2009-11 (Energy_Band-2)

2009-11 (Energy_Band-2) - Bloch Schrdinger h2 2 - 2m + U (...

Info iconThis preview shows pages 1–8. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Bloch 定理 表述:在周期场中,描述电子运动的 Schrödinger 方程为 () () () 2 2 2 Ur r E r m ψψ ⎡⎤ −∇ + = ⎢⎥ ⎣⎦ h 其中, U ( r ) = U ( r + R l ) 为周期性势场, R l = l 1 a 1 + l 2 a 2 + l 3 a 3 为格矢,方程的解为: ( ) ( ) i eu ψ = kk kr rr —— Bloch 函数 这里, u k ( r ) = u k ( r + R l ) 是以格矢 R l 为周期的周期函数。 ( ) ( ) i e = l l kR r+R r 推论:
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
§ 6 晶体能带的对称性 一、 E n ( k ) 函数的对称性 我们在前面已经论述过,在 k 空间中能带具有如上的特 性,这样关于能带的计算和论述就可以限定在一个有限 区域内,通常做法是取以 k=0 为中心的 Wigner-Seitz 胞,即第一布里渊区内。 ) ( ) ( h n n G k E k E v v v + = 1. 2. ) ( ) ( k E k E n n v v α = α 为晶体所属点群的任一对称操作。
Background image of page 2
应为具有同样本征值的另一本征函数。 ψ nk (r) 为晶体哈密顿量的本征函数,本征值为 E n (k) ) ( ) ( ) ( ˆ r k E r H nk n nk v v v ψ = 由于晶体在所属点群操作下保持不变,则点群操作 α 作用 于本征函数的结果, ) ( ) ( r r nk n v v α φ = ) ( ) ( r e R r nk R k i n nk n v v v v v αψ αα = + B A B A B A B A B A B A v v v v v v v v v v v v = = = = 1 1 ) ( 又由于晶体点群操作应保持点乘积不变( 对于两个矢量作 同一正交变换,其标量积不变 ),则有:
Background image of page 3

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
因此有: ) ( ) ( )] ( [ ) ( 1 r e r e R r R r nk R k i nk R k i n nk n n n n v v v v v v v v v v αψ φ α = = + = + φ n (r) 是本征函数之一,可以写成: 所以 φ n (r) 标记应该是: k 1 ) ( 1 r k n v ψ 从而有: ) ( ) ( 1 r r nk k n v v =
Background image of page 4
从上式可得有 α -1 k k 所对应的能量本征值相等,即有: ) ( ) ( 1 k E k E n n v v = α ) ( ) ( k E k E n n v v = 由于 α -1 遍历晶体点群的所有的对称操作,所以有: 证毕。 这表明,在 k 空间中 E n ( k ) 具有与晶体点群完全相同的对 称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第一布 里渊区分成若干个等价的小区域,只取其中一个就足 够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f f 为晶体点群对 称操作元素数。如三维立方晶体 f=48
Background image of page 5

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
在晶体中电子运动的哈密顿算符 () 2 2 2 HU m =− ∇ + h r 是实算符, H * H 3. ) ( ) ( k E k E n n v v = ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ˆ r k E r H r k E r H nk n nk nk n nk v v v v v v = = ψ 如果 n k ( r ) 是方程的解,那么 * n k ( r ) 也是方程的解,且这两 个解具有相同的能量本征值。即有
Background image of page 6
同时按照 Bloch 定理有: ) ( ) ( ) ( ) ( r e R r r e R r k n R k i n k n nk R k i n nk n n v v v v v v v v v v = + = + ψ 因此, n k (r) n- k (r) 能量是相同的。 ) ( ) ( k E k E
Background image of page 7

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
Image of page 8
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Page1 / 31

2009-11 (Energy_Band-2) - Bloch Schrdinger h2 2 - 2m + U (...

This preview shows document pages 1 - 8. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online