30.09 - Réseau échelette

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Unformatted text preview: Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE D’ ORAL -EXERCICE 30.9• ENONCE : « Réseau échelette » ε θ C Ok −1 θ Ok A a Ok +1 B Un réseau "échelette" par réflexion est constitué de N bandes réfléchissantes de faible largeur AC par rapport à leur dimension perpendiculaire au plan de la figure. Ces bandes sont inclinées par rapport au plan du réseau, de pas a=AB. Les bandes de type BC sont non réfléchissantes. • Le réseau est éclairé par une onde plane monochromatique, perpendiculairement aux bandes réfléchissantes. 1) En admettant que l’on peut appliquer le principe d’Huygens-Fresnel aux bandes AC, déterminer l’éclairement Ε1 (ε ) diffracté par l’une de ces bandes dans la direction d’angle ε très faible avec la direction incidente. 2) Calculer l’éclairement total Ε(ε ) diffracté par le réseau dans la direction ε . ε = 0 , l’éclairement est maximum dans l’ordre p = 4 ; sachant que la longueur d’onde incidente est λ = 0, 6 µ m et que le réseau comporte n = 250 bandes par millimètre, calculer l’angle θ du réseau. 3) On constate que dans la direction 4) Calculer les éclairements diffractés dans les directions correspondant aux maximums principaux d’ordre p ≠ 4 et conclure. Rq : on dit que le réseau échelette est « blazé » dans l’ordre 4 pour la longueur d’onde utilisée (to blaze=briller d’un vif éclat…). 5) Peut-on, à partir des résultats précédents, interpréter les couleurs très vives du plumage d’oiseaux comme les paons ? (idem pour les ailes de papillons etc…) Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE D’ ORAL • CORRIGE : « Réseau échelette » 1) ε θ ε C H δ = MH = Ok M sin ε = x sin ε x M Ok θ A Il faut déjà calculer la différence de marche entre un rayon diffracté en un point courant M et un rayon diffracté au centre de la bande AC. D'après le théorème de Malus, cette différence de marche sera égale à: On en déduit le déphasage entre ces 2 rayons: ϕ= 2πδ 2π x sin ε = λ λ • D’après le principe d’Huygens-Fresnel, l’amplitude de la vibration lumineuse diffractée dans la direction ε par une « bandelette » de largeur dx , centrée sur le point M, s’écrit : d s(ε ) = K s 0k × exp(−iϕ ) × dx = K s 0k × exp( −i 2π x sin ε )dx λ • On en déduit l’amplitude diffractée par une bande réfléchissante : s1 (ε ) = K s 0 × ∫ a cosθ / 2 − a cosθ / 2 exp(−i 2π x sin ε π a cos θ )dx = Ka cosθ s 0 × sin c ( sin ε ) λ λ 2 Ε1 (ε ) = s1 × s1 = Εmax × sin c ( * • Il vient alors : π a cos θ sin ε ) λ (1) Rq : on retrouve le résultat de la diffraction par une fente rectangulaire fine de largeur a cos θ . 2) ε Ok −1 θ J θ θ +ε Ok A Il faut d'abord calculer la différence de marche entre 2 rayons diffractés par les milieux de 2 bandes réfléchissantes adjacentes. Toujours d'après le théorème de Malus, cette différence de marche est égale à: I Ok +1 δ = IOk +1 + Ok +1 J = Ok Ok +1 sin θ + Ok Ok +1 sin(θ + ε ) ⇒ δ = a[sin θ + sin(θ + ε )] B a On en déduit le déphasage entre les 2 rayons considérés : ϕ= 2πδ 2π a = [sin θ + sin(θ + ε )] λ λ • On effectue alors le calcul « classique » des interférences à l’infini pour N ondes, l’amplitude de la 1ère onde étant de la forme s1 (ε ) et celle de la k-ème de la forme s1 (ε ) exp[−i ( k − 1)ϕ ] ; d’où : sin( Nϕ / 2) Ε(ε ) = Ε1 (ε ) × N sin(ϕ / 2) Page 2 2 ( Ε1 (ε ) est donné par la relation (1)) Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE D’ ORAL 3) Dans la direction ε = 0 , le terme de diffraction Ε1 est maximum ; l’éclairement maximum est donc donné par les maximums principaux de la « fonction réseau », ce qui conduit à : 2π a 4π a sin θ [sin θ + sin(θ + ε )] = λ λ θ = 0,305rad = 17,5° ϕ = 2 pπ , avec ϕ = A.N : ⇒ sin θ = pλ pnλ = = 2nλ 2a 2 (2) ε = 0 sont donnés par : 2π a λ [sin θ + sin(θ + ε )] = 2π (4 + q), avec q ∈ !* ⇒ sin θ + sin(θ + ε ) = (4 + q ) ϕ= a λ 4) • Les maximums principaux dans les directions autres que Avec ε petit, il vient : sin θ + sin(θ + ε ) = sin θ + sin θ cos ε + cosθ sin ε " 2sin θ + ε cos θ = (4 + q) Or, d’après la question 2) : 2sin θ = 4λ a ⇒ ε= λ a qλ a cos θ • On peut alors reprendre l’expression de l’éclairement diffracté par une bande dans la direction ε pour trouver : qλ π a cosθ π a cosθ × sin ε ) = Εmax sin c ( ) = Εmax sin c (qπ ) ⇒ Ε1 (ε ) = 0 a cos θ λ λ Conclusion : tous les maximums de la fonction réseau d’ordre p ≠ 4 coïncident avec les Ε1 (ε ) = Εmax sin c ( annulations du terme de diffraction ⇒ l’énergie lumineuse de l’onde incidente est concentrée dans le seul ordre 4 : a contrario, dans un réseau plan, l’énergie est répartie sur l’ensemble des ordres observables. Rappelons également qu’à cause de la diffraction, les spectres d’ordre élevé d’un réseau plan sont moins lumineux, alors que ce sont eux pour lesquels le pouvoir de résolution du réseau est le plus grand (cours, chapitre 30) ; ici, en jouant sur l’angle θ , on peut travailler dans un ordre élevé et très lumineux. 5) • En ce qui concerne les couleurs des animaux, il faut distinguer ce qui est dû à la pigmentation (la couleur de la lumière réfléchie sera complémentaire de celle absorbée par les pigments) de ce qui dépend de la structure physique de la surface (on parle de « couleur structurale »). • Les couleurs structurales sont essentiellement dues aux phénomènes d’interférences, de diffraction et de diffusion (franges d’égale épaisseur, irisations…). • Les plumes de certains oiseaux et les ailes de papillons jouent le rôle du réseau échelette (structures plus ou moins périodiques) ; si l’on reprend la relation (2), on voit que θ et n étant fixés, le produit p × λ le devient : dans notre exemple, on constate que, dans le domaine du visible, un seul autre couple ( p = 5 et λ = 0, 48 µ m ) convient. La lumière réfléchie n’aura donc une forte intensité que pour quelques longueurs d’ondes, d’où l’effet « assez » monochromatique ; remarquons que pour un produit p × λ suffisamment petit, seul le bleu peut convenir (couleur très fréquente pour les animaux précédents). Rq : à ce sujet, on peut signaler que si l’on extrait les pigments jaunes des plumes vertes des oiseaux à l’aide d’un solvant organique, elles apparaissent bleues, qui est la couleur structurale. Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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This note was uploaded on 03/18/2012 for the course PHYS 101 taught by Professor M.dupont during the Spring '12 term at Paris Tech.

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