Targilim%20Hedva2_9 - ‫.‬ ‫תרגול 9‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫.‬ ‫תרגול 9‬ ‫אנטגרל קווי‬ ‫‪ . II‬חשב את האנטגרלים הקוויים מהסוג השני :‬ ‫1 . ‪∫ − ydx + xdy‬‬ ‫, )0,0( ‪ A(1,2) , O‬כאשר :‬ ‫‪OA‬‬ ‫א ( המסילה ‪ OA‬היא קטע קו ישר‬ ‫ב ( המסילה ‪ OA‬היא קטע פרבולה‬ ‫‪y = 2x‬‬ ‫ג ( המסילה ‪ OA‬היא קו שבור ‪B (1,0) , OBA‬‬ ‫2‬ ‫2 . ‪∫ − ydx + xdy‬‬ ‫, )0,2( ‪ A(−2,0) , B‬כאשר ‪: AB‬‬ ‫2‪y = 4 − x‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫3 . ‪+ y 2 )dx + ( x 2 − y 2 )dy‬‬ ‫‪∫ (x‬‬ ‫2‬ ‫,כאשר ‪( x A = 0, x B = 2, 0 ≤ x ≤ 2), y = 1− | 1 − x | : AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫4 . ‪+ 1) dx + (2 x + y ) dy + ( x + y − z ) dz‬‬ ‫2‬ ‫‪∫ (x‬‬ ‫לאורך הישר מנקודה )0,1−,1(‪A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫לנקודה )3,2−,3( ‪B‬‬ ‫∫‬ ‫5 . ‪ - C , x y dx + yz 2 dy − x 2 z dz‬ישר מנקודה‬ ‫2‬ ‫)0,0,0(‪ O‬לנקודה‬ ‫)5,4,2−( ‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫6 . ‪ – C , ∫ ( y 2 − z 2 )dx + 2 y z dy − x 2 dz‬העקומה ‪, (0 ≤ t ≤ 1) , z = t 3 , y = t 2 , x = t‬‬ ‫‪C‬‬ ‫– כיוון עלית הפרמטר.‬ ‫כיוון חיובי‬ ‫7. ‪ C , ∫ y dx + z dy + x dz‬העקומה ‪b > 0, a > 0, (0 ≤ t ≤ 2π ) , z = bt , y = a sin t , x = a cos t‬‬ ‫‪C‬‬ ‫כיוון חיובי‬ ‫– כיוון עלית הפרמטר.‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . V‬מצא את עבודה של הכוח המשתנה ‪ F‬הפועל לאורך העקומה ‪ C‬מנקודה ‪ D‬לנקודה ‪B‬‬ ‫‪ −y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫2 ‪D(2,0,0), B (2,0,6π ) ; C : x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 3t ; F = ‬‬ ‫2,‬ ‫1 . ‪, z2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪ x + y2 x + y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 . ) ‪ (0 ≤ t ≤ 2π ) ; C : x = a cos t , y = a sin t ; F = ( x + y, − x‬בכיוון החיובי‬ ‫‪‬‬ ‫3 . ‪D(0,0), B(1,1) ; C : y = x 3 ; F = 4 x 6 , xy‬‬ ‫‪‬‬ ‫; )0,1,2( ‪ - C ; D(0,2,−1), B‬קטע קו ישר ‪DB‬‬ ‫4 . 