23 - Phénomènes de transfert - Cours

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Unformatted text preview: Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS CH.23 : PHENOMENES DE TRANSFERT Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe) ********************** I. DIFFUSION DE PARTICULES ....................................................................................................... 1 I.1. I.2. I.3. I.4. I.5. I.5.1. I.5.2. II. ASPECT QUALITATIF DES PHENOMENES DE DIFFUSION ......................................... 1 LOI DE CONSERVATION DES PARTICULES................................................................... 2 LOI DE FICK ; EQUATION DE DIFFUSION ...................................................................... 2 CAS PARTICULIER : REGIME STATIONNAIRE .............................................................. 3 ASPECT MOLECULAIRE DE LA DIFFUSION PARTICULAIRE..................................... 4 Libre-parcours-moyen.......................................................................................................... 4 Coefficient de diffusion D ................................................................................................... 4 DIFFUSION THERMIQUE............................................................................................................. 5 II.1. APPROCHE MICROSCOPIQUE ........................................................................................... 5 II.2. EQUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE.................................................................. 6 II.2.1. Flux thermique et vecteur « densité de flux thermique »..................................................... 6 II.2.2. Bilan d’énergie interne ; équation locale de conservation de l’énergie ............................... 6 II.2.3. Loi de Fourier ; équation de la chaleur ................................................................................ 7 II.3. SOLUTIONS PARTICULIERES DE L’ EQUATION DE DIFFUSION............................... 8 II.3.1. Régime stationnaire, sans terme de production locale......................................................... 8 II.3.2. Régime sinusoïdal forcé d’un système unidimensionnel..................................................... 8 II.3.3. Conditions aux limites ....................................................................................................... 10 III. RAYONNEMENT THERMIQUE ................................................................................................. 10 III.1. III.1.1. III.1.2. III.1.3. III.2. III.2.1. III.2.2. III.2.3. III.3. III.3.1. III.3.2. RAYONNEMENT D’ EQUILIBRE ................................................................................. 10 Définition ........................................................................................................................... 10 Bilan énergétique pour l’interaction matière-rayonnement ............................................... 10 Corps noir........................................................................................................................... 10 LOIS DU RAYONNEMENT THERMIQUE ................................................................... 11 Loi de Planck ..................................................................................................................... 11 Loi de Wien du déplacement ............................................................................................. 11 Loi de Stefan ...................................................................................................................... 11 RAYONNEMENT D’ UN CORPS NOIR ........................................................................ 12 Flux émis par un corps noir isotherme............................................................................... 12 Corps noir isotherme convexe recevant un rayonnement d’équilibre ............................... 