targilim_2 - ‫תרגול 2‬ ‫גיאומטריה...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תרגול 2‬ ‫גיאומטריה אנליטית במרחב‬ ‫‪‬‬ ‫) , ‪N ( A, B, C‬‬ ‫‪ I‬מישור‬ ‫1. המשוואה הכללית של מישור : 0 = ‪Ax + By + Cz + D‬‬ ‫2 . המשוואה של מישור שעובר דרך הנקודה ) 0 ‪M 0 ( x 0 , y 0 , z‬‬ ‫) 0 ‪M 0 ( x0 , y 0 , z‬‬ ‫‪‬‬ ‫ומאונך לוקטור ) ‪A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 : N ( A, B, C‬‬ ‫3 . ‪ α‬זווית בין מישורים )1(, )2( אם 2 ‪ N 1 , N‬וקטורים מאונכים למישורים )1(, )2( :‬ ‫2 ‪N1 ⋅ N‬‬ ‫2 ‪N1 ⋅ N‬‬ ‫= ‪cos α‬‬ ‫1‪A1 B1 C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫1( אם 2 ‪ N 1 || N‬כלומר‬ ‫2 ‪A2 B2 C‬‬ ‫2( אם 2 ‪ N 1 ⊥ N‬כלומר 0 = 2 ‪ A1 A2 + B1 B2 + C1C‬אזי מישורים מאונכים‬ ‫3. מרחק מנקודה ) 0 ‪ M 0 ( x 0 , y 0 , z‬למישור : 0 = ‪Ax + By + Cz + D‬‬ ‫אזי מישורים מקבילים‬ ‫‪Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D‬‬ ‫2 ‪A2 + B 2 + C‬‬ ‫=‪d‬‬ ‫‪ II‬ישר במרחב‬ ‫0 = 1‪ A1 x + B1 y + C1 z + D‬‬ ‫1. ישר כחיתוך של שני מישורים )משוואה כללית(‬ ‫‪‬‬ ‫0 = 2‪ A2 x + B2 y + C 2 z + D‬‬ ‫0 ‪x − x0 y − y 0 z − z‬‬ ‫‪(Mo(xo, yo, zo‬‬ ‫2. משוואה קנונית של הישר‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x = x 0 + kt‬‬ ‫‪‬‬ ‫3. משוואה פרמטרית של הישר‬ ‫‪ y = y 0 + mt‬‬ ‫‪ z = z + nt‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪p = ( k , m, n‬‬ ‫1‪x − x‬‬ ‫1‪y − y‬‬ ‫1‪z − z‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫4. ישר העובר דרך שתי נקודות 2‪:(M1(x1, y1, z1) ,M2(x2, y2, z‬‬ ‫1‪x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z‬‬ ‫5. ‪α‬‬ ‫זווית בין הישרים :‬ ‫2 ‪p1 ⋅ p‬‬ ‫2 ‪p1 ⋅ p‬‬ ‫= ‪cos α‬‬ ‫6. מרחק מנקודה ‪ M‬לישר ‪Mo‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪p‬‬ ‫:‬ ‫‪L‬‬ ‫‪M 0M × p‬‬ ‫0 ‪x − x0 y − y0 z − z‬‬ ‫‪ III‬מצב הדדי של ישר ומישור נתונים הישר‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫והמישור‬ ‫0 = ‪Ax + By + Cz + D‬‬ ‫) ‪N = ( A, B, C‬‬ ‫1. הישר מקביל למישור 0 = ‪) Ak + Bm + Cn‬כלומר ‪⊥ p‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫= )כלומר ‪( N || p‬‬ ‫=‬ ‫2. הישר מאונך למישור‬ ‫‪kmn‬‬ ‫‪(N‬‬ ‫‪p‬‬ ‫=‪d‬‬ ‫‪L‬‬ ‫, ) ‪p = ( k , m, n‬‬ ‫3. ‪α‬‬ ‫זווית בין ישר למישור :‬ ‫‪N⋅p‬‬ ‫| ‪| N |⋅| p‬‬ ‫= ‪sin α‬‬ ‫תרגילים :‬ ‫מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה )5,2−,3(‬ ‫לוקטור )1,3−,4( .