30.04 - Eclairement donné par un réseau plan

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Unformatted text preview: Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE -EXERCICE 30.4• ENONCE : « Eclairement donné par un réseau plan » 1) (k) a (k+1) θ i On considère un réseau plan comportant au total N fentes, régulièrement espacées d'une distance a. Il est éclairé par un faisceau parallèle, sous une incidence i. L'observation se fait à l'infini (dans le plan focal d'une lentille convergente). Dans un premier temps , les fentes sont supposées infiniment fines. La source est supposée monochromatique, de longueur d’onde λ. ϕ entre 2 rayons diffractés (k) et (k+1) dans une direction d’observation θ quelconque, exprimer l’éclairement Ε(ϕ ) . Après avoir déterminé le déphasage En donner les principales caractéristiques. Montrer que la position des maximums principaux pouvait être déduite sans calculs à partir de l’expression de ϕ . Conclure quant aux applications pratiques d’un réseau. 2) On considère maintenant le cas où la largeur des fentes est égale à b=a/5 ; comment est modifiée la fonction Ε(ϕ ) (on pourra prendre i = 0 ) ? Quelle en est la conséquence pratique ? Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE • CORRIGE : « Eclairement donné par un réseau plan » 1) D'après le théorème de Malus, le plan passant par les points J et K (L= projection orthogonale de J sur le rayon (k)) est un plan d'onde: les vibrations lumineuses sont donc en phase au niveau de ces points. De même, toute différence de marche acquise avant les points I et H (H= projection orthogonale de I sur le rayon (k+1)) sera conservée par la suite. (k) a (k+1) L I θ H J i La différence de marche entre 2 rayons consécutifs quelconques est donc égale à : δ k +1/ k = JH − LI = a(sin θ − sin i ) ϕ= ⇒ 2πδ 2π a = (sin θ − sin i ) λ λ • Tous les rayons considérés sont issus d’un même train d’onde (division du front d’onde) ⇒ ils sont cohérents et vont donc interférer ; il faut donc sommer les amplitudes des vibrations lumineuses. Ecrivons l’amplitude complexe du premier rayon : s1 = A exp(iω t ) ( A = cste , car les fentes infiniment fines diffractent de façon isotrope) N −1 Par ailleurs : s k +1 = s k exp(−iϕ ) ⇒ s tot = ∑ s1 exp(−ikϕ ) = s1 × k =0 s tot = s1 × 1 − exp(−iNϕ ) ⇒ 1 − exp(−iϕ ) exp(−iNϕ / 2) exp(iNϕ / 2) − exp(−iNϕ / 2) exp(−iNϕ / 2) sin( Nϕ / 2) × = s1 × × exp(−iϕ / 2) exp(iϕ / 2) − exp( −iϕ / 2) exp(−iϕ / 2) sin(ϕ / 2) • On peut alors calculer l’éclairement : Ε(ϕ ) = s tot × s tot * t = A2 × sin 2 ( Nϕ / 2) sin 2 ( Nϕ / 2) = ( NA) 2 × 2 2 sin 2 (ϕ / 2) N sin (ϕ / 2) • La fonction est 2π -périodique ⇒ on l’étudie dans l’intervalle (avec s1 × s1 = s1 = A2 ) 2 * [0, 2π ] 2 ϕ → 0 , sin(ϕ / 2) → ϕ / 2 ⇒ Ε(ϕ ) → ( NA) = Εmax : ceci correspond au cas où tous les rayons qui interfèrent sont en phase ⇒ l’amplitude totale vaut NA , ce qui correspond bien à 2 un éclairement (grandeur quadratique) égal à ( NA) . ♦ pour ♦ l’éclairement s’annule pour sin( Nϕ / 2) = 0 ⇒ ϕ = 2 pπ / N , p ≠ 0 et N ; d’où le graphe : ♦ le 1er maximum secondaire a lieu pour 2 ϕ ≈ 3π / N ⇒ Ε1 ≈ Ε max × (2 / 3π ) ≈ 0, 04 × Ε max Ε(ϕ ) Ε max Ε1 −2π Page 2 0 2π / N 2π Christian MAIRE 4π ϕ EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE Rq : le 2ème maximum secondaire serait donné l’éclairement est donc concentré dans les principaux, ϕ = 2kπ , ce qui permet d’obtenir : ϕ = 2kπ = 2π a (sin θ k − sin i ) λ directions sin θ k = sin i + k × ⇒ Ε2 ≈ Εmax × (2 / 5π )2 ≈ 0,016 × Ε max ; par λ a correspondant aux maximums avec : k ∈ ! • La relation précédente, qui ne nécessite pas le calcul de l’éclairement, donne les directions des maximums principaux « d’ordre k » : θ k étant une fonction de la longueur d’onde λ , on appliquera ce pouvoir dispersif d’un réseau aux mesures de longueurs d’ondes (on remarquera que dans l’ordre 0, θ = i ∀λ ⇒ pas de dispersion dans cet ordre). 2) Cette fois, il faut tenir compte de la diffraction non isotrope de chacune des fentes ; on aura ainsi : π b sin θ s1 (θ ) = A(θ ) exp(iω t ) = Amax × sin c λ × exp(iω t ) ; la suite du calcul est inchangée ⇒ Nπ a sin θ sin 2 λ π b sin θ Ε(θ ) = ( NAmax ) 2 × sin 2 × c λ π a sin θ N 2 × sin 2 λ 2 • b étant plus petit que a, on voit que la « fonction diffraction » ( sin c ) varie « moins vite » que la « fonction réseau » ( sin 2 ( Nϕ / 2) ) : c’est donc la première qui « enveloppe » la seconde. N 2 × sin 2 (ϕ / 2) • La fonction diffraction s’annule pour la 1ère fois en sin θ = λ / b = 5λ / a ; les maximums principaux de la fonction réseau sont donnés par sin θ = k λ / a ⇒ dans le lobe principal de la fonction diffraction, on pourra observer les maximums d’ordre –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, c’està-dire 9 maximums (les ordres –5 et 5 correspondent à l’annulation de la fonction diffraction et ne sont donc pas visibles). En pratique, les maximums situés dans les lobes secondaires de la fonction diffraction ne sont pas visibles ; l’éclairement en fonction de θ a donc l’allure suivante : Ε max Ε(θ ) 0 Page 3 λ a Conséquence pratique : 5× λ a sin θ Christian MAIRE Les maximums d'ordre élevé sont de moins en moins lumineux ; lorsqu'on travaille en source polychromatique, les spectres d'ordre élevé seront moins visibles: c'est un facteur qui limite le pouvoir de résolution d'un réseau, qui, à priori, augmente avec l'ordre du spectre (cf. cours 30). EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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This note was uploaded on 03/18/2012 for the course PHYS 101 taught by Professor M.dupont during the Spring '12 term at Paris Tech.

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