235-TR~1 - Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’...

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Unformatted text preview: Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’ ORAL -EXERCICE 23.5• ENONCE : «Transfert thermique d’un fil électrique cylindrique » • Un fil métallique supposé infiniment long, de rayon a, est parcouru par un courant uniforme I ; dans un premier temps, nous noterons p la puissance Joule produite par unité de longueur de fil. Ce dernier est entouré d’une couronne cylindrique (rayon intérieur a, rayon extérieur b) d’isolant électrique, de conductivité thermique λ . • Un régime permanent est établi et la température du fil est supposée uniforme, de valeur la température de surface de la gaine vaut T1 ; T2 (cette température n’est pas celle de l’air ambiant, à cause du flux conducto-convectif entre la gaine et l’atmosphère). 1) Déterminer la loi de température T(r) dans la couronne, en fonction de a, b, T1 , T2 et r. (on envisagera 2 méthodes : l’une à partir de l’équation générale de la diffusion thermique, l’autre par une mise en équation « directe » ; on rappelle l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques pour une fonction de r seulement : 1 d dT ∆T (r ) = × r r dr dr ). T1 en fonction de T2 , a, b, λ et p ; en déduire la résistance thermique d’un tronçon e!a. 3) On s’intéresse maintenant à l’intérieur du fil, de conductivité électrique γ et de conductivité I (= densité de courant thermique λCu ; déterminer la loi T(r) dans le fil en fonction de je = π a2 électrique), γ , λCu , a, r et T1 . 2) Calculer de gaine de longueur h et la comparer à celle d’un conducteur « droit » pour b=a+e, avec En notant T0 la température sur l’axe du fil, exprimer l’écart de température entre l’axe et la périphérie du fil en fonction de je , γ , λCu , a, et T1 . Application numérique : en prenant γ = 5,8.107 USI , λCu = 390 USI et je = 5 A / mm2 , calculer T0 − T1 pour a=1mm, puis a=1cm ; conclure. Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’ ORAL • CORRIGE : « Transfert thermique d’un fil cylindrique » 1) Dans la couronne, il n’y a pas de production locale de chaleur ; de plus, le régime est permanent ⇒ l’équation de la chaleur se simplifie en : ∆T = 0 . Le fil étant illimité, il y a invariance par translation le long de son axe Oz ⇒ T ne dépend pas de z ; l’invariance par rotation autour du même axe conduit à l’indépendance vis-à-vis de la variable angulaire θ . On peut donc affirmer que T ne dépend que de r ; l’expression du laplacien donne : 1 d dT × r r dr dr dT = cste = A ⇒ T (r ) = ALn(r ) + B =0⇒r dr Les conditions aux limites sont : T (a ) = T1 = ALn(a ) + B , et T (b) = T2 = ALn(b) + B ; on en tire : T (r ) = T1 + (T2 − T1 ) × Ln( r / a) Ln(b / a ) • On peut également effectuer un bilan énergétique sur un « tube » (= volume compris entre 2 cylindres d’axe Oz, de hauteur h et de rayons respectifs r et r+dr) ; il nous faut d’abord la ##### " " " dT " jh : jth = −λ gradT (r ) = −λ er (on aurait également dr " pu raisonner à partir des plans de symétrie, en rappelant que jh est un vrai vecteur). Le 1er topologie de la densité de flux thermique Principe appliqué au tube en régime permanent et en l’absence de production locale d’énergie dU entrant sor (r ) − Pth tan t (r + dr ) où : = 0 = Pth dt " " entrant Pth (r ) = ∫∫ jth (r ) ⋅ dSer = ∫∫ jth (r ) × dS = jth ( r ) × 2π rh ; de manière similaire, on a : s’écrit : cyl , rayonr sor tan t th P cyl , rayonr (r + dr ) = jth (r + dr ) × 2π (r + dr )h ; en simplifiant par 2π h , il vient : dT ∀r ∈ [a, b ] : r × jth (r ) = (r + dr ) × jth (r + dr ) = cste ⇒ avec la loi de Fourier : −λ × r dr qui est conforme au résultat précédent (l’intégration est ensuite identique). = cste , ce Rq : bien souvent, le laplacien en coordonnées cylindriques ou sphériques ne sera pas fourni, il est donc essentiel de connaître la seconde méthode. dT T −T 1 = −λ 2 1 × ⇒ la puissance thermique traversant un dr Ln(b / a ) r T − T2 cylindre de rayon r et de hauteur h est donnée par : P ( r ) = 2π rh × jth ( r ) = 2π hλ × 1 th Ln(b / a ) 2) On peut calculer jth (r ) = −λ (on trouve bien que la puissance thermique est, ici, conservative) Par ailleurs, cette puissance est fournie par l’effet Joule dans le fil électrique, soit longueur h de fil ; il vient donc : 2π hλ × T1 − T2 = p×h Ln(b / a ) • La résistance thermique est donnée par : Page 2 Rth = ⇒ T1 = T2 + T1 − T2 T1 − T2 = ⇒ Pth p×h Christian MAIRE p × h pour une p × Ln(b / a ) 2πλ Rth = Ln(b / a ) 2π hλ EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique PHENOMENES DE TRANSFERT EXERCICE D’ ORAL • Dans le cas où b = a + e, avec e ! a , on peut effectuer un D.L au 1er ordre de Ln(b / a ) : 1 e × λ 2π ah 1 e Ce résultat est bien de la forme Rth = × = résistance d’un tronçon de conducteur droit, de λ S « longueur » e (parallèlement aux lignes de courant thermique), et de section S = 2π ah (section Ln(b / a ) = Ln(1 + e / a ) ≈ e / a ⇒ Rth ≈ perpendiculaire aux lignes de courant thermique, ici l’enveloppe d’un cylindre de rayon a et de hauteur h) ; ceci est dû au fait que dans le cas présent, les lignes de courant thermiques sont quasiment parallèles entre elles et « divergent » à peine sur la distance b-a=e. 3) Dans le fil, il faut tenir compte de la production locale de chaleur par effet Joule ; le 1er Principe appliqué à un tube (hauteur h, épaisseur dr) permet d’écrire : dU = 0 = 2π rh × jth (r ) − 2π (r + dr )h × jth (r + dr ) + δ PJ , où δ PJ est la puissance produite par effet dt Joule dans le tube : il convient d’insister sur le fait que, malgré l’expression consacrée de « pertes par effet Joule », il faut compter ce terme comme un gain pour le tube, d’un point de vue thermique (il s’agit de pertes d’un point de vue électrique, pour le générateur faisant circuler le courant électrique par exemple). Nous allons utiliser la puissance Joule volumique : δ PJ = dPJ j2 × dτ = e × 2π hrdr ⇒ après simplification par 2π h et division par rdr , il vient : dτ γ 1 (r + dr ) × jth (r + dr ) − r × jth (r ) je2 × − = 0 ; pour dr → 0 , et en considérant une fonction r dr γ 1 d j2 f (r ) = r × jth ( r ) , on peut écrire : × [rjth (r )] − e = 0 ; la loi de Fourier conduit à : r dr γ j2 λCu d dT (r ) × [r+ e = 0 r dr dr γ ( qui est bien de la forme : λ∆T + pvolumique = 0 ) • On intègre ensuite l’équation différentielle précédente : r dT j2 j2 = − e r 2 + A ⇒ T (r ) = − e r 2 + A × Ln(r ) + B dr 2γλCu 4γλCu La température devant rester finie en r=0, on a A = 0 ; enfin je2 T (r ) = (a 2 − r 2 ) + T1 4γλCu • a=1mm : T0 − T1 = 2, 76.10 −4 K On en déduit : a=1cm : T (a ) = T1 , d’où : je2 × a 2 T0 − T1 = 4γλCu T0 − T1 = 2, 76.10−2 K Conclusion : même pour un “gros” fil électrique de cuivre parcouru par un fort courant (avec a=1cm, le courant pourrait atteindre 1500A), la température est quasiment uniforme sur toute sa section ; plus généralement, ce sera le cas des objets métalliques : ceci peut être mis à profit dans la réalisation d’un miroir de télescope métallique, pour lequel les gradients thermiques seront minimes, donc la dilatation uniforme et les déformations de surface minimisées (en cas de variation de la température ambiante). 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