23.4 - Solides isolés reliés par une résistance thermique

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Unformatted text preview: Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE -EXERCICE 23.4• ENONCE : « Solides isolés reliés par une résistance thermique » Rth S1 S2 On considère 2 solides de même capacité thermique C. Leur conductivité thermique est très grande, de sorte que la température de chacun d'eux est uniforme. Ils sont reliés par un corps de résistance thermique Rth et de capacité thermique négligeable. L’ensemble est isolé du milieu extérieur et les solides températures initiales S1 et S 2 sont respectivement portés aux T10 et T20 . Déterminer les lois d’évolution des températures des solides, soit Page 1 Christian MAIRE T1 (t ) et T2 (t ) . EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE • CORRIGE : « Solides isolés reliés par une résistance thermique » • L’ensemble est isolé ⇒ le 1er Principe appliqué au système constitué par les 2 solides donne : dU = 0 = CdT1 + CdT2 ⇒ T1 (t ) + T2 (t ) = cste = T10 + T20 (1) • Dans le cours, nous avons vu qu’en régime permanent (et en l’absence de production locale de chaleur) la puissance thermique traversant un corps de résistance thermique Rth était conservative et qu’elle pouvait se calculer par : Pth = T1 − T2 (orientation de S1 vers S 2 ). Rth Ici, le régime n’est pas permanent et dans l’application du 1er Principe au corps qui relie les deux solides, il faudrait faire intervenir un terme supplémentaire en Ccorps dT (la puissance qui sortirait du corps du côté S2 serait différente de celle entrant du côté S1 ) ; or, Ccorps ≈ 0 ⇒ du point de vue du corps, tout se passe comme en régime permanent. • Le 1er Principe appliqué à S1 fournit : (il faut un signe « moins » car De même pour S2 : dU1 dT (t ) T (t ) − T2 (t ) = C 1 = − Pth = − 1 dt dt Rth Pth sort algébriquement de S1 ) dU 2 dT (t ) T (t ) − T2 (t ) = C 2 = Pth = 1 dt dt Rth En faisant (2) – (3), il vient : (2) (3) d (T1 − T2 ) 2 + (T1 − T2 ) = 0 ⇒ avec les conditions initiales, on a : dt Rth C T1 (t ) − T2 (t ) = (T10 − T20 ) exp(−t / τ ) avec : τ= Rth C 2 • En combinant avec la relation (1), on aboutit à : T1 (t ) = T10 + T20 T10 − T20 + exp( −t / τ ) 2 2 et : T2 (t ) = T10 + T20 T10 − T20 − exp(−t / τ ) 2 2 Rq1 : conformément au 2nd Principe, le processus prend fin lorsqu’il n’y a plus de gradient thermique : on a bien T1 (∞) = T2 (∞) = T10 + T20 , température qui correspond à la moyenne des 2 températures initiales (pour des capacités thermiques différentes, un calcul à peine plus compliqué donnerait : T (∞ ) = C1T10 + C2T20 ). C1 + C2 Rq2 : on notera bien les analogies avec l’électrocinétique, en particulier au niveau de la constante de temps (où la capacité thermique joue le rôle de capacité électrique, l’une emmagasinant de l’énergie dont le débit est un courant ou puissance thermique, l’autre des charges dont le débit est un courant électrique). Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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