Targilim%20Hedva2_8 - ‫דף 8‬ ‫אינטגרל...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫דף 8‬ ‫אינטגרל משולש‬ ‫‪ . I‬חשב את האנטגרלים המשולשים :‬ ‫1. ‪∫∫∫ (2 x − y + 3z )dx dy dz‬‬ ‫‪T‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטחים 3 = ‪x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z‬‬ ‫2. ‪dx dy dz‬‬ ‫‪2 x+ y‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪∫∫∫ z‬‬ ‫‪T‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטחים 1 = ‪x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z‬‬ ‫3. ‪ ∫∫∫ y cos( z + x)dx dy dz‬כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטחים 2 / ‪y = x , y = 0, z = 0, x + z = π‬‬ ‫‪T‬‬ ‫32‬ ‫4. ‪z dx dy dz‬‬ ‫‪∫∫∫ xy‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטחים 1 = ‪z = xy, z = 0, y = x, x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪dx dy dz‬‬ ‫5. 3 ) ‪∫∫∫ (1 + x + y + z‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטחים 0 = ‪x + y + z = 1, z = 0, x = 0, y‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ . II‬חשב את נפח הגופים חסומים ע''י המשטחים הנתונים :‬ ‫1. 2 ‪z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 , y = x, y = x‬‬ ‫2. 0 = ‪y = x 2 , y = 1, x + y + z = 3, z‬‬ ‫‪. III‬‬ ‫1 . חשב את המסה של גוף ‪ T‬החסום ע''י המשטחים 1 = ‪x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 3, z‬‬ ‫אם צפיפות ‪f ( x, y, z ) = x + y + z‬‬ ‫2 . חשב את המסה של גוף ‪ T‬החסום ע''י המשטחים 2 = ‪x 2 = 2 y, y + z = 1 , 2 y + z‬‬ ‫אם צפיפות ‪f ( x, y, z ) = y‬‬ ‫קואורדינטות גליליות וכדוריות‬ ‫מערכת קואורדינטות גליליות ) ‪: (r , θ , z‬‬ ‫‪z = z , y = r sin θ , x = r cos θ‬‬ ‫מערכת קואורדינטות כדוריות ) ‪z = ρ cos ϕ , y = ρ sin θ sin ϕ , x = ρ cos θ sin ϕ : ( ρ ,θ , ϕ‬‬ ‫‪ . IV‬רשום את קואורדינטות גליליות , כדוריות וקרטזיות של נקודות :‬ ‫) ‪(ρ , θ , ϕ‬‬ ‫) ‪(r , θ , z‬‬ ‫)‪( x , y , z‬‬ ‫)0 , 0 , 1(‬ ‫)0 , 1 , 0( 1‬ ‫2‬ ‫)1 , 2 / ‪(1 , π‬‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫)2 / ‪(2 2 , − π / 2 , π‬‬ ‫)1 − ,0 ,1−( 5‬ ‫‪ . V‬ב 3 ‪ R‬תאר את האוסף הנקודות המקיימות את המשוואות הבאות , כלומר קבע איזו צורה גיאומטרית‬ ‫מייצגת המשוואה. הסבר.