Aplicacin en biologa computacional f rmula de bayes

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Unformatted text preview: jercía como profesor e n Londres. Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y asistió a su padre en Holborn. Al final de la década iniciada en 1720 fue nombrado pastor en Turnbridge Wells (Kent, I nglaterra). Aunque trató de retirarse de su puesto eclesiástico en 1749, permaneció en él hasta 1752. Una vez retirado siguió viviendo en Turnbridge Wells hasta el día de su m uerte, el 17 de abril de 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill 3 .1. R edes Bayesianas 31 F ields. La traducción de la inscripción en su tumba puede leerse como sigue: "Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 17 de abril de 1761". E n r econocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en el desarrollo de la t eoría de la probabilidad, su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos d e todo el mundo. T eólogo, matemático y miembro de la Roy al Society d esde 1742, Bayes fue el primero en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemática para la i nferencia probabilística. Los únicos trabajos que se sabe que Thomas Bayes publicó en v ida son: Divine Providence and Government is the Happiness of His Creatures (1731) y An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of The Analyst ( 1736), que fueron blanco de críticas por parte del obispo Berkeley, quien sustentaba sus ideas en los f undamentos lógicos del cálculo de Newton. En 1763 se publicó pósturaamente Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, d onde el reverendo Bayes abordó el p roblema de las causas a través de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema q ue lleva su nombre. Este trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y resulta ser la base para la técnica estadística conocida como estadística bayesiana, que se u tiliza para calcular la probabilidad de la validez de un enunciado tomando como bases la e stimación de la probabilidad previa y las evidencias relevantes más recientes. 3.1.4. El t e o r e m a de Bayes D e entre los descubrimientos que Thomas Bayes realizó, uno de los más importantes es el llamado teorema de Bayes, que es en el que se basan las RRBB. Antes de profundizar e n el teorema conviene introducir algunos conceptos importantes: P robabilidad condicional L a probabilidad de que el enunciado B s ea verdadero, condicionado a que el enunciado A s ea verdadero, se denota por p ( S | A), y se define, en caso de que p{Á) > O, como: KBlA^^^íj^ ,3.1, L a probabilidad condicional se interpreta como una implicación especial, que es lo c aracterístico del razonamiento probabilístico, entendiéndose que "si A es verdadero, entonces B t iene una probabilidad p{B \ A) d e ser verdadero". A p artir de la denominada regla de la multiplicación se p uede expresar la probabilidad correspondiente a la intersección de un número finito de enunciados, por medio del p roducto de probabilidades condicionadas, de la manera siguiente: ( n-l) piAi A ^ 2 A As A • - • A .A„) = p{An) • n ^ ( ^ i i •^^•+1 A • • • A >1„) (3.2) 32 Clasificación Supervisada Basada en RRBB. Aplicación en Biología Computacional F órmula de Bayes La definición de probabilidad condicionada anteriormente expuesta tiene dos versiones en función de cual sea el enunciado que condiciona. De esta forma, se tiene que, si A y B son dos enunciados tales que p{A) > O y p{B) > O , se verifica que: .(.M) = H ( ^ K.|B) = ^ - ^ (3.3) . (3.4, De las anteriores igualdades se obtiene que: „ M I B) - PÍB\A)-p{A) Además, si aplicamos el denominado teorema de la probabilidad total al enunciado B, se tendría: p{B) = p{B I A) • p{A) + p{B I ^A) • p{-^A) (3.6) obteniendo de las dos últimas fórmulas la denominada fórmula de Bayes: .M.m p{B\A).p{A) ^ ^^ ' ^^ - p{B I A)-p{A)+p{B I ^A) -pi-^A) ^^-^^ R azonamiento probabilístico Mediante el teorema enunciado es posible realizar lo que se ha dado en llamar razonamiento probabilístico, algunas de cuyas características son las siguientes: • El sistema deberá ser capaz de manejar desigualdades a la hora de realizar razonamientos encadenados. Si suponemos que tratamos de determinar el valor del enunciado B, una vez conocidos los valores asignados a p(A) y p{B | A), a partir del teorema de la probabilidad t otal, se tiene que: p{B) = p{A) • p{B |. A) + p{-.A) • p{B I ^A) (3.8) Al no conocerse el valor de p{B \ ^A), de la fórmula anterior se obtiene que: p{B) > p{A) • p{B \ A) (3.9) p{^B) > p{A) • p{^B I A) (3.10) Análogamente se deduce que: De las dos desigualdades anteriores se obtiene: p{A) • p{B 1 A) < p{B) > 1 - (p{A) - (1 - p{B I A))) (3.11) 3 .1. R edes Bayesianas 33 F igura 3.1: Grafo Dirigido • P osibilidad de utilizar otros esquemas de razonamiento que denominaremos plausibles, n o aceptables en la lógica bivalente. E jemplos de lo anterior son los siguientes esquemas: • Si se sabe que p{B | i4) = 1, y il es falso, entonces parece que B t iene que ser m enos creíble. • Si se sabe que p{B | .A) = 1, y 5 es verdadero, entonces parece que A t iene que s er más creíble. • C ará...
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This note was uploaded on 02/01/2012 for the course . . taught by Professor . during the Spring '11 term at Pontificia Universidad Católica de Chile.

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