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Unformatted text preview: Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers Roy D. Yates and David J. Goodman Problem Solutions : Yates and Goodman,5.2.2 5.2.3 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4.2 5.3.6 and 5.4.3 Problem 5.2.2 Given the joint PDF cxy2 0 x y 1 0 otherwise ¦¢ ¦ ¡ fX Y x y ¤ ¥£ ¢ ¡ (a) To find the constant c integrate fX Y x y over the all possible values of X and Y to get cxy2 dx dy 0 ¤ ¤ 0 1 c6 ¨ § 1 § 6. Y is the integral of the joint PDF fX Y x y over the indicated shaded  § ¤  0 § ¤ 6xy2 dy dx 0 1 2x4 dx 0 25 ¨  0 ¤ 6xy2 dy dx 14 ¨ x2  § 0 § 1 !  X 2 we can integrate over the region ' %# (&$" ¤ ¤ ¦ X x  © ¦ PY 2 § Similarly, to find P Y shown in the figure. 1   © Y PX £¢ ¤ (b) The probability P X region. ¡ Therefore c £¢ 1  ¡ (c) Here we can choose to either integrate fX Y x y over the lighter shaded region, which would require the evaluation of two integrals, or we can perform one integral over the darker region by recognizing £¢ 1 ¡ 1 12 6xy2 dx dy 3 dy 5 3 4 1 § 1 12 11 32 ¤ 1 § 12 12 1 9y2 4 § © 1 2 ¥£ ¢ 3 ¤ 0 ¨ ¤ ¨ 3 4Y ¤ §§ ¦ © 0 ¨ ¤ ¡ ¦ ¥£ ¢ 3 4 ¢¨ PX 3 4 34 ¦ 34 ¨ ¡ ¦ ¥£ ¢ © P max X Y p 8i © ¤ 3 4 can be found be integrating over the shaded region shown below. … „ ‚y v tr USƒI€x wusq ¡ ¦ )£ ¢ (d) The P max X Y 1 1 P min X Y ¨ 1 7 86 12 TUSQI)F ECBA9 R PHG D @ e d cba Y W USQI)` ECXAV P min X Y 6xy2 dx dy © 0 34 0 0 237 2x 3y f ¤ ¡ 6e 0 h 5 34 g 3 y3 3 0 234 x0 ¤£¨ ¤ Problem 5.2.3 ¡ Y is: dx 35 3 3e 31 0 2 † 2ex † 1 1† 2e e 31 x 2 dx ≤ dx l † 2x 1 1 † e 2x  †‡ † ¤ 0 § ¤ § ¤ — 1 ˜¤ 1 † 2e 0 3y y 1 x y0 ’ § 1 † § 0 e dy dx †’ 2x 1 † 1 2e 2x 3y 6e ‡ ‰ ˆ† 0  0 1x d ¤  1 1 i hf j)ge †© 1 k 1 ¤ § ¤ ¦ Y Y ™ † © ¦ PX —  † ¤ 0 § 1 is found by integrating over the region where X ¦ ¤ 5x dx ¨ 2e ³ ” 1 2x 2e 0 3y y x y0 † ∞ e ’  § 0 2x dy dx ’ § 2e ‡ ‰ ‘† ∞ 2x 3y  6e 0 • 0 x – ∞ “ Y ¤ )£ ¢ —© The P X ‡ ‰ ˆ† Y  PX  (a) The probability that X x 0y 0 otherwise ¢ fX Y x y —© ¡ ¤ dy dx 1 1  2x 3y 2 e £† ‡ ‰ ‘† § 0 1 so that ¡ 6e ¡  €£ ¢ § ¤ 0 0 23 1 e 1 m 1 ¦ 1 e 3 £† ¤  1 ¢ § © ¡ ¦ ¥£ ¢ ¡ P max X Y 1Y ¦ § ¡  )£ ¢ 1 is the same as the event X dy dx n 2x 3y ‡ ‰ ˆ† 1  6e 1 ¤ ∞ 1 . Thus, ‡  ‰ ‘† m ∞  (c) The event max X Y 10 ¢ P min X Y 1Y  1 is the same as the event X n (b) The event min X Y ¦ )£ ¢ © Problem 5.3.2 0 ¦ — ¡ ¤ )£ ¢ x 0x1 otherwise £ ¡ 1 21 0 ¦ § † ¤ ¤ ¥£ 0 2 dy ¦ 1x x ¡ fX x vt sr wugsq ¢¢ Using the figure to the left we can find the marginal PDFs by integrating over the appropriate regions. o 2 x y 1xy 0 otherwise fX Y x y ¡ y 0y1 otherwise £ 1 ¡ 21 0 ¦ ¤ † § ¤ )£ 0 2 dx ¦ 1y y £ ¡ fY y Problem 5.3.3 joint PDF 0 x2 y2 otherwise ¦ — ¦ £ ¡ 1 πr2 0 ¨ ¡ fX Y x y r2 ¤ ¥£ ¢ The marginal PDF of X is z 2 r2 x2 πr2 0 † ¤ † r2 x2 1 dy πr2 rxr otherwise 1 z u§ † z ¤ ¥£ ¤ )£ 2 r2 x2 ¦ † ¡ £ ¤ 3 0 { 2 r2 y2 πr2 † † r2 y2 1 dx πr2 ryr otherwise 1 { |§ r2 y2 ¦ † { † ¡ fY y ¦ ¡ And similarly for fY y 2 ¦ fX x p Likewise for fY y : Problem 5.3.4 The joint PDF of X and Y and the region of nonzero probability are } x2  ‚ Q ¦ ¦¢ ¦ ¦ 1 ¨ ¡ ¤ )£ ¢ We can find the appropriate marginal PDFs by integrating the joint PDF. ~ y € 5x2 2 1 x 10 0 otherwise fX Y x y (a) The marginal PDF of X is 5x2 dx y2 1 Š Œ ‰ g‹ Qˆ 2 y3 ¨ u£ 3 30 y 1 otherwise ¦ ¦ 1 ¡ 51 0  uŽ z † ¤ z† § ¤ )£ ¡ £¢ ¡ ¨u£ 3 1 § †¡ ¤ ¥£ ¡ ¤ The complete expression for the marginal CDF of Y is ¤ ¥£ ¡ fY y Ö † — Ö … § 2 3 ‡ ƒ 1 5x2 dx 2 1, „ y y ¦ ¡ y 0. For 0 ¦ ¤ )£ 32 ¤ ∞ 51 § fX Y x y dx ¨ ∞ 1 or y 1 fY y 0 for y 5x4 2 1x1 0 otherwise ¦ (b) Note that fY y 0 5x2 dy 2 ¦ fX x x2 Problem 5.4.2 ¤ n ¦ w 0, the CDF of W is 3 ¦ w “ ¦ 1 1 ¦ 1 ’‘ ¤ ¥£ ¡ m ¤ 2 w  † £ w 2 ¦1 1 ƒ £ — 4 w 3 1 w 0 1 w ¦ 1 — ˜– ¤ — ¡ ¤ £ ¡ ¤ ¥£ ¡ FW w 0 1 1 w ¡ ¦ ¤ ¥£ ¡ § ‰ 1© § — ¡ ¤ ¥£ †§ † 1 ƒ 1 ¤ ¡ ¤ ¤ Therefore, the complete CDF of W is 31 — w £ x 0 • w 2 dx ” Cš™ ¦ 6y dy dx Ÿž œ ‘g&E› xw 3x 1. For ¤ ¡ £¢ X w0 1 w ¦ 1 ¦ PY 0, FW w ¦ FW w 0. For w ¤ 1, FW w 1 (b) For w X0 1 and ¦ (a) Since the joint PDF fX Y x y is nonzero only for 0 y x 1, we observe that W Y since Y X . In addition, the most negative value of W occurs when Y 0 and X W 1. Hence the range of W is SW w 1 w 0. ¡ (c) By taking the