‬ ‫2 ‪7. z = r‬‬ ‫‪5. ϕ = π‬‬ ‫‪6. z = r‬‬ ‫2 = ‪ρ‬‬ ‫‪12. ‬‬ ‫‪θ = π‬‬ ‫0 = ‪4. θ‬‬ ‫5 = ‪ρ‬‬ ‫‪11. ‬‬ ‫‪ϕ = 0.8π‬‬ ‫3 = ‪3. ρ‬‬ ‫3 / ‪ϕ = π‬‬ ‫‪10. ‬‬ ‫2 / ‪θ = π‬‬ ‫4 / ‪2. ϕ = π‬‬ ‫5 = ‪ρ‬‬ ‫‪9. ‬‬ ‫5 = ‪z‬‬ ‫2 = ‪1. r‬‬ ‫2 = ‪r‬‬ ‫‪8. ‬‬ ‫3 = ‪z‬‬ ‫‪ . VI‬ב 3 ‪ R‬תאר את האוסף הנקודות המקיימות את המשוואות הבאות ותציג את האוסף של הנקודות בשתי‬ ‫מערכות הקואורדינטות האחרות ) גליליות , כדוריות וקרטזיות (‬ ‫3 = ‪5. ρ cos θ sin ϕ‬‬ ‫‪9. x 2 + y 2 + z 2 = 4 y‬‬ ‫1− = 2 ‪13. x 2 + y 2 − 4 z‬‬ ‫4 = ‪4. r‬‬ ‫0 = ‪3. z‬‬ ‫4 / ‪8. ϕ = π‬‬ ‫‪2. ρ = 2 cos ϕ‬‬ ‫2 ‪7. z = r‬‬ ‫1 = 2 ‪12. x 2 + y 2 − 4 z‬‬ ‫1‬ ‫01 = ‪11. z‬‬ ‫‪1. r = 2 cos θ‬‬ ‫11 = ‪6. 2 x + 3 y + 5 z‬‬ ‫63 = 2 ‪10. 4r 2 + 9 z‬‬ ‫החלפת משתנים באינטגרל משולש‬ ‫‪ . VII‬חשב את האנטגרלים המשולשים :‬ ‫1 . ‪∫∫∫ x y z dx dy dz‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י‬ ‫‪T‬‬ ‫המשטחים 0 = ‪x + y + z = 1, z = 0, x = 0, y‬‬ ‫2‬ ‫2 . ‪x 2 + y 2 dx dy dz‬‬ ‫∫∫‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫)0 ≥ ‪( x ≥ 0, y ≥ 0, z‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטחים 1 = ‪z 2 = x 2 + y 2 , z‬‬ ‫‪T‬‬ ‫3 . ‪dx dy dz‬‬ ‫2‬ ‫‪∫∫∫ x‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטח 9 = ‪x + y + z‬‬ ‫2‬ ‫‪T‬‬ ‫4 . ‪x + y 2 dx dy dz‬‬ ‫2‬ ‫‪∫∫∫ z‬‬ ‫2‬ ‫}‬ ‫2‬ ‫‪+ y ≤ 2 x, y ≥ 0, z ≥ 0, z ≤ 3 = T‬‬ ‫כאשר‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪{x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ x2 y2 z2 ‬‬ ‫5 . ‪∫T∫∫ a 2 + b 2 + c 2 dx dy dz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪2− x 2 − y‬‬ ‫2‬ ‫2 ‪1− x‬‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫כאשר התחום ‪ T‬חסום ע''י המשטח 1 = 2 + 2 +‬ ‫2‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪∫z‬‬ ‫6 . ‪dz‬‬ ‫2‬ ‫‪∫ dx ∫ dy‬‬ ‫2‬ ‫‪ . VIII‬חשב את נפח הגופים חסומים ע''י המשטחים הנתונים :‬ ‫1.‬ ‫2‪z = x2 + y2 , z = x2 + y‬‬ ‫2.‬ ‫2‪z = 6 − x2 − y2 , z = x2 + y‬‬ ‫3.‬ ‫2 ‪3z = x 2 + y 2 , z = 4 − x 2 − y‬‬ ‫4.‬ ‫2 ‪2z = x 2 + y 2 , z = 3 − x 2 − y‬‬ ‫5.‬ ‫2‬ ‫‪2z = x + y + z‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪ . IX‬חשב את המסה של גוף ‪ T‬החסום ע''י המשטחים 3 = ‪ x 2 + y 2 = 4, z = 0, z‬אם‬ ‫צפיפות 2 ‪f ( x, y, z ) = x 2 + y‬‬ ‫תשובות‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫− 2 ‪5) ln‬‬ ‫2‬ ‫61‬ ‫28‬ ‫53‬ ‫= ‪2) m‬‬ ‫1‬ ‫463‬ ‫)4‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫−‬ ‫2‬ ‫‪π‬‬ ‫61‬ ‫)3‬ ‫1‬ ‫2 )1 − ‪2) (e‬‬ ‫3‬ ‫61‬ ‫5‬ ‫81 = ‪III . 