exam_2007-normal_Matematica Discreta

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Departamento de Matem´atica da Universidade de Aveiro Matem´atica Discreta Exame Final ( 2 a Chamada): 22/06/2007 Licenciatura em Matem´ atica (8220) Mest. Int. Eng. Computadores e Telem´ atica (8240) Informa¸ oes e Instru¸ oes para os Estudantes: Dura¸ ao da prova: 2h 30m. A prova consta de 4 quest˜ oes cada uma cotada com 5 valores. ao ser˜ ao corrigidas respostas escritas a l´ apis. Use esferogr´ a±ca de cor azul ou preta. ao ´ e permitido o uso de qualquer calculadora. Nas respostas, as express˜ oes aritm´ eticas podem ser deixadas numa forma do tipo 45 . ( 12 6 ) +5 4 . Justi±que todas as respostas. N˜ ao efectue os c´ alculos ±nais mas explique todas as nota¸ oes que utilizar e express˜ oes que deixar por calcular (por exemplo, na express˜ ao do ponto anterior, ( 12 6 ) signi±ca combina¸ oes simples de 12 elementos 6 a 6 ). Escreva de forma clara e concisa. O curso comp˜ oe-se de quatro grandes ´ areas: ogica, Combinat´ oria, Recorrˆ encia e fun¸ oes geradoras e Teoria de grafos. Avaliac ¸˜ao de Competˆ encias: 1. Conhecimento dos conceitos fundamentais e ferramentas da Matem´ atica Discreta; 2. Aplica¸ ao da L´ ogica ao reconhecimento de racioc´ ınios (ou dedu¸ oes) v´ alidos e estrat´ egias de Demonstra¸ ao de Teoremas; 3. Capacidade de resolver problemas n˜ ao conhecidos (varia¸ oes de problemas/exemplos abor- dados nas aulas) com as ferramentas matem´ aticas adquiridas no curso; 4. Conhecimento do modo como a matem´ atica discreta se relaciona com outras ´ areas. 1. (a) Mostre que para quaisquer conjuntos A, B e C se tem A - ( B C ) = ( A - B ) ( A - C ) . Ser´ a que tamb´ em, para quaisquer conjuntos A, B e C se tem A - ( B C ) = ( A - B ) ( A - C )? Justi±que. (b) De±na tautologia e veri±que se a f´ ormula [( P Q ) ( ¬ P R )] ( Q R ) ´ e uma tautologia. (c) Considere o seguinte texto, que se refere a uma cadeira arbitr´ aria do Departamento de Matem´ atica: Se uma cadeira ´ e f´ acil, alguns estudantes s˜ ao felizes. Se uma cadeira tem exame, nen- hum estudante ´ e feliz
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