kap5.3 - 5.3 Energiebilanz nichtthermischer Systeme Wir...

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Unformatted text preview: 5.3 Energiebilanz nichtthermischer Systeme Wir wollen zun¨achst nur das gesamte Teilchenzahlspektrum untersuchen, also die Energie- verteilung aller Teilchen in einem System ohne Ber¨ucksichtigung der Ortsverteilung. Hierzu benutzen wir Kontinuit¨atsgleichungen, die Terme f¨ur kontinuierliche Energiegewinne und-verluste enthalten sowie Funktionen, die Quellen und katastrophale Verluste beschreiben. Katastrophale Verluste sind beispielsweise Fragmentation von Atomkernen oder Annihila- tion, aber auch das Entweichen aus dem System. Dann k¨onnen wir f¨ur das totale Teilchen- zahlspektrum N ( E ) = dN/dE im Gleichgewichtsfall schreiben ∂ ∂E parenleftBig ˙ E N ( E ) parenrightBig = Q ( E ) − N ( E ) T ( E ) (5 . 3 . 1) Hier ist Q ( E ) die Quellrate, T ( E ) die Zeitskala f¨ur katastrophale Verluste und ˙ E die Rate kontinuierlicher Energie¨anderung, die f¨ur Gewinne positiv ist und f¨ur Verluste negativ. Wie sieht eine allgemeine L¨osung von Gl.5.3.1 aus? Schreiben wir zun¨achst die Differ- entialgleichung in anderer Form, indem wir mit ˙ E multiplizieren und f¨ur die Funktion F ( E ) = ˙ E N ( E ) l¨osen. ˙ E ∂ ∂E F ( E ) = ˙ E Q ( E ) − F ( E ) T ( E ) = ∂ ∂τ F ( E ) mit τ = integraldisplay E dE ′ ˙ E (5 . 3 . 2) wobei wir die Zeitskala τ f¨ur kontinuierliche Energie¨anderungen eingef¨uhrt haben. Es liegt jetzt nahe, den modifizierten Quellterm in Gl.5.3.2 einem Differential gleichzusetzen, so daß trivial integriert werden kann. Hierzu benutzen wir den integrierenden Faktor α ( E ), mit dem wir Gl.5.3.2 multiplizieren. Außerdem gilt ∂ ∂τ [ α ( E ) F ( E )] = α ( E ) ∂ ∂τ F ( E ) + F ( E ) ∂ ∂τ α ( E ) (5 . 3 . 3) Offensichtlich muß jetzt gelten ∂ ∂τ α ( E ) = α ( E ) 1 T ( E ) ⇒ α ( E ) = exp parenleftBigg integraldisplay τ dτ ′ T ( E ) parenrightBigg = exp parenleftBigg integraldisplay E dE ′ T ( E ′ ) ˙ E ( E ′′ ) parenrightBigg (5 . 3 . 4) Aus Gl.5.3.2 wird dann ∂ ∂τ ( α ( E ) F ( E )) = α ( E ) ˙ E Q ( E ) ⇒ α ( E ) F ( E ) = integraldisplay E dE ′ α ( E ′ ) Q ( E ′ ) (5 . 3 . 5) Zusammengefasst erh¨alt man also f¨ur...
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This note was uploaded on 02/29/2012 for the course PHYS 227 taught by Professor Rabe during the Fall '08 term at Rutgers.

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