formulas - ‫שונות‬ ‫פונקציות‬ ‫)‪f...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫שונות‬ ‫פונקציות‬ ‫)‪f (− x ) = f ( x‬‬ ‫)‪f (− x ) = − f ( x‬‬ ‫פונקציה זוגית -‬ ‫פונקציה אי-זוגית -‬ ‫פונקציה יכולה להיות לא זוגית ולא אי –‬ ‫זוגית.‬ ‫אם פונקציה היא אי-זוגית אז כך גם ההופכית.‬ ‫הרכבה של פונקציה זוגית עם זוגית = זוגית.‬ ‫הרכבה של פונקציה זוגית עם אי-זוגית =‬ ‫זוגית.‬ ‫הרכבה של פונקציה איזוגית עם איזוגית =‬ ‫איזוגית.‬ ‫)‪f ( x + T ) = f ( x‬‬ ‫פונקציה מחזורית -‬ ‫‪ – T‬המחזור הראשי הקטן ביותר.‬ ‫)‪f ( x + kT ) = f ( x‬‬ ‫ואז לכל ‪ k‬שלם:‬ ‫בפונקציה קבועה – אין מחזור ראשי.‬ ‫פונקציה חח"ע - אם:‬ ‫) 2 ‪x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x‬‬ ‫רציפות‬ ‫יש לזכור לבדוק את הגבול משני הצדדים.‬ ‫) 0 ‪lim f ( x) = lim− f ( x) = f ( x‬‬ ‫‪x→ x‬‬ ‫+ 0‪x → x‬‬ ‫לוגריתמים‬ ‫‪: log a‬‬ ‫תנאי הכרחי:‬ ‫זהויות טריגונומטריות‬ ‫3‪sin( −b)3 = a 3sin 3a 2 b + 3ab 2 + b‬‬ ‫‪(a + α ) − + α‬‬ ‫3‪cos( −α3) = a 3 −α a 2 b + 3ab 2 − b‬‬ ‫3 ‪( a − b) = cos‬‬ ‫‪tan( b) = − + α‬‬ ‫4 ‪( a +−α4) = a 4tan4a 3b + 6a 2 b2 + 4ab3 + b‬‬ ‫תחום הגדרה - ‪x‬‬ ‫4‪cot( −α4 = a 4cot4a 3b + 6a 2 b 2 − 4ab3 + b‬‬ ‫חישובי ‪0 < a‬‬ ‫0 > ‪ ≠ 1, x‬גבולות‬ ‫‪( a − b) ) = − − α‬‬ ‫החלפת משתנים‬ ‫1.‬ ‫‪sin(π / 5 − α5) = cos α‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫23‬ ‫32‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫‪ log a x > log a y‬אםאינטגרלים‬ ‫חישובי ורק אם:‬ ‫1 − ‪( a + b) = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b y‬‬ ‫1‬ ‫אינטגרציה בחלקים - ‪=⇒⋅ lim 5 vu ' dx‬מחליפים משתנים‪cos(π /52 − α ) = sin α‬‬ ‫−4‬ ‫=‬ ‫− ‪v u dx v u‬‬ ‫אם ‪.a>1 – x>y‬‬ ‫‪= n − 5 4b‬‬ ‫‪( a + b)y = a 5 1 +ax + 10a 3b2 − '10a 2b3 + 5aby →1b n‬‬ ‫‪y −1 n‬‬ ‫‪tan(π / 2 − α ) = cot α‬‬ ‫אם 0>‪.a<1 – x<y‬‬ ‫החלפת משתנים -‬ ‫‪n = tan‬‬ ‫1 ‪cot(π / 2 − α )1 + x α‬‬ ‫−‬ ‫3‪t = x‬‬ ‫= 2 3 ‪lim‬‬ ‫‪= cos( t )dt = sin( x 3 logc xy = log a x + log a y‬‬ ‫‪)+a‬‬ ‫= ‪sin(π − →0 = sin αx dx‬‬ ‫)‪α‬‬ ‫‪∫ cos( x )3x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∫ 2 ‪dt = 3 x‬‬ ‫‪cos(π − α ) = − cos α‬‬ ‫החלפה ‪sin x / tan x x‬ישן הוא פונק' של משתנה חדש‬ ‫2. הפוכה - משתנה‬ ‫‪log a = log a x − log a y‬‬ ‫‪tan(π − α ) = − tan α‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = 1 +lim tan x = y − arcsin x = 1 y‬‬ ‫2 )1 ‪x x = ( lim‬‬ ‫32‬ ‫= ‪lim 1 − xdx‬‬ ‫=‬ ‫‪cot(π − α ) = +cot= lim‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫0→ ‪x →0 sin x 3 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x = y − 1 x = 3→2 dy x log 1 = − log x‬‬ ‫0 ‪dx x y‬‬ ‫‪tan α = sin α / cos α‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .c a‬חישובי נגזרות‬ ‫‪x‬‬ ‫...‪tan α ×cot α 3=− 1) 2 y ×3 y 2 dy‬‬ ‫פונקציה חסומה כפול 0‬ ‫1 ‪= (y‬‬ ‫כללי‬ ‫1.‬ ‫אינטגרלים מידיים‬ ‫‪k‬‬ ‫בתוך‬ ‫) ‪ x = k‬מה אינטגרל קווי‬ ‫‪log a x‬לא משנה‪log a‬יש ‪ ) − f‬ה- ‪ (cos‬מעל)שדה − )‪sin 2 α + cos2 α = 1f ( x0 + ∆x‬‬ ‫הצבה טריגונומטרית ‪f ( x‬כאשר יש 0‪f ( x‬‬ ‫) 0‪( x‬‬ ‫בד ל‬ ‫אינטגרל -כפו"כ - ‪ ˆ lim‬שילובˆשל סינוס וקוסינוס‪= lim‬ה) 0 =( ‪f‬‬ ‫במכנ . ‪x‬‬ ‫=‬ ‫תכונות אינטגרל מסויםנפח מעל למשטח + ˆ = 1‪∇ 'tanlimx=, ∆fxycos‬‬ ‫2 ‪1 +f1 dx2 =flnx1/x ,c f2zα= 0f x i ∆u f y j + f z k 1→ xu 2 x − x‬‬ ‫‪α xcos‬‬ ‫0→‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫בחקירה – להזהר לא. לאבד‬ ‫0 משמר א 0 −‬ ‫‪∫= =0 ,x‬‬ ‫‪V x u x →f ( x,+y )2ds, S = 2xb ds‬‬ ‫1‬ ‫2 שדה בבדיקתם: =‬ ‫‪dx b‬‬ ‫פיתרון.‬ ‫‪ du‬שלבים= ) ‪=2 f, ( c‬גזירות ‪1 + cot 2 αtan sinsin x = D 2 f, (cos x‬‬ ‫/1 =‬ ‫‪α‬‬ ‫2.‬ ‫‪x ) g ( x )1 +0u‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪g ( x )dx‬‬ ‫‪D‬‬ ‫2‬ ‫‪u‬‬ ‫= במצב ש ‪ ∞ 0a‬א 0 בלבד‬ ‫‪ x αQdy )+IIu‬בין‪x‬המקרים‪=II‬ע"‪∇ln‬‬ ‫‪1 +a log a x.1 x .4 log a x = x‬ל∫בדיקתורציפות בנק' החשודה נק' ‪f xdxF 2xsin α cos + c‬‬ ‫∫ 1 תפר − ‪= ln‬‬ ‫+ ‪ α ( = = Pdx‬י‬ ‫‪a‬‬ ‫∫‬ ‫) 2(‪sin‬‬ ‫מציאת אינטגרל כפול:‬ ‫‪a‬‬ ‫חקירת פונקציות‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫)‬ ‫∫∫‬ ‫גבול של הפונקציה ‪a‬המקורית.‬ ‫אז:‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫∫∫‬ ‫‪b‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫תחום מסו ‪. =−I‬‬ ‫תחום‬ ‫1ס. בדיקת גזירות ע"‪ f ( x )dx‬הנגזרת בנק+ החשוד =. ‪cos(2α )dx‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪− α x ' c‬ה‬ ‫‪2 log b x‬‬ ‫סינוס כפול. קוסינו.1 ‪f ( x )dx‬ג∫ הגדריההגדרת ∫ ‪∫ sin x = cos cos − sin α x‬‬ ‫0‬ ‫‪lim Q‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪yf‬‬ ‫⇒ 0 = ‪ '= Qln= =xy:x ln x ⇒ lim x ln x‬בעייתיות = ' חפיפה = ‪P‬‬ ‫‪ x‬גבולות ⇒ ‪f , x ⇒f y, =P‬‬ ‫פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה אך לא‬ ‫0‬ ‫1 ≠ ‪ .2 log a .x = log a 0 < b‬גזירת ‪1x( x )=≤sin≤ f 2 ( x )x}t‬בנק‪|2)x cos xdx‬נק‪α–→= 2 y‬כבין‪D‬‬ ‫‪a0dt‬אסימפטוטותלא לפי הגדרה ‪y‬אלא≤‪= x{x((x , cos a y‬‬ ‫→הפונקציה )‪ 1x ≤ b, f t y‬באופן)‬ ‫−‪a α‬‬ ‫3‬ ‫‪cos(2 x)dx = sin x + c‬‬ ‫ל‪I‬‬ ‫=‬ ‫רגיל ‪cos‬‬ ‫חזקה . ת ‪ ) ≤ M‬ד. ⇐‬ ‫‪ = m‬אי‬ ‫‪2 b‬בודד=: ‪xlim x X‬לחומקרים,‪)==cos1xdx lim‬חשוב) ‪x‬לבדוק0את‪‬הגבול‪‬מימין∫‬ ‫2‪∫ sin‬‬ ‫מקרה ( ‪∫ y =≤ f‬נק!' ⇒הגדרה(. ‪u αlim 1 − u sin α fln(limdt‬‬ ‫(‪ u = ln y =u2b ⇒ u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y ln‬‬ ‫⇒1‬ ‫1‬ ‫0 )‪cos(2 x‬‬ ‫ומשמאל‬ ‫גאומטריה אנליטית‬ ‫‪x‬‬ ‫'.‬ ‫4.‬ ‫אסימפטוטות משופעו‪f x, = = F bx−a))×R '( →x‬‬ ‫0 )‪M b −ax‬ב =‪y m = (tc3 ≤ f (( x y‬‬ ‫( ‪ds‬‬ ‫‪)a‬‬ ‫איזוגי+ אומשנה: 0→‪ xdx‬חזרה) על2→שלבים1(א‪0dt)sindy,'x‬ת)=‪∫∫ Fd1(2R→=dx2)∫tan(α R∫+dxtan∫2∫xft‬‬ ‫≤,:‬ ‫3.‬ ‫דו-מימד‬ ‫∫ ‪∫ x∫ c tan /(1 − f ( xα‬‬ ‫לא :‬ ‫) ‪tan(2α ) sin a x cos xdx‬‬ ‫‪( − sin x cos‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪DII cos‬‬ ‫1) 1 3 ‪y = kx + m1 a‬‬ ‫‪ln x‬‬ ‫גזירה לוגריתמית‬ ‫מרחק הנקודה 0 ‪ x0 , y‬מהישר 0 = ‪ Ax + By + C‬הוא: 3.‬ ‫1.‬ ‫זוגי+זוגי: שימוש בנוסחאות זווית ‪ ∫ ( x‬פעמיים ( ‪ g‬להוריד ) ‪m ∫− x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪bu‬‬ ‫) כפולה‪x ) ≤M‬כדי) ‪sin(3α ) = 3sin α:g (4 sin≤ x x( x‬‬ ‫‪αf‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫מסו‬ ‫) ( ‪ ln = f‬חזקות=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪′ =∞ = x′ cot t− +′ e α ), lim e x‬‬ ‫(∞ → ‪2 x( X ( ), 3x (x‬‬ ‫2 ‪ .2d = Ax +.3 + C / A2 + B‬תחום ‪x‬ג2‪∫ln=αlim4xtyf−(Yα)limckXy= t( lnY2→′∞ ))xdt− = 1II‬‬ ‫‪= sin lim‬‬ ‫)‬ ‫‪cos(3y ))→ = cos⇒ ,y3cos '( lim '( t 1 cos‬‬ ‫≤‪y‬‬ ‫0‪By‬‬ ‫})‪k(R∫ F x{ ( x , y) | c ≤×=L dsin x y)= x ≤ g ( y‬‬ ‫0‬ ‫‪D II =x → + ∞ y x‬‬ ‫‪y ≤ ⋅ , g −∞ )x x‬‬ ‫(‬ ‫)1(5.חזקה זוגית של סינוס :‬ ‫‪b‬‬ ‫‪e‬‬ ‫2 / ‪a + sin β b 2 sin( a / 2 + β x →1 cos( a / 2 − β‬‬ ‫)2 / ) ‪sintan x dx = − ln cos x +gc ( y‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫)2‬ ‫2( ‪∫ lim ff (xx1d)− k ≤ ∫ f ( x ) dx f‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) 0‪y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫משוואת משיק :‬ ‫2.