tema7 - Tema 7. Mapeos Definidos por Funciones Elementales...

Info iconThis preview shows pages 1–4. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Tema 7. Mapeos Definidos por Funciones Elementales Prof. William La Cruz Bastidas 21 de noviembre de 2002 Tema 7 Mapeos Definidos por Funciones Elementales En este tema se mostrar´ a como algunas regiones y curvas se mapean por medio de funciones anal´ ıticas elementales. Una funci´on f ( z ) de variable compleja definida en el plano complejo, la denominaremos mapeo o transformaci´ on . Denotaremos con w = f ( z ) la imagen de z bajo f . Para T un conjunto de n´umeros complejos, denotareamos con f ( T ) el transformado o la imagen de T bajo f . La imagen inversa de un punto w del rango de f es el conjunto de todos los puntos z , en el dominio de definici´on de f , que tienen a w como su imagen. 7.1 Mapeos lineales 7.1.1 Mapeo w = z + c El mapeo del plano z en el plano w definido por la ecuaci´ on w = z + c, (7.1) donde c es una constante compleja, es una traslaci´ on hecha mediante el vector representado por c . Es decir, si z = x + iy y c = c 1 + ic 2 , entonces la imagen de cualquier punto ( x, y ) en el plano z es el punto w = ( x + c 1 ) + i ( y + c 2 ) . Por ser el mapeo (7.1) una traslaci´ on, conserva los ´angulos entre curvas. En consecuencia, el mapeo (7.1) transforma rectas en rectas y circunferencias en circunferencias. Ejemplo 7.1 Halle el transformado del tri´ angulo con v´ ertices z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + 3 i y z 3 = 3 + i , bajo el mapeo w = z- i . Soluci´ on. Sea f ( z ) = z- i . El transformado del tri´ angulo dado es otro tri´ angulo cuyos v´ ertices son: w 1 = f ( z 1 ) = 1 , w 2 = f ( z 2 ) = 2 + 2 i, w 3 = f ( z 3 ) = 3 . ♦ 1 TEMA 7. MAPEOS DEFINIDOS POR FUNCIONES ELEMENTALES 2 Es claro que el mapeo (7.1) es uno a uno o iyectivo, es decir, para cada w existe un ´unico z tal que w = f ( z ) = z + c . Por lo tanto, f- 1 ( z ) = z- c . El siguiente ejemplo muestra la forma como se encuentra el tansformado de un conjunto bajo el mapeo (7.1) utilizando su funci´on inversa. Ejemplo 7.2 Encuentre el transformado del tri´ angulo con v´ ertices z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + 3 i y z 3 = 3 + i , bajo el mapeo w = z- i utilizando el mapeo inverso. Soluci´ on. Sean z = x + iy y w = u + iv . La inversa de f ( z ) = z- i es f- 1 ( z ) = z + i . Por otra parte, el tri´ angulo con su interior se expresa seg´un el siguiente sistema de inecuaciones.   - 2 x + y ≤ - 1 2 x + y ≤ 7 y ≥ 1 Como z = f- 1 ( w ), entonces sustituyendo la expresi´ on f- 1 ( w ) en el sistema de inecuaciones anterior, obtendremos la descripci´ on anal´ ıtica del transformado del tri´ angulo con su interior. De esta forma, x + iy = f- 1 ( w ) = u + i ( v + 1) de donde x = u y y = v + 1. Ahora, sustituyendo las expresiones de x e y en el sistema de inecuaciones anterior obtenemos   - 2 u + ( v + 1) ≤- 1 2 u + ( v + 1) ≤ 7 v + 1 ≥ 1 operando   - 2 u + v ≤- 2 2 u + v ≤ 6 v ≥ que es el sistema de inecuaciones que describe el tri´ angulo obtenido en el Ejemplo 7.1. ♦ 7.1.2 Mapeo w = bz El mapeo del plano z...
View Full Document

This note was uploaded on 02/01/2012 for the course . . taught by Professor . during the Spring '11 term at Pontificia Universidad Católica de Chile.

Page1 / 10

tema7 - Tema 7. Mapeos Definidos por Funciones Elementales...

This preview shows document pages 1 - 4. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online