第2ç« +随机信å&middo

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1 第二章 随机信号和噪声 2.5 高斯过程和白噪声过程 2.7 窄带随机过程 2011 9 28 7
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 证明:对于高斯过程的 N 维随机变量,不相关 等价于独立。 z 证明: 2 2 2 2 2 2 T- 1 12 2 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 11 () e x p (-) 2 (2 ) x x x x x x X N N x C C fX X m C X m C C σ π = = ⎧⎫ =− ⎨⎬ ⎩⎭ ⎡⎤ ⎢⎥ ∴= ⎣⎦ 为对角阵 互不相关
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 证明:对于高斯过程的 N 维随机变量,不相关 等价于独立。 T 22 T 2 1 2 12 2 1 11 1 () e x p (-) I (2 ) 2 exp ( - ) ( - ) 2 exp ( - ) 2 (- ) 1 exp ( ) ( ) ( ) 2 X NN xx N ii i N x N i f X Xm xm f xfx fx πσ σ = = ⎧⎫ =− ⎨⎬ ⎩⎭ = = ⋅⋅⋅ 得证
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 2 高斯随机过程重要特性 1 高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。 (2)若高斯过程广义平稳,则一定是严平稳。 因为N维概率密度函数完全由一维和二维参量 (均值、方差和协方差)决定。 均值集合 协方差集合 广义平稳 协方差 仅与时间差 有关,则所有 沿时间轴移动一个常量,N维p.d.f.不变, 高斯过程为严平稳 22 , i xx i mm σσ == 为常数 (, ) x ik tt C 12 , N tt t ⋅⋅⋅ ( ) i xi mE X t = () ( ) , Xi k i x k x Ct t EX m X m ⎡⎤ =− ⎣⎦
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 高斯随机过程重要特性 (3)高斯随机矢量的线性变换仍为高斯随 机矢量(见习题37) 推广:线性系统的输入与输出过程是联合 高斯的。
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 2.5.2 白噪声过程 z 1 、定义: 一个均值为 0 ,功谱密度在整个 频率轴上是非零常数的平稳过程称为白噪 声过程,记为 z 以功谱命名 z 表明白噪声在任何两个不同时刻的随机变 量都是不相关的。 ◇如一随机过程功谱密度是白噪声的,概率 密度函数是高斯的,则称为高斯白噪声。 AWGN-- 加性高斯白噪声 。 () nt 0 0 2 2 n n Sf N N R τ δτ = = () 0 , 0 n R ττ =
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 白噪声 的功率谱 与自相关函数 a )白噪声功率谱 b )白噪声自相关函数 () n Sf 0 0 2 N f 0 0 2 N n R τ 0 2 n N = 0 2 n N R δτ =
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信息传输与处理实验室 蒋铃鸽 1 )物理上不存在(理想模型) 2 )数学意义: 良好的分析特性,简化运算,且不产生误差。 3 )现实意义(模型意义): 当输入噪声带宽远大于系统带宽,可看作白噪 声。 () 0 2 n N PS f d f d f +∞ +∞ −∞ −∞ = =→ ∫∫
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