‬ ‫⇒ ‪m =(xsiny 1∫ (ysin(ax 2 −xaf (mLy=elim++ β x 2)x‬‬ ‫1 +1/ ‪y f −xx ⇒aln y =/ ln / 2)(ln dx12 ln‬‬ ‫)1 + ‪sinRα=lim(β ds2=))y=dye x,β ⇒ ,2cos(y )'− 1cos)2− k L x y′ = x (ln x‬‬ ‫=‬ ‫=‪a‬‬ ‫= ∞−/→ ‪, +=∞ln sin x + c R ∫ x ) x‬‬ ‫∫ +)‬ ‫) ‪lim‬‬ ‫→‬ ‫‪cot xyxdx P ( x, y ) dx + cosx,xy=dy‬‬ ‫. זוגית של קוסינו ‪ m‬א)2‪ /k‬לא− 2: ‪ (x2) – x‬אסימפטוטה 2 = ∫ ת0. ∫ ∫‬ ‫3. משוואת נורמל : 0 = ) 0‪.4(2) x − x0 + f ' ( x0 )( y − y‬חזקה כאשר הפונקציס אלמנטרית/)‪cos( a‬מקרים‪ ,y‬למשל ערך‪∫∫IIF(d Rcos βa‬‬ ‫אםה :‪ F‬היא זוגיקיימים 0 אין/‪cos( a /g2( +) Q‬משופע =→ + ‪cos α‬‬ ‫→‪β‬‬ ‫ו‪β‬ת‬ ‫‪D‬‬ ‫‪c‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫מוחלט‬ ‫לפי‬ ‫4‬ ‫פונקציה לא נק' קיצון )נגזרת ראשונה = 0( +‪x‬תחום הגדרה של ‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫תלת-מימד - מישור משיק למשטח‬ ‫‪a‬‬ ‫)2 / ‪x − cos β = −2 sin( a / 2 + β / 2) sin( a / 2 − β‬‬ ‫4. בודקים רציפות ‪) dx = 2 f ( x) dx‬ת(.‪cos αdx = +fc‬‬ ‫1בנקודה בעייתית )גבולו‪1x‬‬ ‫( ∫אלא רק ‪a‬‬ ‫1.‬ ‫אם שדה משמר האינטגרל הקווי אינו תלוי במסלול‬ ‫)3( 2. תכונת אינטגרל ע.2פ‪= sin‬בנקודה‪x‬זו‪∫ limln 1a+ = esin‬‬ ‫‪∫ cos x‬‬ ‫הנגזרת‬ ‫יהי משטח - ) ‪z = F ( x, y‬‬ ‫1.‬ ‫גוזרים כפול:‬ ‫‪a‬‬ ‫יש לבדוק הגדרהערך הפונקציה + ‪ cos β'=−1/ ,2 ( sin( a‬ש‪sin‬‬ ‫‪αx‬‬ ‫ניתן לקצר ולהשתמש ב- ‪ " x‬גם ) ) ‪β ).0 sin(α : β‬‬ ‫+‬ ‫בנקודות הקצה של את −‬ ‫‪∞‬קצה ‪ ‬ל‬ ‫‪x ‬‬ ‫אהפונקצי ) ‪, F‬היא‪f‬אי- ‪ m‬התחוםם ‪ D‬אזי : ‪ u‬המקורית בנק →‪u 1 u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר ם ‪ ≤ M‬ה ‪≤ ( x y‬זוגית:‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫1. משוואת מישור משיק למשטח בנקודה:‬ ‫בתחו‬ ‫) ‪ ( x , y )( x − x ) + F ( x , y )( y − y‬אופציה‪z‬נוספת פונקציה סתומה )) ‪sin α sin β = 1/ 2 ( cos(= c− β R−0 )) α∞f β R.( a‬‬ ‫לזוגי+זוגי: תחום ההגדרה ( + (‪cos‬‬ ‫‪= = arctan x +a f ( ) (b‬‬ ‫‪∇fd R‬‬ ‫=‬ ‫0 0 ‪ z − 0..5= Fx‬לופיטל)5-‪D‬במצבניתן=ללבודד')⋅)קיצון −±גוזריםהגדר צדדים ומציבי‪∫∫ Fd(xR.dx‬‬ ‫‪1 S D ) =∫a‬‬ ‫2+‬ ‫: ‪ ds M ⋅ S ( . α‬נק ‪ f ( x, y ) ds ≤ M‬ה.