12 ********************** I. DIFFUSION DE PARTICULES Remarque préliminaire I.1. : ce paragraphe concerne les étudiants des filières PC et PSI. ASPECT QUALITATIF DES PHENOMENES DE DIFFUSION • De manière générale, les phénomènes de diffusion concernent des systèmes hors équilibre ; des hétérogénéités (de température, de vitesse, de concentration pour ce qui est de ce paragraphe) vont entraîner un transfert (d’énergie, de quantité de mouvement, de particules) d’une région du système vers une autre : ces transferts sont une manifestation du Second Principe de la thermodynamique, de son aspect probabiliste. Ils sont à l’origine de l’irréversibilité de ces phénomènes. Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS • En ce qui concerne la diffusion particulaire, elle ne peut avoir lieu que dans un fluide, contrairement à la diffusion thermique qui peut être à l’œuvre dans un solide. • Les phénomènes de diffusion sont souvent en « concurrence » avec les phénomènes de convection : un sel en solution aqueuse peut être « transféré » d’une région plus concentrée vers une région moins concentrée par diffusion seule (dans ce cas, les particules du fluide « support », l’eau dans l’exemple choisi, ont un déplacement moyen nul), ou bien le processus peut être accéléré par un mouvement d’ensemble des particules du fluide servant au transfert (on parle alors de « transport convectif »). Il est clair que les solides ne sont pas concernés par les phénomènes de convection ; nous n’aborderons ces derniers qu’au travers des exercices. I.2. LOI DE CONSERVATION DES PARTICULES • Nous allons étudier un cas unidimensionnel (les grandeurs étudiées ne dépendront spatialement que de la variable cartésienne x) et effectuer un bilan de particules sur le volume élémentaire ci-dessous : r jD ( x + dx, t ) r j D ( x, t ) S Il contient un nombre de particules dN(t). x x Le volume est un cylindre de section S, de longueur dx. r j D ( x, t ) représente la densité de flux de particules en x. x+dx r r −2 −1 L’orientation de jD = jD ex (qui s’exprime en m .s ) est telle que le flux est algébriquement entrant au niveau de x, et sortant en x+dx. • Nous allons nous intéresser à la variation temporelle du nombre de particules dans le cylindre ; on a : δ N = n( x, t ) Sdx ⇒ d (δ N ) d [n( x, t ) Sdx] ∂n( x, t ) = = × Sdx . dt dt ∂t δN contenues Par ailleurs, il convient de distinguer 2 causes de variation du nombre de particules : ♦ le flux de particules entrant ou sortant à travers les « frontières » du cylindre : le terme correspondant sera le terme de « transfert ». ♦ la création ou la disparition de particules au sein même du système choisi : le terme correspondant sera dit de « production locale » (avec une nature algébrique). Nous noterons p (en m −3 ) la production volumique de particules. Rq : dans un réacteur nucléaire, les particules peuvent être les neutrons libres : une production positive correspond aux réactions de fission, et une production négative correspond aux absorptions des barres de contrôle en bore). • Le bilan s’écrit donc : ∂n( x, t ) ∂j ( x, t ) × Sdx = jD ( x, t ) × S − jD ( x + dx, t ) × S + p × Sdx = − D × Sdx + p × Sdx (pour dx → 0 ). ∂t ∂x ∂n( x, t ) ∂j ( x, t ) =− D +p (1) Il vient donc : ∂t ∂x I.3. LOI DE FICK ; EQUATION DE DIFFUSION • Pour des situations où les densités particulaires ne sont ni trop faibles (la notion statistique de densité devenant délicate à utiliser), ni trop élevées (les interactions à très courte distance deviennent prépondérantes et doivent être modélisées autrement), on admet la validité de la loi « phénoménologique » de Fick, qui postule un lien LINEAIRE entre la cause (la non homogénéité de la densité particulaire) et l’effet (l’apparition d’un courant de particules), soit : Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS uuuuu r r jD = − D × gradn où D (en m 2 .s1 ) est le « coefficient de diffusion ». Rq1 : dans un cas unidimensionnel, on a : r ∂n( x, t ) r jD = − D × ex ∂x Rq2 : le signe moins est la traduction mathématique du second principe qui stipule que, pour une évolution spontanée, le courant particulaire est dirigé des régions les plus concentrées vers les moins concentrées, donc dans le sens