derivative of fW w with respect to w, we obtain the PDF 2 1w0 otherwise 1 £ 1 ¦ ¡ 3w 0 ¦ £ — ¤ ¥£ ¡ fW w Problem 5.3.6 (a) The joint PDF of X and Y and the region of nonzero probability are ¡ ¤ 1 ¢ cy 0 y x 0 otherwise ¦ ¦ ¦ ¡ fX Y x y ¤ €£ ¢ £ (b) To find the value of the constant, c, we integrate the joint PDF over all x and y. 0 ° ¦ ª ª ¤)£ ¦ ¡© ª «ª ¢ ¯ 1 ¤ª £ª ¤ )£ ¤ § ¡ ¡ ƒ ¡ ¤ § ¤ ƒ ¦ ¡  ¤ €£ ¡ 0, ² ¦ ¦ ¤ )£ ¶ ¡ 2 ª ª ª ¢ª µ ¤ )£ § ¦§ ¨§ ª ¡ 2 2y 5 £ ±ª ¡ 3y 3y 0 ¤ 1 Iª £ y dy 3y2 1 ª ¤ ‘ª £ ±ª ª § 1 ¡ ¤ )£ § § 6y 1 ª 0 £¢ y 2y3 ´ ¤ €£ 6y dx dy y y. For y ³ § † 2 0 fX Y x y dy dx ¦ ¦ 0 x 1 ƒ † y ® § ¡ ¤ ¥£ §§ ¨ ©§ ª 0x x3 0 1x (d) Similarly, we find the CDF of Y by integrating fX Y x y over the event Y FY y 0 and for y 1, FY y 1. For 0 y 1, y 1 ­ ª ª § ¦§ x3 dx FX x y x. For ¬  2 The complete expression for the joint CDF is § ¤ ¤ ¡ FY y c 6 6y dy dx 3x 0 0 1 cx3 6 x by integrating the joint PDF over the event X 1. For 0 x 1, 0 x 0 cx2 dx 2 fX Y x y dy dx x x 0 0 1 ¦ ¡ £¢ x cydy dx ¦ ¤ x § FX x § (c) We can find the CDF FX x PX x 0, FX x 0. For x 1, FX x x ¤ 6. ∞ 1 § ∞ fX Y x y dx dy ¤ Thus c ∞ ¤ ∞ ¡ The complete expression for the CDF of Y is 1 2 ¡ 1 ¤ €£ ¨ · 3§ x2 6y dy dx 0 x2 dx 0 3x2 dx 4 § 1 ¦© ¤ 0 14 ¤ ¦© ¤ 0 ¨ 3y2 ¹ § 1 3 ¤ 0 ¨ 0 ¼»º § 1 X2 £¢ PY x 2. ¸ ¡ X 2 , we integrate the joint PDF fX Y x y over the region y ¦ 0 y 1 ¨ ƒ y 2y3 0 y ¦ (e) To find P Y 0 3y2 1 ¦ FY y Problem 5.4.3 Random variables X and Y have joint PDF ½ À 1 ¦ ¦ ¦ ¡ ¤ )£ ¢ ¿ ¤ n ¦ ¦ ¦‘  m ¤ ¨ ¤ ¤ ¤ 1. Note that 1, the CDF of W is wX w ¦© ¤ ¥ ¦ ¨© ¤ ¥£ ¡ The complete expression for the CDF is 1 à ƒ 0 w 1 Å ƒ  ¦ ¤ ¥£ ¡ FW w 0w w0 1w (c) By taking the derivative of the CDF, we find that the PDF of W is 10 w 1 0 otherwise ƒ ¤ ¥£ ¡ (d) We see that W has a uniform PDF over 0 1 . Thus E W ¤  © ¢© 6 1 2. ¨ ¦ fW w  PY ÏÍÌ ÊÈÇ ¦Î0ËÉ¥Æ w ¤ 0 PY X Ä ¦ FW w Á ¦ w ¨ (b) For 0 X, W Y X w 1. ¦ (a) Since X and Y are both nonnegative, W Y X 0. Since Y W 0 can occur if Y 0. Thus the range of W is SW w0 ¾ 20 y x 0 otherwise fX Y x y ...
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