‬ ‫מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות )1−,2,1( ו-‬ ‫)7,2,5−( ומקביל ל-‬ ‫ומאונך‬ ‫1.‬ ‫2.‬ ‫א. ציר ‪x‬‬ ‫ג . הוקטור‬ ‫ב . ציר ‪y‬‬ ‫‪2i − j − k‬‬ ‫01.‬ ‫מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודות:‬ ‫א. )1−,0,1( ,)1,3,2( ,)1,1,4(‬ ‫ב. )1−,0,2( ,)2,2−,1( ,)5−,1,0( .‬ ‫מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה )2,1−,1( ומקביל למישור‬ ‫המשולש בעל הקדקודים )0,0,1(‪. C (3,0,1), B (−1,2,3), A‬‬ ‫חשב את המרחק מהנקודה )1,9,3(‪ A‬למישור 0 = 5 − ‪. x − 2 y + 2 z‬‬ ‫על הציר ‪ x‬מצא נקודה הנמצאת במרחק שווה מן המישורים‬ ‫0 = 1 + ‪. 2 x + 2 y − z = 1 , 12 x − 16 y + 15 z‬‬ ‫מצא את משוואת המישור המקביל למישור 7 = ‪ 3 x + 6 y − 2 z‬שמרחקו מהנקודה‬ )2,1−,1( שווה ל- 3 .‬ ‫חשב נפח הפירמידה החסומה על ידי המישורים‬ ‫21 = ‪. z = 0 , y = 0 , x = 0 , 3 x − 6 y + 2 z‬‬ ‫מצא את קוסינוס הזווית החדה בין המישורים‬ ‫1 = ‪. x + 2 y + 2 z + 1 = 0 , 15 x + 12 y − 16 z‬‬ ‫עבור אילו ערכים של ‪ α‬המישורים 3 = ‪2 x + α y + z = 1 , 2 x + y + z‬‬ ‫3.‬ ‫11.‬ ‫ב . מקבילים ?‬ ‫א. מאונכים ,‬ ‫חשב את המרחק בין שני מישורים מקבילים :‬ ‫4.‬ ‫5.‬ ‫6.‬ ‫7.‬ ‫8.‬ ‫9.‬ ‫21.‬ ‫0 = 5 + ‪4 x + 6 y − 12 z + 16 = 0 , 2 x + 3 y − 6 z‬‬ ‫מצא את משוואת הישר העובר דרך‬ ‫א. הנקודות )3,1,2( ,)2,5,3(‬ ‫ב. הנקודה )4,1,2( ומקביל לוקטור ‪p = 2i + 5 j + 8k‬‬ ‫ג. הנקודה )2−,1,3( ומאונך למישור 2 = ‪x + y − 2 z‬‬ ‫31.‬ ‫41.‬ ‫51.‬ ‫61.‬ ‫מצא את משוואת המישור העובר דרך שני הישרים המקבילים‬ ‫1+ ‪x +1 y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫3 + ‪x − 2 y +1 z‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫,‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫.‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2−‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2−‬ ‫‪2 x − y + 3z = 1 ‬‬ ‫5 + ‪x −1 y + 2 z‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫מצא זווית בין ישרים‬ ‫ו- ‪‬‬ ‫‪5 x + 4 y − z = 7‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1− ‪x +1 y − 2 z‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫חשב את המרחק מנקודה )3,1−,1( לישר‬ ‫2‬ ‫1−‬ ‫3‬ ‫מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודה )1, 1,1( ומאונך לוקטורים :‬ ‫)2,1,3( = ‪a = 2 i + 3 j + k , b‬‬ ‫1+ ‪x + 4 y −1 z‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫מצא את נקודת החיתוך של הישר‬ ‫71.‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1−‬ ‫5 = ‪. 2x + 3y − z‬‬ ‫מצא היטל של הנקודה )4,3−,2(‪ A‬על המישור 31 = ‪. x + 2 y + 2 z‬‬ ‫81.‬ ‫והמישור‬ ‫91.‬ ‫כתוב את המשוואה הקנונית של הישר הנתון על ידי שני המישורים :‬ ‫0 = 3 − ‪x − y + 3 z = 1 , 3x + 2 y − z‬‬ ‫02.‬ ‫12.‬ ‫22.‬ ‫32.‬ ‫42.‬ ‫)4,3−,2( ‪ P‬ביחס למישור‬ ‫מצא נקודה סימטרית לנקודה‬ ‫0 = 63 + ‪. 3 x + 4 y + 5 z‬‬ ‫מצא נקודה סימטרית לנקודה )01,3,4( ‪ P‬ביחס לישר‬ ‫‪. z = 3 + 5t , y = 2 + 4t , x = 1 + 2t‬‬ ‫מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )1−,1,0( המקביל לקו החיתוך‬ ‫של המישורים : 0 = 7 + ‪3 x + y − 2 z = 2 , 2 x − y + 3z‬‬ ‫‪ x = 2t − 3, y = 3t − 2, z = 6 − 4t‬ו-‬ ‫הוכח כי הישרים‬ ‫4 − ‪ x = t + 5, y = −4t − 1, z = t‬נחתכים. מצא את נקודת החיתוך.‬ ‫יהי ‪ D‬המישור המוגדר ע''י המשוואה .1 = ‪7x + 3y + 2z‬מצא את הנקודה ‪Q‬‬ ‫במישור ‪ D‬הקרובה ביותר לנקודה )1 −,0,1( ‪ ; P‬הרכב את משוואת הישר העובר דרך‬ ‫הנקודות ‪ P‬ו – ‪ ;Q‬וחשב המרחק ‪. PQ‬‬ ‫נתונות 4 נקודות במרחב : )0,2,01( ‪ . A(0,2,4); B (−2,6,−2); C (2,−4,8); D‬הרכב‬ ‫52.‬ ‫את משוואת הישר ‪ AK‬כאשר ‪ K‬זה היטלה של ‪ D‬על המישור ‪. ABC‬‬ ‫62.‬ ‫גיאומטריה אנליטית במישור‬ ‫צייר את הגרפים של הקווים הבאים :‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫+‬ ‫1=‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫‪c. x 2 + y 2 = 6 y‬‬ ‫‪b. x 2 + y 2 = 4 x‬‬ ‫3 − 2 )1 − ‪g . 4 x 2 − 9 y 2 = −36 h. y = 2( x‬‬ ‫63 = 2 ‪f . 4 x 2 − 9 y‬‬ ‫.‪d‬‬ ‫5 = 2 ‪a. x 2 + y‬‬ ‫2 )5 − ‪( x + 1) 2 ( y‬‬ ‫+‬ ‫1=‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫4 + 2 )1 + ‪i. x = 0.5( y‬‬ ‫.‪e‬‬ ‫6 = ‪j. 2 y + x 2 − 4 x‬‬ ‫תשובות :‬ ‫11 = ‪. 4 x + 5 y + 3 z‬ג 1 = ‪. 4 x + 3 z‬ב 2 = ‪. y‬א )2‬ ‫0 = 3 − ‪. x − 2 y − z‬ב‬ ‫6 )5‬ ‫)0,0,34 / 11( , )0,0,2( )6‬ ‫5− = ‪. α‬א‪‬‬ ‫‪10) ‬‬ ‫1 = ‪.α‬ב‪‬‬ ‫57 / 7 )9‬ ‫8 )8‬ ‫0 = 82 + ‪7) 3 x + 6 y − 2 z = 14 , 3x + 6 y − 2 z‬‬ ‫‪x = 3 + t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. y = 1 + t‬ג‬ ‫0 = 1 + ‪13) 3 x − 2 y + 3 z‬‬ ‫‪ z = −2 − 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫)6,1−,3( )81‬ ‫)6−,7,3( )32‬ ‫)2−,3,3−( )71‬ ‫1+ ‪y −1 z‬‬ ‫=‬ ‫31 −‬ ‫5−‬ ‫0 = ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25) ( AK ) : y = 2t‬‬ ‫‪ z = 2 + 