‬ ‫ותחומי‬ ‫0‬ ‫‪y‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫פונקציה1שבה לא טבלת∫ ∫) )א0‪ =mf 2 ∫cos( a =∫β ) + cos(– y−n‬ם ‪m ⋅ α cos‬‬ ‫0+ ≤ ‪ds‬‬ ‫קמירות/קעירות‪, α‬‬ ‫ש ∞ ± ת,‬ ‫6‬ ‫‪c‬‬ ‫שני∫‪c 1/ ( (x ) dx‬‬ ‫1‬ ‫‪/ β‬פיתול ) ‪ x ‬שניה =∫ 0∫ + תחום ‪cos‬‬ ‫= ‪ 0 ± ∞ x‬נגזרת‬ ‫6‬ ‫2. משוואת הנורמל )אנך למשיק בנק' השקה(:‬ ‫1( ‪1 β‬‬ ‫‪I+n c= ∫ cos‬‬ ‫2 − ‪sin x ⋅ cos.n − x + ( n − 1) I n‬‬ ‫‪D arctan D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫6. אם ע"י לופיטל לא מקבלים גבול הדבר ‪a cos α sin‬שבאמת − =−‪= aα + b dx‬‬ ‫‪,a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∫‬ ‫‪ β‬אינו אומר+ ‪sin(f2 (+xx 2,)yb sin α fcos β‬‬ ‫)1−,) ‪= ( f ( x , y ), f ( x , y‬פונקציההגדרה. ‪ n‬ולפי מקרים ) ÷‪β = ) a ( xa y‬‬ ‫פרמטרית‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫0 50‬ ‫.‬ ‫את ‪ x‬ואם‬ ‫:‬ ‫גבול, אינטרגל לנסות אחרת(‪ y‬ה = 0,‬ ‫0 0 ‪ y‬פונקציה‪x‬רציונאלית צריך על של אינטגרלי‪sin‬אם ורק ולא ניתן לחלצ‪f ' ' ( −. β‬‬ ‫אלא )פולינום/פולינות‪ .b‬ת‬ ‫איןפונקציה שבה יודעיםעקומה סגור כפונקציה ש‪c‬ל−‪t‬אם‪> 0bsin α cos‬ם)‪sin(α x‬‬ ‫חיובית שימושים‬ ‫דטרמיננטה מעבר לקואורדינטות קוטביו ‪ :β‬ם ‪1 ) = a β x cos α‬‬ ‫1‬ ‫+‬ ‫:‬ ‫ל ) ‪== cα‬‬ ‫)( ‪K‬‬ ‫=‪x 2 ( ( β⇒+ , ′Ksin‬‬ ‫‪+g‬‬ ‫‪2=f‬‬ ‫מתקיים‪Qxzx ′-(ft ( x )dx y ′ ( t‬פרוק‪θ∫fff'((x‬ם ))‪cos(α)xPy) (= Q),,αPzfa‬‬ ‫שדה משמ)ר ‪xdrd c‬לגורמי‪, <dx f=(tx )ln) t lim‬‬ ‫3.‬ ‫מעלה במכנה גדולה יותר ) = )‪a −lim dscos ycos:( ,x− x ⋅ r ⋅ty‬‬ ‫. ) מציאת ∫ ש ‪z=f(x,y)β‬מינימום =(∫ ‪β‬ם '‬ ‫1מקסימום‪y‬חומינימום(+‪dxθg‬קיצון‪∫fR∫f'∫(f(t2α(x+)=xβyxg0))0gcosxa()∫Rx=dx−r=+ab:)sin‬‬ ‫‪a‬‬ ‫שט : ‪g x ) dx‬קשר‪x‬ורצי‪ ∫ S→ x0 g‬ומקסימו‬ ‫וגם.מתקיים - תחום פשוט − ) ) ((' )‬ ‫נקודות‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪fαxsin B‬‬ ‫ף‬ ‫‪((x x cos β ⇒sin‬‬ ‫‪cos( x,−y ) ==g1t (α , y )) x ∫ fA = gβ(t ( x, y )) :(t , f D g ′(t1x , y )) ×t‬‬ ‫( מקומיים× ‪ C‬נגזרת שניה‪ a x‬מהתחום יעבור כולו בתו‪f‬‬ ‫1(‬ ‫ותחומי‬ ‫‪y‬‬ ‫7. 1. = ‪ y‬טבלת נק' - קו בי′ן 2 נקודות ‪ ‬הגדרה כולל הנגזרתך‬ ‫תחום‪ x‬כשיר‬ ‫‪=c‬‬ ‫7.‬ ‫.י‬ ‫∞ לא אמיתהתחום. ‪)+/(1 − ≤ x π tan β+ x‬קריטיות ‪tan(α 22 (β )2+dx )(2r‬‬ ‫+‬ ‫14 + ‪ 22 + 3 ) + 2 x‬נקודות 0‪x∫ = a +− 3 θ= x =a,bxsin4a,β‬‬ ‫‪r cos , (tanarcsin θ) ÷ ≤xθ +tan α‬‬ ‫אינטגרל 1‬ ‫מוצאים‬ ‫הערה : יש לפרק לקטעים בהם )‪x x fy(= α > tanx‬‬ ‫( ‪+g‬‬ ‫‪‬‬ ‫סוג קירוב ב כסינוס, ‪α tan‬בתחום מכילה − ) ‪x‬הזוויות‪x β‬‬ ‫נקודות) ‪t‬‬ ‫ראשו‬ ‫4. 