,0(‪B (1,1) , A(1,0) , O‬‬ ‫‪ D‬משולש בעל הקודקודים )0 , 0(‪B (−2 , 1) , A(2,1) , O‬‬ ‫‪ D‬טרפז בעל הקודקודים )0 , 0(‪C (0 , 1) , B (1 , 2) , A(1 , 0) , O‬‬ ‫ד . כאשר‬ ‫‪ D‬עיגול 1 ≤ 2 ‪x 2 + y‬‬ ‫ה . כאשר‬ ‫‪ D‬עיגול ‪x + y ≤ y‬‬ ‫‪{( x, y) | y ≤ 1, y ≥ x }= D‬‬ ‫ז . כאשר‬ ‫ח . כאשר‬ ‫‪ D‬טבעת 4 ≤ ‪1 ≤ x + y‬‬ ‫‪ D‬הוא התחום החסום על ידי הקווים 5.0− = ‪x y = −1 , y = − x , x = −2 , x‬‬ ‫ט . כאשר‬ ‫‪, 0 ≤ x ≤ 2 , y ≥ −2 = D‬‬ ‫י . כאשר‬ ‫‪ D‬הוא תחום משותף של העיגול 1 ≤ )3 − ‪ ( x − 2) + ( y‬והמשולש בעל הקודקודים‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ו . כאשר‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫}‬ ‫2‬ ‫‪{( x, y) | x + y ≤ 2, y ≤ x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫)0 ,0(‪B (4, 0) , A(0, 4) , O‬‬ ‫‪ D‬הוא תחום משותף של העיגול 2 ≤ )1 − ‪ ( x − 1) + ( y‬והמשולש בעל הקודקודים‬ ‫2‬ ‫כ . כאשר‬ ‫2‬ ‫)0 ,0(‪B(2 + 2 , 0) , A(0, 2 + 2 ) , O‬‬ ‫‪ D‬הוא תחום משותף של העיגול 01 ≤ 2 ‪ x 2 + y‬והמשולש בעל הקודקודים‬ ‫ל . כאשר‬ ‫)4 ,3−(‪C (5, 0), B (−3, − 4) , A‬‬ ‫4 . החלף סדר האינטגרציה באינטגרלים הכפולים :‬ ‫2 ‪1− x‬‬ ‫1‬ ‫2 ‪− 1− x‬‬ ‫1−‬ ‫‪∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫‪) ∫ dx‬ד‬ ‫‪ln x‬‬ ‫3‬ ‫1− )4 / ‪( x‬‬ ‫0‬ ‫‪) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy‬ג‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x, y )dy‬‬ ‫‪2 ax‬‬ ‫‪) ∫ dx‬ז‬ ‫∫ ‪∫ dx‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫6−‬ ‫1‬ ‫‪e‬‬ ‫0‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪2− x‬‬ ‫2‬ ‫) 0 > ‪f ( x, y )dy (a‬‬ ‫2‬ ‫‪2x‬‬ ‫)ב‬ ‫‪2 ax − x‬‬ ‫‪) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy‬א‬ ‫‪x‬‬ ‫)ו‬ ‫2‬ ‫‪2− x‬‬ ‫1‬ ‫‪∫ f ( x, y)dy‬‬ ‫0‬ ‫5 . חשב את האינטגרלים הבאים :‬ ‫א.‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫2‬ ‫‪∫∫ xy‬‬ ‫כאשר ‪ D‬חסום ע''י הפרבולה ‪ y = 4 x‬והישר 1 = ‪x‬‬ ‫2‬ ‫‪D‬‬ ‫ב.‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫‪4− x‬‬ ‫∫∫‬ ‫כאשר ‪ D‬חסום ע''י צירי הקואורדינטות והקשת הקצרה של המעגל בעל‬ ‫‪D‬‬ ‫הרדיוס 2 שמרכזו בנקודה )2,2( .‬ ‫ג.‬ ‫ד.‬ ‫‪∫∫ | x y | dx dy‬‬ ‫‪+ y 2 ) dx dy‬‬ ‫‪D‬‬ ‫2‬ ‫כאשר ‪ D‬עיגול בעל הרדיוס ‪a‬‬ ‫‪∫∫ ( x‬‬ ‫)0 > ‪ (a‬שמרכזו בראשית .