2 ‪F = y − z, x z, x‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ . VI‬חשב את האנטגרלים הבאים לאחר שתוכיח כי הביטוי בתוך האינטגרל הוא דיפרנציאל שלם :‬ ‫)3 , 2 (‬ ‫) 4− ,3 (‬ ‫) 2 ,1− (‬ ‫)1,0 (‬ ‫2. ‪∫ xdx + ydy‬‬ ‫1. ‪∫ xdy + ydx‬‬ ‫)3 , 2 (‬ ‫3. ‪∫ ( x + y)dx + ( x − y)dy‬‬ ‫5. ‪dy − z 3 dz‬‬ ‫7.‬ ‫‪∫ xdx + y‬‬ ‫6.‬ ‫‪∫ yzdx + zxdy + xydz‬‬ ‫)3,2 ,1(‬ ‫)‪( B‬‬ ‫‪x +y +z‬‬ ‫)1− ,1(‬ ‫)1,1,6 (‬ ‫)1,1,1(‬ ‫‪xdx + ydy + zdz‬‬ ‫4. )‪∫ ( x − y)(dx − dy‬‬ ‫)1,0 (‬ ‫) 4− ,3,2 (‬ ‫2‬ ‫)1,1(‬ ‫)‪( A‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫∫‬ ‫, נקודה ‪ A‬נמצאת על כדור 2 ‪, x 2 + y 2 + z 2 = a‬‬ ‫נקודה ‪ B‬נמצאת על כדור 2 ‪x 2 + y 2 + z 2 = b‬‬ ‫ומסלול האינטגרציה אינו עובר דרך ראשית הצירים.‬ ‫‪ . VII‬חשב בעזרת‬ ‫נוסחת גרין‬ ‫1‬ ‫)0 > ‪(a > b‬‬ ∫ (2 xy − x , y = x 2 ‫ - קטע הפרבולה‬OmA 2 )dx + ( x + y 2 )dy . 1 OmAnO x= y 2 ‫ - קטע הפרבולה‬AnO ∫ (x + y ) ‫ בכיוון החיובי‬ABD ‫ היא שפת המשולש‬C 2 dx − ( x 2 + y 2 )dy . 2 C D(2,5), B(3,2), A(1,1) ‫ בכיוון החיובי‬x 2 + y 2 = a 2 ‫ – המעגל‬C ∫ xy 2 dy − x 2 y dx . 3 C I= ∫ x a ‫בכיוון החיובי‬ 2 2 + y 2 b2 =1 ‫ – האליפסה‬C ∫ ( x + y)dx − ( x − y) dy . 4 C 1 y 2 x arctan dx + arctan dy ‫5 . תוך שימוש בנוסחת גרין מצא הערך של האינטגרל‬ x x y y C 2 2 x + y = 1, x 2 + y 2 = 4 , ( y > 0) ‫( היא עקומה סגורה המורכבת מקשתות של שני מעגלים‬C) ‫כאשר‬ .‫ ביניהם‬y = 3 x , y = x , ( y > 0) ‫וקטעים של הישרים‬ ‫ , כאשר‬z ‫ . חשב את הפוטנציאל‬VIII 1. dz = ( x + 2 xy − y )dx + ( x − 2 xy − y )dy 2 2 2 2 2. dz = (2 x − 3 y 2 + 1)dx + (2 − 6 xy )dy 3. dz = (e x y + 5)( xdy + ydx) 5. du = dx + dy + dz x+ y+z 4. dz = (1 − sin 2 x)dy − (3 + 2 y cos 2 x)dx 6. d u = dx 3dy 3 y − x + z 3 dz − + z z z2 : ‫ . חשב את השטח של התחום החסום ע''י העקומים הבאים‬IX x = y , x = 1 .2 x2 y2 + = 1 ‫1 . האליפסה‬ a2 b2 x ‫ וציר‬a > 0, (0 ≤ t ≤ 2π ) , x = a (t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) ‫3 . הציקלוידה‬ ‫ הוא שדה משמר ומצא את פוטנציאל שלו‬F -‫ . הוכח ש‬X ‫ , בכל המישור‬F = e x − y (1 + x + y ) i + e x − y (1 − x − y ) j .1 y x i+ j .2 ‫ , בכל המישור‬F = 1+ x2 + y2 1+ x2 + y2 − y2 x2 2 2 i+ j .3 ‫ , בתחום‬F = D : ( x + 5) + y ≤ 9 ( x − y) 2 ( x − y) 2 ‫ בכל המרחב‬F = 2 sin( y 2 + 