contraire du gradient de concentration. • En reportant dans la relation (1), on obtient : ∂n( x, t ) ∂ 2 n( x, t ) = D× +p ∂t ∂x 2 (2) = « équation de la diffusion particulaire » Rq : comme signalé dans le paragraphe 1.1, nous retrouverons cette équation de type diffusion dans d’autres domaines de la physique ; au travers des exercices, nous rencontrerons différentes solutions de cette équation, solutions qui dépendent fortement des conditions aux limites. Signalons également que changer t en –t ne laisse pas invariante une équation de diffusion : d’un point de vue mathématique, ceci est à l’origine de l’irréversibilité des phénomènes de diffusion (contrairement à la propagation, régie par une équation de type D’Alembert). I.4. CAS PARTICULIER : REGIME STATIONNAIRE • Prenons un cas simple où il n’y a pas de production locale de particules ( Alors : • Par ∂ 2n = 0 ⇒ n( x ) = ax + b . ∂x 2 hypothèse, le milieu n( x = 0) = n1 et: n( x = L ) = n2 ⇒ extérieur impose n( x) = n1 + n2 − n1 x L les conditions et : p = 0 ) et où : aux jD = − D limites ∂n =0 ; ∂t suivantes : ∂n n −n = cste = D 1 2 ∂x L ⇒ le « profil » de la densité de particules est alors linéaire. Rq1: la résolution de l’équation de diffusion n’est particulièrement simple que dans le cas précédent ; dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, on pourra considérer que ∂n n (t ) − n1 (t ) ≈ 0 , mais les constantes d’intégration dépendront du temps : n( x, t ) = n1 (t ) + 2 x ∂t L Rq2 : pour se placer dans l’ARQS, il faut que le temps caractéristique de l’évolution temporelle de n1 (t ) et n2 (t ) soit grand devant celui du phénomène de diffusion τ D . Il est donc commode de relier τ D à une distance caractéristique du phénomène étudié (dans l’exemple précédent, il s’agit de L) ; reprenons l’équation (2) avec p=0, il vient : ∂n( x, t ) ∆n ∂ 2 n ( x, t ) ∆n 2 ≈ = D× ≈ D 2 ⇒ L ≈ D × τ D (on pourra se reporter à l’exercice 23.2). 2 ∂t τD ∂x L ( ∆n représente une variation « typique » de n , par exemple n2 − n1 ) Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS I.5. ASPECT MOLECULAIRE DE LA DIFFUSION PARTICULAIRE I.5.1. Libre-parcours-moyen • Nous allons nous intéresser à des molécules (sphères « dures » de rayon RD ) d’un gaz (densité n( x, t ) ) qui diffuse dans un gaz « cible » (densité nC = cste ), constitué de molécules (sphères dures de rayon RC ) fixes dans le référentiel du labo. particulaire • Considérons le schéma ci-dessous : molécule diffusée molécule cible RD + RC On appellera "section efficace de choc" la grandeur: σ = π ( RD + RC ) 2 r ex Le « libre-parcours-moyen » (noté L pm ) est la distance moyenne parcourue par une molécule diffusée entre 2 chocs consécutifs avec des molécules cibles ; on peut dire qu’en moyenne, il y a une molécule cible dans un cylindre droit de longueur L pm et de section σ , alors : L pm = nC × σ × Lpm = 1 ⇒ 1 1 = nC × σ nC × π ( RC + RD ) 2 L pm , considérons le gaz cible comme parfait (même si ses Rq1 : pour un ordre de grandeur de molécules ne sont pas ponctuelles…) ; P = nC k BT ⇒ dans les conditions usuelles de température −10 m , il vient : L pm ≈ 10−7 m (petit à notre échelle, mais grand et de pression, et avec RC ≈ RD ≈ 10 devant les dimensions des molécules). Rq2 : il peut être utile d’évaluer le temps moyen qui sépare 2 chocs consécutifs, soit L pm t pm = vqm t pm ; on a : ≈ 10 −10 s, pour vqm ≈ quelques 102 m.s −1. I.5.2. Coefficient de diffusion D • Dans ce paragraphe, nous allons relier le coefficient de diffusion au libre-parcours-moyen et à la vitesse quadratique moyenne ( vqm ) définie par : S x − Lpm Page 4 x x + Lpm 1 2 3 mvqm = k BT (cf. chapitre 18). 2 2 Nous allons évaluer le nombre de particules pouvant traverser une section S pendant un temps dt petit par rapport aux constantes de temps des phénomènes de diffusion, mais grand par rapport à la durée moyenne entre 2 chocs consécutifs d'une molécule diffusée avec des molécules cibles. Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS Pour simplifier les calculs, nous supposerons que toutes les molécules susceptibles de traverser la section S, à l’abscisse x, ont eu leur dernier choc à l’instant commun t : ainsi, pendant une durée t pm , les molécules situées entre les abscisses x − L pm et x + L pm peuvent franchir la section considérée sans subir de choc, donc sans être perturbées dans leur mouvement. Encore faut-il r que leur vecteur-vitesse soit dirigé selon ± ex : nous admettrons qu’environ une molécule sur 6 se dirige selon r r + ex (idem pour −ex ). • Enfin, nous ferons l’hypothèse qu’entre vaut x et x + Lpm , la densité moyenne de particules diffusées n( x + L pm , t ) ( n( x − Lpm , t ) entre x et x − L pm ) ; pendant la durée t pm , le nombre de particules δ N pm algébrique qui traversent la section S dans le sens positif a pour expression : Sv 1 δ N pm = [n( x − L pm , t ) SLpm − n( x + Lpm , t ) SLpm ] = qm [n( x − L pm , t ) − n( x + Lpm , t )] × t pm 6 6 • En recommençant le raisonnement sur des durées t pm successives et en sommant sur toutes ces durées t pm jusqu’à dt (on rappelle que sur dt, n( x, t ) a peu varié), on a accès au nombre de particules franchissant la section S pendant un temps dt, soit : δ N dt = Svqm 6 [n( x − L pm , t ) − n( x + Lpm , t )] × dt = − Svqm L pm × ∂n ∂x 3 ∂n( x, t ) ∂n( x, t ) ( avec n( x + L pm , t ) ≈ n( x, t ) + Lpm × et : n( x − Lpm , t ) ≈ n( x, t ) − L pm × ) ∂x ∂x • La densité surfacique de flux de particules vaut donc : j D ( x, t ) = vqm L pm ∂n( x, t ) 1 δ N dt × =− × S dt 3 ∂x Par identification avec la loi de Fick, il vient : • En remplaçant vqm par D= L pm × vqm 3 3k BT 1 k BT , et L pm par = , on arrive à : 2 π P( RC + RD ) 2 m nCπ ( RC + RD ) D= (k BT )3/ 2 3m × π P ( RC + RD )2 Rq : nous retiendrons que pour un gaz, la diffusion est favorisée par l’agitation thermique et défavorisée par une élévation de la pression. II. DIFFUSION THERMIQUE II.1. APPROCHE MICROSCOPIQUE • Dans les fluides : comme signalé en introduction, la diffusion thermique résulte de la non homogénéité de l’agitation moléculaire, c’est-à-dire de la non uniformité du nombre de chocs par unité de temps et de volume. Conformément au Second Principe, on observe un transfert d’énergie interne. Pour parler de diffusion pure, il faut que les molécules de fluide n’aient que des déplacements microscopiques : si l’on observe des mouvements macroscopiques de groupes de molécules (« ascendances » thermiques dans l’atmosphère ou au-dessus d’un radiateur, par exemple), il y aura compétition avec des phénomènes de convection (quand on ne peut pas privilégier une forme de transfert par rapport à une autre, on parlera de « phénomènes conducto-convectifs »). Page 5 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS • Dans les solides : seule la diffusion y est possible. Elle est assurée par 2 mécanismes : ♦ l’ énergie peut être transportée par les électrons libres, et cédée lors des « chocs » avec les autres électrons ou les ions du réseau cristallin : ce mécanisme n’est possible que dans les conducteurs électriques. Il est alors prépondérant, ce qui explique que les bons conducteurs électriques sont de bons conducteurs thermiques. ♦ le transport peut aussi se faire par les vibrations du réseau (atomique ou ionique) ; on parlera alors « d’onde thermique » (quand on chauffe l’extrémité d’une barre, on augmente l’amplitude des oscillations des atomes ou ions de la première couche, qui « sollicitent » davantage ceux de la deuxième couche etc…comme dans le cas d’une onde mécanique : la différence majeure est le caractère plus désordonné, plus « entropique » de l’onde thermique). C’est ce mécanisme qui est à l’œuvre dans les isolants électriques. II.2. EQUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE II.2.1. Flux thermique et vecteur « densité de flux thermique » • Plaçons-nous dans un cas où le système n’échange pas de travail avec le milieu extérieur et où il n’y a pas de phénomènes convectifs ; par analogie avec le flux (ou le débit) de charges électriques ( i = dq / dt ), nous définirons le « flux thermique » ou « puissance thermique » ou « courant thermique », à travers une surface (S), la grandeur : Φ th = Pth = I th = dU dt où dU est l’énergie interne traversant (S) pendant un temps dt Φ th est de rappeler comment calculer ce flux à partir de la densité de flux ; celui de P est de rappeler son unité, le watt ; celui de I th est de faciliter les analogies th Rq : l’avantage de la notation avec l’électrocinétique. • On peut alors définir le vecteur r jth = « densité de flux thermique » (ou de puissance thermique, ou de courant thermique) selon : r r Φ th = ∫∫ jth ⋅ dS S Rq : (en W .m−2 ) r jth représente donc l’énergie, de forme thermique, traversant une surface de 1 m 2 , pendant une durée de 1 seconde. • Dans le cas d’une surface fermée, nous serons amenés à l’orienter vers l’extérieur (utilisation du théorème de Green-Ostrogradski), tout en souhaitant calculer le flux thermique entrant dans le volume délimité par (S) ; on écrira alors : II.2.2. Bilan d’énergie interne ; équation locale de conservation de l’énergie r dS (V) Page 6 U(t) r r Φth =−∫∫S jth ⋅dS (S) On considère une "surface de contrôle" (S), délimitant un "volume de contrôle", de coordonnées fixes dans le référentiel d'étude. Examinons les causes de variation temporelle de l'énergie interne U(t) contenue dans (V): Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS • En l’absence de travail échangé, le Premier Principe permet d’écrire : dU T P = Pth + Pth dt • En notant T Pth = puissance thermique reçue par TRANSFERT à travers la surface (S) où : P Pth = puissance thermique PRODUITE localement au sein du volume (V) p( x, y, z , t ) la puissance volumique (en W .m−3 ) créée au sein du système (par effet Joule, à la suite de réactions nucléaires…), on peut écrire : Par ailleurs : r r r PthT =−∫∫S jth ⋅dS =−∫∫∫V divjth×dτ dU = CV dT + Enfin : P Pth = ∫∫∫ p × dτ V ∂U × dV = CV dT , puisque, par définition, le volume de contrôle est fixé. ∂V T CV est la capacité thermique du volume (V), que l’on peut mettre sous la forme : CV = ∫∫∫ ρ cV dτ , où ρ ( x, y , z ) est la masse volumique du système, et cV sa capacité thermique V massique (par hypothèse, ces 2 grandeurs ne dépendront pas du temps). dU ∂T ( x, y, z , t ) = ∫∫∫ ρ ( x, y , z )cV ( x, y, z ) × × dτ (U ne dépend que de t, mais pas T) V dt ∂t r ∂T • Il vient alors : ∫∫∫ ρ cV dτ = ∫∫∫ pdτ − ∫∫∫ divjth × dτ V V V ∂t Cette relation étant vérifiée ∀ (V), aussi petit que l’on veut, on obtient : D’où : ρ cV r ∂T = − divjh + p ∂t II.2.3. (3) = « équation locale de conservation de l’énergie interne » Loi de Fourier ; équation de la chaleur • Comme dans le paragraphe I.3, nous allons postuler un lien linéaire entre la cause (l’existence d’un gradient thermique) et l’effet (l’apparition d’un courant thermique) ; c’est la loi phénoménologique de Fourier, qui s’écrit : uuuuu r r jth = −λ × gradT où λ est la conductivité thermique, en W .m−1.K −1 . Rq1 : le signe « moins » traduit mathématiquement le Second Principe : spontanément, le transfert thermique se fait selon les températures décroissantes. Rq2 : cette loi est analogue à la loi de Fick (pour la diffusion particulaire), et à la loi d’Ohm, r ∂A (on a négligé le terme en − ). ∂t −1 −1 Rq3 : on peut donner quelques valeurs de conductivité thermique, en W .m .K : λ (argent) = 418 ; λ (eau) = 0, 6 ; λ (air) = 0, 024 ; λ (polystyrène expansé) = 3,9.10−3 uuuuu r r r dans l’ARQP, où l’on a : jelec = γ E = −γ gradV (qualitativement, on retiendra que l’air est bien moins bon conducteur thermique que l’eau). • On peut maintenant injecter la loi de Fourier dans l’équation (3) ; on remarquera d’abord que : uuuuu r r divjth = div(−λ gradT ) = −λ∆T , à condition que le conducteur soit homogène du point de vue conductivité. Il vient enfin : ρ cV Page 7 ∂T = λ∆T + p ∂t Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS II.3. SOLUTIONS PARTICULIERES DE L’ EQUATION DE DIFFUSION II.3.1. Régime stationnaire, sans terme de production locale • Système quelconque : ∂T = 0 et: p = 0 ∂t ⇒ ∆T = 0 On obtient une équation de Laplace, dont les solutions (parfois connues, cf. électrostatique) sont variées, pas toujours analytiques et dépendent des conditions aux limites. • Système