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪22) x‬‬ ‫32 = ‪1) 4 x − 3 y + z‬‬ ‫0 = 3 − ‪. x + y − 2 z‬א )3‬ ‫0 = 7 + ‪4) x + 4 y − 2 z‬‬ ‫‪ x = 2 + 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. y = 1 + 5t‬ב‬ ‫‪ z = 4 + 8t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x = 1 + 5t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16) y = 1 − t‬‬ ‫‪ z = 1 − 7t‬‬ ‫‪‬‬ ‫)6,9,2 ( )12‬ ‫‪x = 2 + t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. y = 1 + 4t‬א )21 7 / 3 )11‬ ‫‪z = 3 − t‬‬ ‫‪‬‬ ‫96‬ ‫)51‬ ‫41‬ ‫)6−,11−,4−( )02‬ ‫43‬ ‫6018‬ ‫= ‪14) cos α‬‬ ‫1− ‪y − 2 z‬‬ ‫=‬ ‫2−‬ ‫1−‬ ‫= ‪19) x‬‬ ‫‪ x = 1 + 7t‬‬ ‫4‬ ‫26 2‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 17 − 6 − 35 ‬‬ ‫, ‪24) Q‬‬ ‫,‬ ‫= ‪, PQ‬‬ ‫=‬ ‫‪ , ( PQ) : y = 3t‬‬ ‫13‬ ‫‪ 31 31 31 ‬‬ ‫26‬ ‫‪ z = −1 + 2t‬‬ ‫‪‬‬ : ‫פתרונות‬ 4. i jk AB × AC = − 2 2 3 = (2,8,−4) ⇒ N = (1,4,−2), 2 01 11. d = | −8 + 0 − 0 + 5 | 49 = 1( x − 1) + 4( y + 1) − 2( z − 2) = 0 3 4 x + 6 y − 12 z + 16 = 0 (− 4,0,0) ‫ניקח‬ , ‫למשל‬ . ‫לכן‬ 7 ‫נקודה על מישור‬ )M2(-1,-1,0 13. p L1 ) M1(2,-1,-3 L2 i jk p × M 1 M 2 = 4 3 − 2 = (9,−6,9) ⇒ N = (3,−2,3) −3 0 3 3( x − 2) − 2( y + 1) + 3( z + 3) = 0 14. p l 1 = (2,1,3), pl 2 i j k pl 1 ⋅ pl 2 34 = N 1 × N 2 = 2 − 1 3 = (−11,17,13) , cosα = = | pl 1 | ⋅ | pl 2 | 8106 5 4 −1 15. ) ,2,1) , M M 0 (−1M(1,-1,3 0 M 1 = p = (2,−1,3) , M 0 M = (2,−3,2) d M0 p M1 x + 2 y + 2 z = 13 (t + 2) + 2(2t − 3) + 2(2t + 4) = 13 x = t + 2 ⇐ 18. t = 1 (‫ב‬ y = 2t − 3 x = 3, y = −1, z = 6 z = 2t + 4 x = t + 2 ‫ א‬ y = 2t − 3 ⇐ p = (1,2,2) ) z = 2t + 4 ‫‪ijk‬‬ ‫א( הוקטור בכיוון )5−,01−,5( = 1 − 2 3 = 2 ‪p = N 1 × N‬‬ ‫3 1− 1‬ ‫.91‬ ‫הישר‬ ‫0=‪ x‬‬ ‫1− ‪x y − 2 z‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ב ( נקודה על 0 = ‪ . (0,2,1) ⇐ − y + 3 z = 1 : x‬לכן משוואת הישר היא‬ ‫1‬ ‫2−‬ ‫1−‬ ‫3 = ‪2 y − z‬‬ ‫‪‬‬ ‫הישר אם‬ ‫א( משוואת הישר ‪ MR‬המאונך למישור 63− = ‪3x + 4 y + 5 z‬‬ ‫4 + ‪( MR) x = 3t + 2, y = 4t − 3, z = 5t‬‬ ‫ב ( נק' חיתוך הישר 1− = ‪Q(−1,−7,−1) , t‬‬ ‫4,3-,2(‪) M‬‬ ‫: .02‬ ‫:‪Q‬והמשור‬ ‫3−‪y‬‬ ‫2+‪x‬‬ ‫4+‪z‬‬ ‫,1− =‬ ‫,7− =‬ ‫) ג )6−,11−,4−( ‪= −1 ⇒ R‬‬ ‫2 ‪(R(x,y,z‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫⇒ ‪MQ = RQ‬‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online