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Unformatted text preview: Capítulo 4 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO COMPLEJO En el capítulo 3 hemos introducido la definición de funciones complejas, y deducido varias propiedades de las funciones complejas analíticas. En este capítulo vamos a continuar con el estudio de las funciones complejas, pero desde otra perspectiva: veremos un estudio sistemático de cómo actúan ciertas familias de funciones sobre determinadas porciones del plano complejo. Es decir, analizaremos el comportamiento de esas funciones como transformaciones de subcon- juntos en el plano complejo; no nos interesará tanto la acción puntual de una función, sino la manera en que la función actúa sobre un conjunto dado de puntos. Típicamente, una función transforma un conjunto en otro, de allí que emplearemos el término transformaciones cuando queramos hacer hincapié en la acción sobre una porción del plano. Esto es porque el compor- tamiento y análisis de una función muchas veces se entiende mejor estudiando la acción sobre determinados subconjuntos del plano. En el análisis que nos proponemos, el concepto de curva continua resulta relevante, por lo que nuestra primera ocupación ahora será formalizarlo. 1. Funciones complejas de variable real. Curvas y contornos Cualquier función z de un intervalo real [ a, b ] en C es una función compleja de variable real (FCVR). A un número t del intervalo, z le hará corresponder un número complejo z ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) , en donde x ( t ) e y ( t ) son números reales que en general dependerán de t , como lo indica la notación utilizada. En los puntos de [ a, b ] en que x ( t ) e y ( t ) son ambas derivables, se define la derivada de z ( t ) como z ′ ( t ) = x ′ ( t ) + iy ′ ( t ) . Notar que z ( t ) puede verse como una función z : D ⊂ C → C donde D = { ( t, 0) : a ≤ t ≤ b } ⊂ C , y las funciones de parte real e imaginaria son, respectivamente, x ( t ) e y ( t ) . Por lo tanto, z ( t ) es continua en t si, y sólo si, x ( t ) e y ( t ) son también continuas (como funciones reales de una variable real) en t . Bajo ciertas condiciones, la imagen de [ a, b ] por z es una curva C en el plano complejo, que puede imaginarse como generada desde z ( a ) hasta z ( b ) a medida que t va creciendo de a a b . Esto motiva la siguiente definición: Una curva continua es una función continua z cuyo dominio es algún intervalo cerrado [ a, b ] y cuyo codominio es C . Una curva suave , o curva regular , es una curva continua cuya derivada z ′ es continua en [ a, b ] y no nula en ( a, b ) . Una curva continua se llama suave a trozos , o curva regular a trozos , o contorno , si hay una partición finita a = t < t 1 < . . . < t n = b del intervalo [ a, b ] tal que la restricción de z a cada subintervalo [ t j , t j +1 ] es una curva suave....
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This note was uploaded on 02/01/2012 for the course . . taught by Professor . during the Spring '11 term at Pontificia Universidad Católica de Chile.

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