unidimensionnel, coordonnées cartésiennes : c’est le seul cas vraiment simple : T1 Il correspond à une barre mince, calorifugée latéralement , portée en chacune de ses extrémités, à une température maintenue constante (ça peut être également un mur dont 2 dimensions sont très supérieures à la troisième). On a alors: T2 (λ ) O L x d 2T = 0 ⇒ T ( x) = ax + b (en admettant que la température varie peu radialement) ⇒ dx 2 T2 − T1 T2 − T1 en tenant compte des conditions aux limites : T ( x ) = x + T1 et : jth = −λ = cste L L ∆T = 0 ⇒ • Résistance thermique : en appelant S la section de la barre (ou d’un tronçon de mur), la puissance thermique traversant le système est donnée par : r r r r I th = ∫∫ jth ⋅ dS = jth × S , puisque jth et dS sont colinéaires, et que jth est constant ; il vient : S λS L I th = (T1 − T2 ) ou: T1 − T2 = × I th ⇒ on fera une analogie avec l’électrocinétique : L λS T ↔ V (= grandeur potentielle ; c’est aussi la cause) I th ( = Φth = Pth ) ↔ I élec (= grandeur cinétique, correspondant à un débit, d’énergie ou de charges ; c’est aussi l’effet). On posera donc : Rth = T1 − T2 L = λS I th (= résistance thermique, en K .W −1 ) Rq1 : l’expression est absolument identique à celle de la résistance électrique d’un tronçon de conducteur droit, la conductivité thermique jouant le rôle de la conductivité électrique (il en va autrement pour la résistance hydraulique d’une canalisation, cf. chapitre 31, programme PC-PSI). Rq2 : une étude similaire à celle menée en électrocinétique montre que des résistances thermiques en série (exemple du double vitrage, où chaque élément du « sandwich » est traversé par le même courant thermique) s’ajoutent, alors qu’en parallèle, ce sont leurs inverses qui s’ajoutent. II.3.2. Régime sinusoïdal forcé d’un système unidimensionnel • Même si les variations climatiques au niveau du sol (cycle journalier ou annuel) sont loin d’être harmoniques, l’étude d’un système en RSF est intéressante, car tout régime variable peut être considéré comme la superposition de régimes sinusoïdaux (analyse de Fourier). Page 8 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS • Considérons un demi-espace (le sol) situé dans les z ≥ 0 : il est caractérisé par une masse ρ , une conductivité thermique λ et une capacité thermique massique cV . A la surface, la température varie suivant la loi : T ( z = 0, t ) = T0 + θ 0 cos ω t ( T0 représente la température moyenne à la surface du sol et θ 0 l’amplitude des variations de volumique température au même endroit). • En l’absence de production locale de chaleur, l’équation de la diffusion thermique s’écrit : ∂T ( z , t ) λ ∂ 2T ( z , t ) ∂θ ( z , t ) λ ∂ 2θ ( z , t ) = × = × ou : , avec : θ ( z , t ) = T ( z , t ) − T0 ∂t ρ cV ∂z 2 ∂t ρ cV ∂z 2 ( θ ( z , t ) est donc une grandeur à valeur moyenne nulle, pratique pour passer en complexe). • Comme pour « l’effet de peau » électromagnétique (exercice 29.2), nous allons utiliser la notation complexe et chercher des solutions (stables temporellement) sous la forme : θ ( z , t ) = f ( z )eiω t ⇒ on obtient : d 2 f ( z ) i ρ cV ω f ( z ) = 0 ⇒ f ( z ) est en erz . − 2 dz λ Les solutions de l’équation caractéristique donnent : r=± 1+ i , avec : δ = δ 2λ ρ cV ω • On élimine la solution qui diverge pour z → ∞ , on repasse en réel et l’on affirme la continuité de la température en z=0 ; en final, il vient : T ( z , t ) = T0 + θ 0 exp(− z / δ ) cos(ω t − z / δ ) Rq1 : on obtient donc une pseudo-OPPM de diffusion thermique, de vitesse de phase : vϕ = ωδ = 2λω ⇒ le sol est donc dispersif vis-à-vis des ondes thermiques ( vϕ dépend de ω ). ρ cV Rq2 : δ s’exprime en mètres, et est appelée « épaisseur de peau thermique » ; à une profondeur de 3δ dans le sol, l’amplitude des variations de température n’est plus que de 0, 05 × θ 0 . Il est donc intéressant d’évaluer numériquement δ : ♦ variations journalières de T : pour un sol « typique » : ♦ variations annuelles de T : on multiplie δ J par δ J ≈ 9cm 365 ⇒ δ A ≈ 1, 7m ⇒ on peut dire qu’à 5 mètres de profondeur, la température est pratiquement constante tout