1.,‪ – a‬כפונקציה שן:2..במונה עקומה יותצריך גם לשנות אתרק ‪ = (tan 'α‬של −=‪α‬ת‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫אם רוציםללהציעל‪X‬גדולה) ‪β‬קיימות‪tan β ) /(1 + tan‬תחום‪a,b‬והן( ‪ f‬התחום.‬ ‫מעלה ‪ .X‬לינארי סגורה‬ ‫) רציפו (‪tan‬‬ ‫בהתאם.‬ ‫‪ + ⇒ y '(t = y x‬שניות בנק‬ ‫2‬ ‫ר: נגזרות ) ‪( x‬‬ ‫∞‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫3. התחום‪ x‬ללא )חורים)‪c‬לא‪c‬מורכב1‪dx ⇒lny+=∆h‬או ) 1ר,‪ f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫= ‪(= ( x 5 xx 0 (-a xx)2b± a 2 (+ 2, + df‬יות‬ ‫‪ )⋅ ≈ f x‬מ +‪lim‬חלקים‬ ‫−2‬ ‫= ‪bf‬‬ ‫‪tan(α=+ g )2a 4fx=x )dx+ ftan(x )+dx ( x ) dx .β B‬‬ ‫‪= '( α‬‬ ‫‪ D‬אינטגרל אורך ‪∫ y x 2(limt −∫L αe −∫tan1β = lim.0∫ βf) tan α tan‬‬ ‫0=‬ ‫→ ( ‪ xβa ) tan‬‬ ‫שם ‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫:‬ ‫משול בעלמעבר סגור‪b→ x‬‬ ‫0 ±‪x‬‬ ‫→‬ ‫+ 1. שלוהוא +עקומה0 לנפח‪==∞f‬‬ ‫נגזרת 3+ פונקציה הפוכ+ ה 2‬ ‫. 2 ש – שפה‪E‬‬ ‫+‬ ‫) +2‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫7.‬ ‫‪x‬מציאת פונקצית0 הפוטנציאל‪ ,(ax‬מתוך)שדה0נתון() ++03( ‪arcsin α‬‬ ‫/=‬ ‫‪: ( x ) ⋅ dx x‬‬ ‫+)3‪ + f ' (x ) ⋅ xx − x‬ה0‪=x f ( xarccosfα'2axπ+24 f = f f y‬‬ ‫)‬ ‫(‪x‬‬ ‫סנדוויץ 0‬ ‫.‬ ‫‪A f x x ) ,V‬‬ ‫‪I = ∫ ∫ dx(= ,bylnzxdva + C= ∫ ∫1∫dv b‬‬ ‫נפח:2 ש ‪f‬‬ ‫84 + ‪ 2 x‬פונקציה הפוכה‪x )≤dx( x)B lim f ( .x )fdx‬ש((‪∫x) ≤ ,gf‬‬ ‫‪A‬‬ ‫−‬ ‫∫י‬ ‫.‪ g‬היא 2. 1. מבצעיםלאינטגרל‪ f‬על ‪ D‬כפונקציה ) ‪x‬ל ‪ x‬ומקבלים ביטו‬ ‫=‪P‬‬ ‫(‪f‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫‪x −Ba‬‬ ‫‪xx f yy‬‬ ‫11יש= )‪( x‬מסדר‪y‬ת−)‪ a →−∞∫y)’g‬חלקים פעםר ‪∫ x‬‬ ‫:‬ ‫סיבוב סביב צי‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪ xy‬א‬ ‫הכולל‬ ‫5.‬ ‫נגזרת ' ‪ ' = f‬גבו :‬ ‫−‬ ‫∞‬ ‫ריבוע במכנה שה ‪a‬‬ ‫מציאת אינטגרל)משולמחלקים ל-‪= lim h( x) 12n‬בחזקה ‪A‬‬ ‫1‬ ‫‪− C ⇒ lim g ( x = C‬‬ ‫אם 2. גוזרים מקומי‬ ‫מקסימום‬ ‫‪b‬‬ ‫ראשונה ופעם‪y‬בחזקה השניה. את ‪ P‬כפונקציה= )ל ‪lim dx(= ) × n( x.y‬‬ ‫‪f xA‬‬ ‫‪C‬‬ ‫1.שנ( ':‪g‬גוף ‪2 (-x )dx‬גוף)תחום בין)+‪ ( k‬ש‪>→a −na‬בצי(,0‪∫ ( x ax,abna) <:Z‬‬ ‫סוג ) י‬ ‫2.