30.01 - Cohérence spatiale

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Unformatted text preview: Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE -EXERCICE 30.1• ENONCE : « Cohérence spatiale » X x S1 M a b P O' O z (E) d S2 D On considère le dispositif des fentes d'Young avec une fente source de largeur finie b selon l'axe Ox et parallèle à l'axe Oy. Les fentes secondaires sont parallèles à l'axe Oy, et infiniment fines selon l'axe Ox. Déterminer l'éclairement reçu par un point M de l'écran (E) et conclure en ce qui concerne le contraste obtenu. Rq1 : la source est supposée monochromatique, de longueur d’onde λ. Rq2 : d, et bien sûr D, sont supposés être très supérieures à a. Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE • CORRIGE : « Cohérence spatiale » X (1) M a b P O' Les différents éléments de la source (atomes différents) sont incohérents entre eux: on peut donc sommer les éclairements dûs à chacune de ces sources élémentaires. Nous allons découper la fente source en "bandes" de largeur dX, parallèles à l'axe Oy. Pour chacune de ces sources élémentaires, il y aura interférence à travers les sources secondaires; on peut donc écrire: x S1 O (2) z (E) D S2 d d Ε( M ) = K (1 + cos ϕ )dX , qui exprime la contribution de l’élément de largeur dX à l’éclairement δ total au point M de l’écran (E) ; ϕ = 2π 2 /1 est le déphasage au point M entre les rayons issus du λ point P, et passés respectivement par les fentes ( S 2 ) et ( S1 ) . δ 2 /1 en fonction des données de l’énoncé ; en remarquant que le point P • Il reste à exprimer (d’abscisse X) joue un rôle équivalent au point M (d’abscisse x), nous avons : δ 2 /1 = aX ax + d D (à ce stade, il faut toujours faire attention aux signes relatifs des différences de marche que l’on somme, qui dépendent des orientations des axes : il est donc recommandé de numéroter les rayons qui interfèrent, et de préciser si l’on calcule δ 2 /1 ou δ 1/ 2 ). • En intégrant de −b / 2 à b / 2 , il vient : Ε( M ) = K ∫ b/2 −b / 2 {1 + cos[ 2π a X x 2π a x b 2π a x b λd ( + )]}dX = K {b + [sin( ( + )) − sin( ( − ))]} ⇒ 2π a λ d D λ D 2d λ D 2d Ε( M ) = Kb[1 + avec : Rq : 2Ε0 = Kb 2π ax 2π ax λd π ab sin( ) cos( )] = 2Ε0 [1 + V (u ) cos( )] π ab λd λD λD u= π ab λd V (u ) = sin u = sin c (u ) = « sinus cardinal » de u u Ε0 serait l’éclairement sur l’écran correspondant à une seule source secondaire ouverte à la fois, dans le cas d’une fente source infiniment fine. V (u ) est appelé « facteur de visibilité » : il est maximum pour u = 0 , ce qui correspond au cas idéalisé d’une fente source infiniment fine, pour laquelle b = 0 . Rq : la courbe V (u ) est donnée dans le cours du chapitre 30. • • On peut relier On a : Page 2 V (u ) au contraste défini par : C (u ) = Εmax = 2Ε0 (1 + V (u ) ) et Ε max − Ε min Ε max + Ε min Εmin = 2Ε0 (1 − V (u ) ) Christian MAIRE ⇒ C (u ) = V (u ) EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE • Dans le cours, nous avions signalé qu’après une annulation du contraste pour u = π , il y avait réapparition des franges d’interférences pour π ≺ u ≺ 2π , mais avec un facteur de visibilité négatif (les franges brillantes occupent la place des franges sombres du cas u ≺ π et réciproquement). • Interprétons l’annulation du contraste pour u = π ; on a alors : Considérons 2 points sources P et P’, distants de δ 2 /1 ( P) = π ab λd =π ⇒ b = a λd b λd = ; on sait que : 2 2a ab λ aX ax a( X + b / 2) ax = + et δ 2 /1 ( P ') = + ⇒ δ 2 /1 ( P ') − δ 2 /1 ( P ) = 2d 2 d D d D P et P’ vont donc donner sur l’écran un système d’interférences en opposition de phase (les franges brillantes de l’un coïncident avec les franges brillantes de l’autre) ; en regroupant tous les points sources par paires, on comprend que le contraste s’annule pour une telle valeur de b. λ ≈ 0,5µ m , le contraste s’annule pour b ≈ 0,5mm : pour garder un bon facteur de visibilité, la largeur des fentes sources ne doit guère excéder 0,1mm . Rappelons que pour a ≈ 1mm , d ≈ 1m et Rq : la réapparition d’un contraste plus faible pour π ≺ u ≺ 2π est effectivement observé expérimentalement ; en effet, les points que l’on ne peut grouper par paires séparées de b/2, vont donner des franges d’interférences, se superposant à un fond d’écran uniformément éclairé, donc moins contrastées. Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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