23.7 - Ailette de refroidissement

23.7 - Ailette de refroidissement - Physique PHENOMENES DE...

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Unformatted text preview: Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’ ORAL -EXERCICE 23.7• ENONCE : « Ailette de refroidissement » Te On considère un corps solide (B), qui peut être le boîtier d'un transistor de puissance. Les phénomènes dissipatifs dont il est le siège le portent à une température supérieure à la température ambiante. Pour faciliter le transfert thermique du boîtier vers l'extérieur, on prolonge (B) par un barreau cylindrique mince, de longueur L et de section S. ( B) T0 On prendra S = π a ; par ailleurs, le barreau est suffisamment mince pour que sa température ne dépende que de la variable x, comptée dans le sens de sa longueur. 2 Le régime sera stationnaire. λ ) n’étant pas calorifugée, elle présente des pertes −2 h[T ( x) − Te ] thermiques conducto-convectives égales à : (en W .m ) L’ailette (de conductivité thermique (T(x) est la température locale du barreau et Te est la « température extérieure », suffisamment loin de l’ailette pour que le milieu y soit à l’équilibre thermique et sans turbulences ; h est le coefficient de transfert thermique de surface, en W .m−2 .K −1 ) Rq : cette loi est appelée « loi de Newton », et régit (dans beaucoup de cas) les échanges thermiques complexes entre un solide et un fluide. 1) Déterminer la répartition de température T(x) au sein du barreau. (on pourra poser α= 2) Calculer le rapport λa αh et β = ) 2h λ ρ des puissances évacuées par le corps (B) à travers la surface S = π a , en présence du barreau et sans le barreau : dans ce dernier cas, on supposera que les pertes thermiques de surface du boîtier obéissent à la loi de Newton, avec le même coefficient h que pour le barreau. A quelle inégalité doit satisfaire la grandeur β 2 pour que l’ailette joue pleinement son rôle ? Commenter le résultat obtenu en fonction des paramètres a, h et λ. 3) Compte tenu de la réponse à la question précédente et pour simplifier les calculs, nous allons considérer que L → ∞ . a) Reprendre alors la question 1). b) Calculer de deux manières différentes la puissance PF fournie par le boîtier au barreau. Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’ ORAL • CORRIGE : « Ailette de refroidissement » 1) Remarque préliminaire : le phénomène étudié n’étant pas purement diffusif, il est hors de question d’utiliser directement « l’équation de la diffusion thermique » : il faut effectuer un bilan de puissance sur une tranche de barreau d’épaisseur dx. • 3 puissances sont à considérer : ! ! Pth ( x ) = ∫∫ jth ( x) ⋅ dS = π a 2 × jth ( x) S ! ! ! (car jth et dS sont colinéaires, et jth ( x ) = cste sur la section S) ♦ la puissance entrant en x, ♦ la puissance sortant en x+dx, Pth ( x + dx) = π a 2 × jth ( x + dx) ♦ la puissance perdue latéralement, dPlat = h[T ( x) − Te ]dSlat = h[T ( x) − Te ] × 2π adx dU = 0 = π a 2 [ jth ( x) − jth ( x + dx)] − h[T ( x) − Te ]2π adx dt • L’application de la loi de Fourier et la simplification par π a conduit à : ⇒ en régime permanent : dT dx λa dT dx x x + dx − 2h[T ( x) − Te ] = 0 dx − d 2T ( x) T ( x) − Te − =0 α2 dx 2 ⇒ ⇒ T ( x) = Te + Ach( x / α ) + Bsh( x / α ) • Conditions aux limites : ♦ en x=0 : continuité de la température pour un contact (supposé parfait) entre deux solides : T ( x = 0) = T0 ⇒ A = T0 − Te ♦ en x=L : ici, on ne peut pas affirmer que T ( L) = Te (la région du fluide où T = cste = Te n’est pas au