‬ ‫כאשר ‪ D‬מקבילית בעלת הצלעות‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. (a > 0), y = 3a, y = a, y = x + a , y = x‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‪2 x− x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫∫ ‪∫ dx‬‬ ‫2‬ ‫‪) ∫ dx‬ה‬ ‫‪∫∫ f ( x, y) dx dy‬‬ 6 . באינטגרל הכפול‬ ‫עבור לקואורדינאטות קוטביות והצב את הגבולות האינטגרציה :‬ ‫‪D‬‬ ‫, )0 > ‪(a‬‬ ‫א . כאשר ‪ D‬עיגול 2 ‪x 2 + y 2 ≤ a‬‬ ‫ב . כאשר‬ ‫‪ D‬עיגול ‪(a > 0) , x 2 + y 2 ≤ ax‬‬ ‫ג . כאשר‬ ‫‪ D‬טבעת ‪(0 < a < b) , a ≤ x + y ≤ b‬‬ ‫‪{ ( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 − x} = D‬‬ ‫2‬ ‫ד . כאשר‬ ‫}‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫{‬ ‫ה . כאשר‬ ‫‪(a > 0) , ( x, y ) ( x 2 / a) ≤ y ≤ a , − a ≤ x ≤ a = D‬‬ ‫ו . כאשר‬ ‫‪3x =D‬‬ ‫≤ ‪{ ( x, y ) | 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y‬‬ ‫}‬ ‫7 . חשב ע''י מעבר לקואורדינטות קוטביות:‬ ‫∫∫‬ ‫‪sin x 2 + y 2 dx dy‬‬ ‫‪x 2 + y 2 dx dy‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫2 ‪π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π‬‬ ‫∫∫‬ ‫)‪a‬‬ ‫2 ‪x 2 + y 2 ≤a‬‬ ‫8 . חשב את האינטגרלים הבאים :‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫−‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪a‬‬ ‫∫∫‬ ‫−1‬ ‫2‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪( | x | + | y | ) dx dy‬‬ ‫∫∫‬ ‫)‪a‬‬ ‫1≤|‪| x|+| y‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫1≤ +‬ ‫2‪a2 b‬‬ ‫‪ c) ∫∫ xy dx dy‬כאשר ‪ D‬חסום ע''י 1 = ‪x + y = 2.5 , xy‬‬ ‫‪D‬‬ ‫9 . צייר את הגופים שנפחיהם שווים לאינטגרלים הבאים בהתאמה :‬ ‫2‪x2 y‬‬ ‫−‬ ‫‪dx dy‬‬ ‫4‬ ‫9‬ ‫−1‬ ‫∫∫‬ ‫)3.9‬ ‫‪( x + y ) dx dy‬‬ ‫∫∫‬ ‫‪1− x‬‬ ‫)2.9‬ ‫1≤ ‪0≤ x + y‬‬ ‫0 ≥ ‪x ≥ 0, y‬‬ ‫2‪x2 y‬‬ ‫1≤ +‬ ‫94‬ ‫‪x 2 + y 2 dx dy‬‬ ‫∫∫‬ ‫1‬ ‫‪9.1) ∫ dx ∫ ( x 2 + y 2 ) dy‬‬ ‫0‬ ‫)5.9‬ ‫‪+ y 2 ) dx dy‬‬ ‫2‬ ‫‪x2 + y2 ≤ x‬‬ ‫0‬ ‫‪∫∫ ( x‬‬ ‫)4.9‬ ‫1≤|‪| x|+| y‬‬ ‫01. חשב את שטחי התחומים החסומים ע''י העקומים הבאים :‬ ‫5‬ ‫)0 > ‪a , (a‬‬ ‫2‬ ‫= ‪ ) xy = a 2 , x + y‬ב‬ ‫4 = ‪) x + y = 2 , x 2 − 4 y‬א‬ ‫3 ‪) x 2 + y 2 = 2 x , y = 0 , y = x‬ג‬ ‫)0 ≥ ‪) x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 , y = x , y = x 3 , ( x‬ה‬ ‫‪) x + y = 3 , y 2 = 4 x‬ד‬ ‫61 + ‪) y 2 = 2 x + 1 , y 2 = −8 x‬ז‬ ‫61 = 2 ‪) x 2 + 4 y‬ו‬ ‫11 . חשב את נפחי הגופים החסומים ע''י המשטחים הבאים :‬ ‫0 = ‪11.1) z = 1 + x + y , z = 0 , x + y = 1 , x = 0 , y‬‬ ‫)0 ≥ ‪11.2) x + y + z = 3 , z = 0 , x 2 + y 2 = 1 , x = 0 , y = 0 , ( x ≥ 0 , y‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫2 ‪11.3) z = 0 , z = x 2 + y 2 , y = 1 , y = x‬‬ ‫21 . חשב את המסה של ממברנה ‪ ( x, y ) | y ≤ 1 , y ≥ x 2 = D‬אם צפיפות הממברנה ‪f ( x, y ) = y‬‬ ‫תשובות‬ ‫)‪2. F ( A, B) − F ( A, b) − F (a, B) + F (a, b‬‬ ‫2‬ ‫3 / 3 ‪) π a‬ג‬ ‫04 / 1 ) ב‬ ‫1 )א .1‬ 3. x 1 1 0 0 0 y 1 x +1 1 1 2 0 0 0 1 0 1 1 2y −2 −x / 2 0 −2 y 1 0 1 x/2 1 y −1 2 ‫ ∫ )א‬dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ‫ ∫ )ג‬dx ‫ ∫ )ב‬dx 0 ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 1 1− x 2 1 1− y 2 −1 − 1− x 2 −1 − 1− y 2 1/ 2 0.5+ 0.25− x 2 ‫ ∫ )ד‬dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx ∫ dx ‫)ה‬ ∫ y− y2 1 f ( x, y ) dy = ∫ dy −1 / 2 0.5 − 0.25− x 2 0 ∫ − 1 1 2 −1 y− y2 0 y 1 ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ‫)ו‬ f ( x, y )dx x − −1 4− x 2 1 4− x 2 1 − 1− x 2 2 − 4− x 2 −1 1− x 2 −1 − 4− x 2 1 − 4− x 2 −1 −x −2 −1 / x y 4− x 2 −2 ∫ f ( x, y)dx ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy ‫)ז‬ ‫ ∫ )ח‬dx −0.5 −1 / x ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy = −1 −x 2 −y 2 −0.5 1 −1 / y 1 −0.5 1 −2 1 −1 / y 0.5 −2 0.5 −y = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 2 1 x 0 −2 2− x 1 2− y 1 2 −2 0 y ‫ ∫ )ט‬dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx 2 −2 0 ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 3 4− y 3− 4 x − x − 3 2 2 − 6 y − y 2 −8 1+ 1+ 2 x − x 2 2 2+ 2 − x 2 4− x 1 1 ‫ ∫ )י‬dx 0 ∫ f ( x, y)dy = ∫ dy 2 ∫ 1+ 2 2+ 2 − x 2 1− 1+ 2 x − x 2 ‫ ∫ )כ‬dx ∫ 0 0 1 −1 10 − x 2 3 (5− x ) / 2 10 −3 − 10 − x 2 −1 ( x − 5) / 2 3 ‫ ∫ ) ל‬dx f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dx ∫ dx f ( x, y )dy + 0 ∫ f ( x, y)dy 10 − x 2 ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy − 10 − x 2 4. 2 y 4 ‫ ∫ )א‬dy ∫ 0 y/2 3 1 ‫ ∫)ג‬dy 0 f ( x, y )dx + ∫ dy y ∫ f ( x, y )dx 0 ∫ 0 1− y 2 −1 − 1− y ‫ ∫ ) ד‬dy y 8 2− y − 2 y +1 0 − 2 y +1 ‫ ∫ ) ב‬dy f ( x, y )dx y/2 2 2 y +1 −1 2 1 1− y 0 − 1− y ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 2 2a ‫)ו‬ ∫ f ( x, y )dx + ∫ dy 2a a a− a2 − y2 a a y 2 /( 2 a ) 0 y 2 /( 2 a ) 0 a+ a − y 1 ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 2 3 2 1+ 1− y 2 0 2− y ‫ ∫ )ה‬dy 2a ∫ dy ∫ f ( x, y)dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ∫ f ( x, y)dx 1 ‫)ז‬ e 0 ey ∫ dy ∫ f ( x, y)dx 5. ‫− 8 )ב‬ ‫12 / 23 )א‬ 16 2 3 ‫)ג‬ a4 2 ‫41 ) ד‬a 4 6. 2π π /2 a ∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr ‫)א‬ 0 ∫ dθ ‫)ב‬ 0 π /2 ‫ ∫ )ג‬dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr 1 /(cos θ + sin θ ) 0 b 0 ∫ dθ ‫)ד‬ a 0 ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr −π / 2 0 2π a cos θ 3π 4 a sin θ π a sin θ 4 cos 2 θ π 0 0 ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr 0 ‫ ∫ )ה‬dθ a sin θ π ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr + ∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr + 3∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr π 0 4 4 π /3 2 / cos θ π /4 ‫)ו‬ cos 2 θ 1 / cos θ ∫ dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) r dr 7 . a ) 2π a 3 /3 b) − 6π 2 15 ‫ ) ב‬a 2 − 2 ln 2 8 3π 2 − 11.2. 