4) i + (4 xy cos( y 2 + 4) + 6e 3 y ) j + 6 z k .4 ‫ בכל המרחב‬r = x i + y j + z k , F =| r | r .5 ‫ ( כאשר‬F ‫ ∫ ) צירקולציה של‬F ⋅ d r ‫ . חשב‬XI 2 { Γ ACBA ‫ הוא קו שבור‬Γ, F = ( x + 3 y + 2 z ) i + (2 x + z ) j + ( x − y ) k .1 A(2,0,0), B (0,3,0), C (0,0,1) . ‫ מעגל בכיוון חיובי‬y = a sin t , x = a cos t : Γ, F = y i − x j .2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z = x 2 + y 2 : Γ, F = (2 y + 5 z ) i + (2 x − 3 z ) j + (5 x − 3 y ) k .3 } 2 2 2y F = e2y + i + (2 x e + cos 7 y − 7 y sin 7 y ) j .4 2 x + 15 O(0,0), A(1,2), B(−1,3), C (−2,−1), D(5,−6) ODCBAO − yi +x j : ‫ הוא מעגל בכיוון חיובי‬Γ , F = .5 x2 + y2 ‫ הוא קו שבור‬Γ , b) ( x − 2) 2 + y 2 = 1 a) x 2 + y 2 = 1 ‫תשובות‬ I 1) 1 + 2 II 1.‫0 )א‬ 256 3 5 +3 a 3) ln 15 2 2 1.‫)ב‬ 1.‫2 )ג‬ 2) − 4π 3 III 1) 2π R 2) 2) 16a 2) 3(e − 1) 1) 72π 3 + 2π V VI. 1) 8 VII 1) 2) 12 1 30 VIII 1) z = 3) 2) − 2π a 2 3) 4 2) − 46 2 3 5) 4 3 4) 2π a 2 + b 2 3) 5 IV 1) 40π (4 + 3π 2 ) 3) 4) − 2 3) πa 4 2 53 / 2 − 1 12 3) 1 8 4) ( 8 − 1) 3 4) 17 / 3 5) − 53 7 12 7) b − a 6) 0 4) − 2abπ x3 y3 − + x 2 y − xy 2 + C 3 3 [ 5) π 12 ln 2 2) z = x 2 + x + 2 y − 3xy 2 + C 3) z = e xy + 5 xy + C 4) z = y − 3 x − y sin 2 x + C 5) u = C + ln | x + y + z | 6) u = IX 1) π a b 2) 4 / 3 X. 1) u = e x − y ( x + y ) + C x − 3y z 2 + +C z 2 3) 3 π a 2 2) u = 0.5 ln(1 + x 2 + y 2 ) + C 2) − 2 π a 2 3) 0 3) u = 1 5) | r | 3 +C 3 4) u = 2 x sin( y 2 + 4) + 2e 3 y + 3z 2 + C XI. 1) − 5 8π 5 22 (3 + π 2 ) 6) (1 + 2π 2 ) 3 / 2 − 1 3 3 31 1 4) 5) 91 6) 7) − π a 2 6 35 17 5) 3 4) 0 5 a ) 2π 4) 0 3 5 b) 0 xy +C x− y ‫פתרונות‬ I 2) dl = a 2 (1 − cos t ) 2 + a 2 sin 2 t dt = a 2 − 2 cos t dt = 2a sin t dt , 2 (1 − cos 2α = 2 sin α ) 2 2 ∫ y dl = 2π 2 2 ∫ a (1 − cos t ) 2a sin 0 2π C = −2 ⋅ 8a 3 ∫ 0 t dt = a 3 2 2π ∫ 4 sin t t 2 sin dt = 2 2 4 0 −1 t2 t ( 1 − cos ) d cos 2 2 = −16a 2 3 ∫ (1 − u ) du = 22 1 −1 = −16a 3 ∫ (1 − 2u 2 + u 4 )du = 1 3) OA : y = 2 x , dl = 1 + ( y ′ ) 2 dx = 5 dx x ∫ C 1 dl x + y +4 2 2 = 5∫ 0 1 dx x + 4x + 4 2 2 dx = 5∫ 5x + 4 2 0 =ln | 5 x + 5 x 2 + 4 | = ln | 5 + 3 | − ln 2 II 0 ≤ x <1 x , 3) y = 1− | 1 − x |= 2 − x , 1 ≤ x ≤ 2 = ∫ AD y= x dy = dx 0≤ x ≤1 + ∫ ∫ (x 2 + y 2 )dx + ( x 2 − y 2 )dy = AB 1 2 0 1 = ∫ 2 x 2 dx + 0 dx + ∫ ( x 2 + (2 − x) 2 )dx + ( x 2 − (2 − x) 2 )(−dx) DB y = 2− x dy = − dx 1≤ x ≤ 2 x = −2t 5) OB : y = 4t z = 5t 0 ≤ t ≤1, 1 2 2 2 2 2 2 ∫ x y dx + yz dy − x z dz = ∫ − 2t 16t (−2dt ) + 4t 25t 4dt − 4t 5t 5dt C 0 III 1) x 2 + y 2 = R 2 :C x = R cos t (0 ≤ t ≤ 2π ), ⇒ y = R sin t d l = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t dt = Rdt , L = ∫ dl = C 4 2π ∫ Rdt = 2πR 0 1 0 = IV 3) dl = 1 + 4 x 2 dx, m = ∫ 1 f ( x, y )dl = ∫ xdl = ∫ x 1 + 4 x 2 dx = C C 0 = ( 1 ) 1 2 2 ∫ 1 + 4x d 1 + 4x = 80 (1 + 4 x ) 1 2 3/ 2 12 0 V −y x 1) D (2,0,0), B (2,0,6π ) ; C : x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 3t ; F = , , z2 2 2 2 x + y x + y2 D(2,0,0) ⇒ 2 = 2 cos t ,0 = 2 sin t ,0 = 3t ⇒ t D = 0 B(2,0,6π ) ⇒ 2 = 2 cos t ,0 = 2 sin t ,6π = 3t ⇒ t B = 2π A= ∫ AB −y x +y 2 2 dx + x x +y 2 2 dy + z 2 dz = 2π 2π 2π 2 cos t − 2 sin t 2 2 3 ∫ 4 (−2 sin tdt ) + 4 (2 cos tdt ) + 9t (3dt ) = ∫ dt + 27t dt = (9t + t ) 0 0 0 5 VI 3) P = x + y , Q = x − y, ∂P ∂Q = =1 ∂y ∂x ( 2,3) ∫ ( x + y)dx + ( x − y)dy = ( 0,1) ∫ y =1 0≤ x ≤ 2 dy = 0 + ∫ x=2 1≤ y ≤3 dx = 0 2 3 0 1 = ∫ ( x + 1)dx + ∫ (2 − y )dy = y VII ′ 4) ∫ Pdx + Q dy = ∫∫ (Q ′ − Py ) dx dy , x C P = x + y, Q = − x + y , C D D ∫ ( x + y)dx − ( x − y) dy = ∫∫ (−1 − 1) dx dy = −2∫∫ dx dy C D x D VIII 1) dz = ( x 2 + 2 xy − y 2 )dx + ( x 2 − 2 xy − y 2 )dy z ′ = x 2 + 2 xy − y 2 ⇒ z = x y3 g ( y) = − + C, 3 x3 + x 2 y − xy 2 + g ( y ) ⇒ z ′y = x 2 − 2 xy + g ′( y ) 3 z ′y = x 2 − 2 xy − y 2 ⇒ g ′( y ) = − y 2 ⇒ y3 x3 2 2 z= + x y − xy − +C 3 3 IX 1 1 2) S = ∫ xdy − ydx = + ∫ = ∫ 2C 2 ABD : x = y 2 DA : x =1 dx = 2 ydy dx =0 y x=1 A B x D −1 1 1 2 = ∫ y dy − y 2 ydy + ∫ dy 2 1 −1 6 . ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 1911.101.1 taught by Professor Kagnovski during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online