au long de l’année (= « effet de cave »). Rq3 : si l’on compare la peau thermique δ th = On constate une analogie (dépendance en comme le produit 2λ à la peau électromagnétique δ em = ρ cV ω 2 µ0γω ω −1/ 2 , µ0 caractérise le milieu de propagation ρ cV ), mais la conductivité ne joue pas le même rôle : en fait, il est logique que plus le sol est un bon conducteur thermique, plus la profondeur de pénétration de l’onde thermique est grande (si λ = 0, δ = 0 ) ; en revanche, meilleure est la conductivité électrique, moins l’onde électromagnétique pourra pénétrer dans le conducteur, ce qui peut paraître surprenant : il ne faut pas oublier la loi de Lenz (plus λ est grande, plus l’effet pourra s’opposer à la cause qui lui a donné naissance…). Donc si deux phénomènes physiques sont régis par la même équation différentielle (obtenue par « combinaison » d’équations propres à chacun des phénomènes étudiés), la forme des solutions sera identique, mais l’analogie que l’on peut en tirer peut n’être que partielle. Page 9 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS II.3.3. Conditions aux limites Nous serons amenés à utiliser 2 types de conditions : ♦ continuité de la température : ce sera toujours le cas pour le contact solide-solide ; en revanche, dans le cas du contact solide –fluide (avec phénomènes conducto-convectifs, voir l’exercice 23.7), nous considérerons que la température du fluide est mal définie (à cause des turbulences) au voisinage du solide, et que ce qu’on appellera « température du fluide » n’est définie que dans la région où il sera à l’équilibre (région non en contact avec le solide). ♦ continuité du flux thermique : dans l’impossibilité d’une accumulation d’énergie au niveau d’une surface, on pourra appliquer cette relation de continuité de part et d’autre d’une surface de contact entre 2 milieux quelconques (solides ou fluides). III. RAYONNEMENT THERMIQUE Remarque préliminaire : ce paragraphe concerne exclusivement les étudiants de la filière MP. III.1. RAYONNEMENT D’ EQUILIBRE III.1.1. Définition • L’origine du rayonnement thermique est le mouvement des charges électriques de la matière (rayonnement d’accélération, chapitre 29) : le spectre d’émission est continu, la fréquence augmentant avec la température (à température ambiante, on est dans le domaine des I.R). • Le rayonnement d’équilibre est émis par un système en équilibre thermodynamique à la température T (une source laser n’est pas à l’équilibre thermique et les propriétés de l’émission seront différentes). III.1.2. Bilan énergétique pour l’interaction matière-rayonnement Φ i (en W) ; on peut écrire : Φ i = Φ a + Φ r + Φ t ( Φ a = flux absorbé par le corps; Φ r = flux réfléchi ; Φ t = flux transmis). • Considérons un corps recevant un flux de rayonnement thermique incident • Un corps transparent sera défini par : un corps opaque est caractérisé par : Φ r = Φ a =0 ⇒ Φ i = Φ t Φ t =0 ⇒ Φi = Φ a + Φ r • Par ailleurs, le corps peut, de lui-même, émettre un flux Φ e ; on définit alors le « flux Φ R , relatif au corps opaque considéré, comme le flux total algébrique SORTANT du corps ; alors : Φ R = Φ e + Φ r − Φ i = Φ e − Φ a radiatif » • Un corps opaque sera en équilibre radiatif avec le champ de rayonnement environnant si l’on a la relation : ΦR = 0 ⇔ Φe = Φa III.1.3. Corps noir • Un corps noir est un corps qui absorbe tout le rayonnement incident ( Φ i = Φ a ), quelle que soit la longueur d’onde incidente et quelle que soit la direction incidente (par rapport à un corps opaque, on a la relation supplémentaire : Φ r =0). • Une enceinte, dans laquelle on a aménagé une petite ouverture et possédant des parois absorbantes, peut être modélisée par un corps noir. Page 10 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS III.2. LOIS DU RAYONNEMENT THERMIQUE D’ EQUILIBRE III.2.1. Loi de Planck • Considérons une enceinte à l’équilibre thermique avec le rayonnement quelle contient. On −3 notera u = « densité volumique d’énergie de rayonnement » (en J .m ) ; du sera la contribution de la bande de longueurs d’onde ( λ , λ + d λ ) à l’énergie