‬ ‫→‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n) 1 − n‬ר‬ ‫‪ V = −→ af‬שני משטחים‬ ‫מסוג ‪I‬‬ ‫)−‬ ‫‪ a,b‬נקודות פונקציו ∫ ‪ k‬ומחלצים א . (.0‬ ‫טור טיילור‬ ‫‪xx‬‬ ‫הרכבה }) 3,.‪( x‬משוויםתל- ‪,('n πQ‬לא⋅ ‪f, ϕ‬תה‪(f f ((x ){ ⋅ x ,(y,)) )D( x∑)g(y‬‬ ‫9‬ ‫דטרמיננטה שלילי של שבסביבתן‪ ( x by) a≤ z‬חסומ‪E I = ( g x z | = , = 0 2∈ ‬‬ ‫8.. ‪ n‬נגזרות‪ y‬מינימום ≤ הפונק ‪y k 1 g‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ת מיידיו‪ϕ‬‬ ‫‪Ax + B b‬‬ ‫2‬ ‫‪ − q < a‬ן ‪k f‬‬ ‫‪f ''( c‬‬ ‫) ‪f (c‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)) ‪ g ( x‬ת )מקומי מסוג = ) ‪dx = limp ( x‬‬ ‫4‬ ‫‪( '(c()x (ylim‬‬ ‫+ ...‪ 2= f‬אינטגרל(קווי אם ) 0 ראשו‪g‬סביב‪ fc x‬רציפה ‪a x‬‬ ‫ב‬ ‫) ‪ x = + (a‬ם ‪x ∫ f xlim0 x‬‬ ‫(‬ ‫‪ ) x‬צי- ‪y‬‬ ‫→‬ ‫‪→x‬‬ ‫א השלמת ‪ x‬לריבוע ‪sin' c‬קו חלק ‪ − c ) +=f‬מתחת2 לעקומה ו(ר(‪f‬ה: > )‪x 2 a ,-b‬‬ ‫סיבובי ‪q f D >1dx‬‬ ‫) ‪ n ! ( x .− c ) + Rn ( x‬מכנה‪:).2cos‬א −‪ (x ) dxc‬אז השטח→)‪)x+ 0 0 ϕ =,ε‬יהי,0: =+)‪f∫xx (f+(px‬‬ ‫=∫‬ ‫0‬ ‫!2‪1! f dx +a +ε)dz‬‬ ‫‪ n arcsin' xn!)dv = ‬‬ ‫,‬ ‫‪ ∫ f=limyf,a(g ( x )) = ∫ − ∫ Ap( x, b−ε 2 dx =21 p cos' x = − sin x‬‬ ‫‪∫x b‬‬ ‫אוכף÷ ‪∫Ek ∫x(,→,)0dxz= b)!=(∫xD( Bϕ (12 y ) 2Vy'=z) fdvy‬‬ ‫2‬ ‫‪= f1(Axlnyx!x(2n+− k+1 −∫xt2), yx(, t )) arctantπ ++y2((t)dy‬‬ ‫‪ 2 ds px fq + ‬‬ ‫' ‪k( − x + 2 ) n(+x − 1 / 2) x (7 / 4 ‬‬ ‫‪∫2 x‬‬ ‫)1+לופיטל ‪∫ x ) dx 1= lim + f∫ (x1)dxdt‬‬ ‫21 ‪‬‬ ‫0<‪ I‬‬ ‫‪D‬‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫כלל‬ ‫÷ 2 4 − ת 0=‪− 4 ε 0 D‬‬ ‫‪c‬‬ ‫01. ) ‪ xf=(ncosh‬לא ניתן‪p‬לדע ‪a x( - cq‬יהיה→‪p‬היטל‪∫ fxa(− − 1 q‬‬ ‫)1 ∫‬ ‫‪(z x‬‬ ‫'‪sinh‬‬ ‫‪‬‬ ‫(: ‪a‬‬ ‫‪ , c ≤ z ≤ x‬ב.+ או הצבה(חילוק פולינמים.‪)R n (x‬נפחיםאינטגרלים) מיידים(.עקומו ) =≤ם)'‪arccos‬‬ ‫ג ‪ x − c )n‬בנוסחאות = ) מציאת(+ יסביב ‪x‬צי[:ומקסימום ד( ת ‪x ( x‬‬ ‫1 . או ביצוע 2. 2. אינטגרל‪x)- II‬לפ‪n‬תחום+בין‪ max‬ן‪‬בלבמוחלטי‪R n (x ::Y‬‬ ‫חיסור ראה מינימום‪ c‬ר ‪2 ×0 ‬‬ ‫המתאימות קוי ' ‪) x , ] f f‬בי‬ ‫שני משטחים בציר ‪f‬‬ ‫∞‬ ‫2!)1‪‬‬ ‫!)1 + ‪ (n‬גוף מסוג‬ ‫=‪b‬‬ ‫+‬ ‫גוףמציאת =אם ) ‪1 − ( ‬בתחו ‪lim‬‬ ‫ד. פישוט ‪cosh'1x3 sinh x‬‬ ‫‪lim‬נקודות ‪( x(n≥gx x‬ם‪k ≥ .f‬‬ ‫‪ ‬קריטיות )‬ ‫לגורמים, = . .