43 10. ‫3 / 46 )א‬ 11.1. 5 / 6 b) 2π a b / 3 c) 1 8. a ) 4 / 3 ‫)ג‬ π 3 3 4 + ‫3 / 46 ) ד‬ ‫ )ה‬π / 8 37 − ln 2 128 ‫8 )ו‬π ‫3/02 )ז‬ 12. m = 0.8 11.3. 88 / 105 ‫פתרונות‬ 1 1 1 0 0 0 1. ‫ ∫ )א‬dx ∫ ( x + y )dy = ∫ ( xy + y 2 / 2) 1 x 1 xy ‫ ∫ ) ב‬dx ∫ xy dy = ∫ 3 0 x2 0 2 2π 3 y=x y=x a a3 ‫ ∫ )ג‬dθ ∫ r sin θ dr = 3 0 0 2 2 y =1 y =0 1 dx = ∫ ( x + 1 / 2)dx = 0 1 1 dx = ∫ ( x 4 − x 7 ) dx = 30 2 2π ∫ sin 2 θ dθ = 0 A B A B A a b a b ( )dx = ∫ (F ′ ( x, B) − F ′ ( x, b))dx = a ′ ′ 2. ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dx ∫ (Fx )′ y dy = ∫ Fx y=B y =b A x a 4 x 5. ‫ ∫∫ )א‬xy dx dy = 2 2 D 4− x D 2 =∫ ∫ dy ∫ xy −2 dx y /4 2− 4 x − x 2 0 0 = ∫ dx 2 − 4x − x 2 4− x 0 2 2 2 dx dy ‫∫∫ )ב‬ 1 dy ∫ 4− x 2 ‫ | ∫∫ )ג‬x y | dx dy = 4∫ xdx ∫ ydy 0 0 y 3a ‫ ( ∫∫ ) ד‬x 2 + y 2 ) dx dy = ∫ dy a 2 ∫∫ + y 2 )dx y −a a 0 ∫ dθ ∫ r r dr 2π 2 2 2 2π 0 sin x + y dx dy = 2 π ≤ x + y ≤ 4π 2 2 0 x 2 + y 2 dx dy = x 2 + y 2 ≤a 2 ‫)ב‬ ∫ (x 2π ∫∫ 7. ‫)א‬ 0 a2 − x2 a D − ∫ x dx 4− x 0 D 2 2 dx dx = ∫ = π ∫ dθ ∫ r sin r dr 1 1− x 0 D 0 ∫∫ ( | x | + | y | ) dx dy = 4 ∫∫ ( x + y ) dx dy = 4∫ dx ∫ ( x + y )dy 8. a ) | x|+| y|≤1 b) x2 a 2 x + y ≤1 x≥0 , y ≥0 ∫∫ 1− y2 + b 2 ≤1 x2 a2 − 2π dx dy = b2 1 0 y2 0 2 ∫ dθ ∫ 1 − r a b r dr x = a r cos θ , y = b r sin θ 2 2− x −6 10. ‫ )א‬S = 2 ∫ dx ∫ dy 2 cos θ 0 ∫ r dr 1 3− y −6 y2 4 ‫ )ד‬S = ∫ dy ∫ dy ∫ dx 1− x 0 a2 x 2 0 ∫ dθ 2.5 a − x a 2 x −1 4 π /3 ‫ )ג‬S = 2a ‫ )ב‬S = ∫ dx 0 11.1. V = ∫ dx ∫ (1 + x + y )dy 11.2. V = ∫∫ (3 − x − y )dxdy = π /2 ∫ 0 D 1 1 −1 x2 11.3. V = ∫ dx ∫ ( x 2 + y 2 )dy 1 dθ ∫ (3 − r cos θ − r sin θ ) r dr 0 1 1 −1 x2 12. m = ∫∫ y dx dy = ∫ dx ∫ y dy D Extremums of functions of two variables (constrained maxima and minima, Lagrange multipliers)12.9. Double integrals in Cartesian coordinates. Properties. Evaluation. Double integral as a volume. Fibini’s theorems. Area of bounded plane region. Average value. Calculations of mass and centers of mass for flat bodies. 13.1, 13.2 Exersises 8: Thomas: 12.9 (1-8, 13 -18, 19 - 21), 13.1 (1-10, 11-16, 21-26) 5 ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 1911.101.1 taught by Professor Kagnovski during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online