contact direct avec le barreau). En fait, il faut appliquer la continuité du flux thermique à l’extrémité de l’ailette, ce qui donne : Pth ( L− ) = Pth ( L+ ) ⇒ −λ ⇒ dT dx × π a 2 = h[T ( L) − Te] × π a 2 (loi de Fourier en L− , loi de Newton en L+ ) x= L λ − [ Ash( L / α ) + Bch( L / α )] = h[ Ach( L / α ) + Bsh( L / α )] ⇒ α 2) • avec le barreau : sans le barreau : Page 2 Pth ( x = 0) = −λ dT dx ×π a2 = − x =0 Pth ( x = 0) = h(T0 − Te ) × π a 2 Christian MAIRE B = (Te − T0 ) × th( L / α ) + β 1 + β × th( L / α ) λB ×π a2 α ⇒ ρ= B 1 th( L / α ) + β = × β (Te − T0 ) β 1 + β × th( L / α ) EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’ ORAL ρ "1 • pour que l’ailette soit utile, il faut bien sûr que : on a alors : th( L / α ) + β " β + β 2 × th( L / α ) β2 ≺1 ⇒ ⇒ ah ≺2 λ λ sera élevée, plus l’ailette sera efficace. • a et h fixés : plus la conductivité thermique h et λ fixés : en valeur relative, l’amélioration apportée par le barreau sera d’autant plus importante que a sera petit; pour une surface S totale donnée, il est donc préférable d’utiliser plusieurs barreaux minces plutôt qu’un seul plus gros (ce sont ces ailettes de refroidissement que l’on retrouve dans les dissipateurs thermiques des composants électroniques de puissance). a et λ fixés : il faut alors que h soit le plus petit possible ; ceci peut sembler paradoxal : si h est petit, l’ailette évacue difficilement l’énergie thermique (qu’elle a « drainée » par conduction) à travers sa surface latérale et l’amélioration de la dissipation thermique n’est pas évidente. En fait, il ne faut pas oublier que h représente aussi l’aptitude (plus ou moins bonne) du boîtier à évacuer spontanément la chaleur à travers sa surface : le résultat obtenu signifie simplement que plus h est petit, plus il est facile d’améliorer les performances du dispositif à moindre coût (par exemple,en utilisant un barreau dont la conductivité n’est pas nécessairement très élevée). Rq : il est curieux que ρ ne dépende pas de la longueur du barreau L ; mathématiquement, ceci est dû au fait que nous avons confondu le coefficient de dissipation surfacique h du barreau et du boîtier. En pratique, si ces coefficients sont différents mais voisins, L n’est pas un facteur aussi déterminant que a, h ou λ (il n’est pas nécessaire d’utiliser des ailettes de grande longueur, quelques centimètres suffisent). 3) a) L’équation différentielle satisfaite par T(x) est identique ; nous écrirons les solutions sous la forme : T ( x ) = Te + A exp( − x / α ) + B exp( x / α ) • La température devant rester finie lorsque x → ∞ , il vient : B = 0 Par ailleurs, la continuité de T(x) en x=0 donne : Rq : on constate que A = T0 − Te ⇒ T ( x ) = Te + (T0 − Te ) exp(− x / α ) T (∞) = Te , ce qui est logique puisque le milieu extérieur se comporte comme un thermostat et que T ( x) $ pour x % , par dissipation latérale de chaleur. dT b) 1 calcul : PF = P ( x = 0) = −λ th dx ×π a er 2 ⇒ PF = x=0 π a2λ (T0 − Te ) α 2ème calcul : l’aspect stationnaire du régime fait que la puissance entrant dans l’ailette en x=0 est intégralement dissipée à la périphérie de cette dernière ; nous écrirons cette fois : ∞ ∞ 0 0 PF = ∫ h[T ( x) − Te ] × 2π adx = 2π ah(T0 − Te ) × ∫ exp( − x / α )dx ⇒ Rq : pour que les résultats soient identiques, il faut que : l’expression de Page 3 α donnée par l’énoncé, soit α 2 = λa . 2h Christian MAIRE PF = 2π ahα (T0 − Te ) π a 2λ = 2π ahα , ce qui est vérifié pour α EduKlub S.A. 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