א:‬ ‫לדוגמ‬ ‫2‬ ‫} ‪,)) x →tx) dt ( ) ≤ ϕ 2 ( x z‬מקסימלי( ( ∫ ‪f xx,→b) ds , z‬‬ ‫‪yx0 , y x‬‬ ‫פונקציה של) 2.,משתנים‪'≤xy‬מציאת('‪x‬ערך‪g (= ) | f x1∞t)∈yD‬בשפ{ה=( ‪E II‬‬ ‫‪xz ), 0(t ϕ1 (x ,0 zg‬ומינימלי ‪( x‬‬ ‫‪,( ‬‬ ‫)‬ ‫‪∫ . dx a‬‬ ‫1‬ ‫2‪dx‬‬ ‫הגדרת נגזרת= ) ‪A Bx + C tan' ( x‬‬ ‫חלקית ל-‬ ‫השוואה בין ‪z‬הערכים בסעיפים הנ'‪C arctan‬‬ ‫3. ...= ‪2 :X‬‬ ‫− ((‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ( x )) dx‬קו −∫)=‪"+k x, ∫ ) − ))(2x−y‬ל.‪V = π‬‬ ‫2‬ ‫‪2+ ‬של+‪x f‬ישר‪∫ x3(∫+09 x)∆= 1g+((xx22fϕ+(9,,))(0k‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪y0 x‬‬ ‫:‬ ‫פרמטריזציה‬ ‫מציאת‬ ‫‪. cos x‬‬ ‫,‬ ‫‪( b n z a x dvn‬‬ ‫‪ 2b 2.11 + n a n −k b k + + n ab n −1 + b n‬אסור ‪limf∫( xa y, z )dv =x∫ ∫ (0af+ x,) y,= )dy+ 9 a n −1b + a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n a n − + ‬מינימום ומקסימום עם תנאי‪‬‬ ‫‪∫E∆ ∫ 0 t‬‬ ‫‪‬‬ ‫אילוץ‬ ‫הבינום של ניוטון‬ ‫→‬ ‫נוסח‬ ‫‪ k ‬ההמשך 0 ≠ ‪−x‬א...‪Cx: R(f ) =)(1 −g:(R−D+tϕR∫, z ) ( x(t ), y (t )) 1 lim sin‬‬ ‫−‪‬‬ ‫‪ n −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x) ≥ x‬‬ ‫לפי 1 ‪ ( x )4 x ‬‬ ‫=ם1(‪( x ≥ t )∆x0 1 h‬‬ ‫= ) ‪II arc cot' ( x‬‬ ‫1‬ ‫א‬ ‫קירוב ‪ = 2 ‬של 2‪x‬משתני‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫לינארי . 0 '‪cot‬‬ ‫→‬ ‫ם‬ ‫( ‪ ≤t f‬‬ ‫2 ‪0 z = ≤ 1 x, y ) 1 + x‬‬ ‫2 ‪sin‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪x‬הערה‬ ‫2 1.‬ ‫≈ ) ‪f ( x, y )b= x f ( x0 + ∆x, y0 2+ ∆y‬‬ ‫=‪ ‬‬ ‫2‬ ‫!) ‪k k!( n −k‬‬ ‫‪(xxπy ) 0 ( ) − h‬‬ ‫‪=f‬‬ ‫‪V(g=)',=∫a(ln ax ) g ( x ))= −⋅(limxf)(−)h ) g ( x) (e x )' = e x‬‬ ‫(‪g‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ a lim f (c ⋅ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x lim‬‬ ‫‪0 ) ∆yx0‬נפתור‪x‬את המערכת ,:0‪≈ f (x →,x0y0 ) + f x ( x‬‬ ‫‪x0 a‬‬ ‫→ ‪y0 ) ∆x + xf y (0x0 , y x‬‬ ‫→‬ ‫4.‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ה‬ ‫0 ‪ =λ‬ם ‪y‬‬ ‫בתנאי שהגבולות קיימים ושונים מ- 0 ומ- ∞ . בין − ‪ x‬קווי = 0=‪(log −)'b‬‬ ‫= ') ‪ .(ln x‬חיסור נפחים סביב ציר ‪≠x0 ) y‬שני ,0‪∆y (=fayx−λ g,) :(∆x‬‬ ‫∇‬ ‫‪x ln a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/26/2012 for the course IEM 1911.101.1 taught by Professor Kagnovski during the Spring '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online