volumique totale et l’on écrira : du = uλ d λ uλ (λ , T ) est la « densité SPECTRALE d’énergie volumique », en J .m −4 . où • On montre que : u λ (λ , T ) = 8π hc × λ5 1 hc exp −1 k BT λ h = cste de Planck = 6,63.10-34 J .s −1 k B = cste de Boltzmann = 1,38.10−23 J .K −1 c = célérité de la lumière = 3.108 m.s −1 • En outre, le rayonnement d’équilibre est ISOTROPE ; enfin, si l’on s’intéresse à une portion de surface s de l’enceinte (considérée comme un corps opaque récepteur), on peut calculer le flux reçu par cet élément pour la bande de longueurs d’onde ( λ , λ + d λ ), soit : ϕ λ (λ , T ) = avec : III.2.2. 2π hc 2 × λ5 1 −3 = « flux surfacique spectral », en W .m . hc exp − 1 k BT λ Loi de Wien du déplacement • Pour une température donnée, on peut déterminer la longueur d’onde maximum : d Φ = ϕ λ sd λ ∂uλ ∂λ =0 λM rendant uλ (λ , T ) λM × T = 2898µ m.K ⇒ T • La loi de Wien est très pratique pour calculer rapidement la longueur d’onde correspondant au maximum de flux spectral ; ainsi, pour le Soleil dont la température de surface TS ≈ 6000 K , on λM ≈ 0, 5µ m , ce qui correspond à du jaune. trouve III.2.3. Loi de Stefan • On peut alors calculer le flux total reçu par l’élément de surface s (soumis à un rayonnement d’équilibre), en sommant les contributions de toutes les fréquences : on en déduit le flux surfacique total : ∞ ∞ 0 0 ϕ (T ) = ∫ ϕ λ (λ , T )d λ = ∫ ϕ (T ) = 2π hc 2 × λ5 1 hc exp k B λT 4 2π k B 4 ∞ x3 T ∫ dx ; or : 0 exp x − 1 h3c 2 ϕ (T ) = σ T 4 avec : σ= ∫ ∞ 0 −1 d λ ⇒ en posant x = ∞ Φ(T ) = s ∫ ϕ λ (λ , T )d λ ; 0 hc , il vient : k B λT 4 x3 π4 2π 5 k B 4 dx = ⇒ ϕ (T ) = T ; on écrira : exp x − 1 15 15h3c 2 4 2π 5 k B = 5, 67.10−8W .m−2 .K −4 15h3c 2 = cste universelle de Stefan Rq : ce flux d’équilibre ne dépend que de T, et non de la nature du corps opaque considéré. Page 11 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT COURS III.3. RAYONNEMENT D’ UN CORPS NOIR III.3.1. Flux émis par un corps noir isotherme • Considérons un corps noir isotherme en équilibre radiatif avec un rayonnement. On sait que : Φ R = 0 ⇒ Φ e = Φ a ; par ailleurs, pour un corps noir : Φ i = Φ a ⇒ Φ i = Φ a = Φ e ⇒ un corps noir en équilibre radiatif émet tout le rayonnement qu’il absorbe, ceci sur toute l’étendue du spectre. • Pour un équilibre thermique entre le rayonnement incident et le corps noir, les flux précédents obéissent à la loi de Planck ; quant aux densités de flux, on peut écrire en particulier : ϕi = ϕ a = ϕe = σ T 4 Rq : un volume est convexe si le plan tangent en tout point de la surface extérieure ne recoupe pas cette surface : le flux émis est alors de la forme Φ e = ϕ e × S = σ T 4 × S (si le corps n’est pas convexe, une partie du flux émis peut être réabsorbé). III.3.2. Corps noir isotherme convexe recevant un rayonnement d’équilibre • On considère un corps noir isotherme convexe, de température T et de surface S , placé dans une enceinte où règne un rayonnement d’équilibre de température T0 ; on peut appliquer la loi de Stefan pour calculer le flux radiatif : Φ R = Φ e − Φ a = σ (T 4 − T04 ) S Rq1 : en l’absence d’autres transferts thermiques, et en appelant C la capacité thermique du corps noir, on peut appliquer le Premier Principe à ce dernier pour obtenir : dT σ S 4 + (T − T04 ) = 0 dt C 4 4 3 (si T et T0 sont proches, on peut poser : T = T0 + θ , avec θ pp T0 ; alors : T − T0 ≈ 4T0 ×θ et l’équation différentielle précédente devient linéaire, ce qui permet de déterminer θ (t ) ). dU = δ Qreçu = −Φ R dt = −σ (T 4 − T04 ) Sdt = CdT ⇒ Rq2 : le corps noir n’est qu’un modèle, qui n’a pas dexistence physique sur toute l’étendue du spectre ; en revanche, il peut rendre compte des propriétés d’un corps réel sur une bande de longueurs d’onde ( λ1 , λ2 ) de largeur finie. ******************* Page 12 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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This note was uploaded on 03/18/2012 for the course PHYS 101 taught by Professor M.dupont during the Spring '12 term at Paris Tech.

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