1) m‬‬ ‫= ‪2) V‬‬ ‫72 )1 . ‪I‬‬ ‫3‬ ‫53‬ ‫= ‪II . 1) V‬‬ ‫. ‪IV‬‬ ‫) ‪(ρ , θ , ϕ‬‬ ‫)2 / ‪(1 , π / 2 , π‬‬ ‫)2 / ‪(1 , 0 , π‬‬ ‫)4 / ‪( 2 , π / 2 , π‬‬ ‫)2 / ‪(2 2 , − π / 2 , π‬‬ ‫)4 / ‪( 2 , π , 3π‬‬ ‫) ‪(r , θ , z‬‬ ‫)0 , 2 / ‪(1 , π‬‬ ‫)0 , 0 , 1(‬ ‫)1 , 2 / ‪(1 , π‬‬ ‫)0 , 2 / ‪(2 2 , − π‬‬ ‫)1 − , ‪(1 , π‬‬ ‫‪ (1 . V‬גליל 2( חצי חרוט 3( כדור 4( חצי מישור 5( קרן 6( חצי חרוט‬ ‫21( חצי מעגל‬ ‫11( מעגל‬ ‫9( נקודה 01( קרן‬ ‫2‬ ‫)‪( x , y , z‬‬ ‫)0 , 1 , 0(‬ ‫)0 , 0 , 1(‬ ‫)1 , 1 , 0(‬ ‫)0 , 2 2 − , 0(‬ ‫)1 − , 0 , 1−(‬ ‫7( פרבולויד‬ ‫8( מעגל‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ VI. 1 ( x , y , z) x 2 + y 2 = 2x (r , θ , z ) r = 2 cos θ (ρ , θ , ϕ) ρ = 2 cos θ / sin ϕ 2 3 4 5 x 2 + y 2 + z 2 = 2z z=0 x 2 + y 2 = 16 x=3 ρ = 2 cos ϕ ϕ =π /2 ρ sin ϕ = 4 ρ cos θ sin ϕ = 3 6 2 x + 3 y + 5 z = 11 7 z = x2 + y2 r = 2z − z 2 z=0 r=4 r cos θ = 3 11 − r (2 cos θ + 3 sin θ ) z= 5 r= z 8 9 z = x2 + y2 x2 + y2 + z2 = 4y z=r z 2 = 4r sin θ − r 2 ϕ =π /4 ρ = 4 sin θ sin ϕ 10 x2 + y2 z2 + =1 9 4 36 − 9 z 2 r= 2 ρ= 11 (2 cos θ + 3 sin θ ) sin ϕ + 5 cos ϕ ρ = cos ϕ / sin 2 ϕ ρ= 6 z = 10 1 + 5 cos 2 ϕ ρ = 10 / cos ϕ 12 x + y − 4 z = 1 r = 1 + 4z 2 ρ = 1 / 1 − 5 cos 2 ϕ 13 x 2 + y 2 − 4 z 2 = −1 r = 4z 2 − 1 ρ = 1 / 5 cos 2 ϕ − 1 11 z = 10 2 VII . 1) 2 2 1 48 2) VIII. 1) V = π 6 π 324π 6 5 32 2) V = π 3 3) 4)8 5) 3) V = 4abcπ 5 19 π 6 4) V = 6) π 3 π (2 2 − 1) 15 (6 3 − 5) IX . m = 24π ‫פתרונות‬ xy 1 x 1 I . 4) ∫∫∫ xy z dx dy dz = ∫∫ dx dy ∫ x y z dz = ∫ dx ∫ x 5 y 6 dy 40 0 0 T D 23 5) ∫∫∫ T 23 1− x − y dx dy dz (1 + x + y + z ) 3 = ∫∫ dx dy D ∫ 0 2 II . 1) V = ∫∫∫ dx dy dz = ∫∫ dx dy T 2 x +2 y 1 1 2 2 1 x2 + y2 0 ∫ 0 1 1 − 4 (1 + x + y ) 2 dy x 2 + y 2 ) dy x2 3− x − y −1 1− x 1 = − ∫ dx 3 20 (1 + x + y + z ) ∫ dz = ∫ dx ∫ ( x D 1 dz 0 2) V = ∫ dx ∫ dy x ∫ dz III . 1) m = ∫∫∫ ( x + y + z ) dx dy dz T VII . 1) ∫∫∫ x y z dx dy dz = T π /2 ∫ dϕ 1 2 ∫ dθ ∫ ( ρ sin ϕ cos θ ) ( ρ sin ϕ sin θ )( ρ cos ϕ ) ρ sin ϕ dρ 0 2) ∫∫∫ x 2 + y 2 dx dy dz = T π /2 0 0 2π 1 1 0 0 r ∫ dθ ∫ rdr ∫ rdz 3 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online