3003-D~1 - Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE -EXERCICE...

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Unformatted text preview: Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE -EXERCICE 30.3• ENONCE : « Diffraction à l’infini par une pupille rectangulaire » y (2) b M O H (1) ! u (α , β , γ ) z a x On s'intéresse à la diffraction d'une O.P.P.M lumineuse à l'infini (diffraction de Fraunhofer), c'est-à-dire dans une direction de vecteur ! unitaire u (α , β , γ ) L'onde incidente se propage selon l'axe Oz. La pupille diffractante ( de transmittance uniforme ) est rectangulaire ( petit côté a, grand côté b), contenue dans le plan xOy. 1) Déterminer l’éclairement diffracté dans la direction ! u (α , β , γ ) ; commenter les principaux résultats. 2) Etudier le cas a " b (avec b # λ ) : dans un premier temps, on se servira des résultats de la question 1), puis on fera un calcul direct de l’éclairement diffracté dans une direction faisant l’angle θ avec l’axe Oz. 3) Préciser les conditions expérimentales permettant d’obtenir une onde plane en incidence normale sur l’ouverture diffractante et de réaliser une observation à « l’infini ». 4) Comment seraient modifiés les résultats pour une onde plane sous incidence oblique ? Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE • CORRIGE : « Diffraction à l’infini par une pupille rectangulaire » 1) En appliquant le principe d’Huygens-Fresnel, il vient : ! ! $$$$ ! ! ! s (u ) = As 0 (u ) × ∫∫ exp(−iϕ 2 /1 ) dS = As 0 (u ) ∫∫ exp(ik ⋅ OM )dS a ,b a ,b avec : ! 2π ! k= u λ ! Rq1 : s 0 (u ) est l’amplitude complexe de l’onde diffractée par le centre O de la pupille, dans la ! direction u . ϕ 2 /1 est le retard de phase (algébrique) du rayon (2) par rapport au rayon (1), dans la ! direction d’observation u . Rq2 : A est une constante de proportionnalité en m −2 . ! • Avec un vecteur unitaire u de composantes ( α , β , γ ), et en remarquant que les variables x et y Rq3 : sont indépendantes, on obtient : ! ! $$$$ 2π a/2 b/2 2πα x 2πβ y ! ! k ⋅ OM = (α x + β y ) ⇒ s (u ) = As 0 (u ) × ∫ exp[i ( )]dx × ∫ exp[i ( )]dy ; d’où : −a / 2 −b / 2 λ λ λ λ πα a λ πβ b πα a πβ b ! ! ! s (u ) = As 0 (u ) × sin( )× sin( ) = As 0 (u )ab × sin c ( ) × sin c ( ) ; enfin : πα λ πβ λ λ λ ! 2 2 2 2 2 Ε(u ) = s × s* = A2 s 0 a 2b 2 × sin c (v) × sin c ( w) = Ε max × sin c (v) × sin c ( w) (1) t avec : Εmax = ( A s 0 ab) 2 v= πα a λ w= πβ b λ sin 2 ( x) ; rappelons que les dimensions c 2λ angulaires de la tache centrale (beaucoup plus lumineuse que les autres) sont selon Ox, et a 2λ selon Oy. b • On se reportera au cours pour l’allure de la fonction En perspective de la question 2), on remarquera que, selon la direction Oy, les milieux des taches (en excluant la tache centrale) sont distants de ∆w = π ⇒ 2) Dans ce cas : ∆β = ∆β = λ (en distance angulaire). b λ → 0 ⇒ les taches de diffraction selon l’axe Oy tendent vers une seule, b confondue avec l’image (au sens de l’optique géométrique) de la pupille selon cette même direction (longueur b) ; on retrouve l’idée que lorsque les « obstacles » ont des dimensions grandes par rapport à la longueur d’onde, le modèle de l’optique ondulatoire n’est pas nécessaire, l’approximation de l’optique géométrique étant suffisante. En revanche, le phénomène de diffraction est bien marqué selon la plus petite dimension de la pupille, l’axe Ox dans le cas présent. • La direction d’observation sera donc contenue dans le plan xOz, et la composante ! unitaire u vaudra sin θ , comme on peut le vérifier sur la figure ci-dessous : Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. α du vecteur Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique OPTIQUE ONDULATOIRE EXERCICE (2) M H O ! u La simplification de la relation (1) permet d'écrire: θ (1) 2 Ε(θ ) = Ε 0 × sin c (v ) v= avec: (2) π a sin θ λ • Le calcul direct se pose ainsi : s (θ ) = As 0 (θ ) × ∫ a/2 −a / 2 exp(−iϕ 2 /1 )dx = As 0 (θ ) × ∫ a/2 −a / 2 exp[i ( 2π a sin θ )]dx λ (où A est cette fois en m −1 ) (en effet, d’après le théorème de Malus, toute différence de marche acquise au niveau du plan passant par les points M et H, H étant la projection orthogonale de M sur le rayon (1), sera conservée par la suite, jusqu’à « l’infini »). La suite du calcul est triviale et conduit à la relation (2). 3) Incidence normale : une source ponctuelle (et monochromatique, dans le cas présent) est placée au foyer d’une lentille convergente d’axe Oz. Observation à l’infini : L'observation se fait dans le plan focal d'une lentille convergente (L), de focale f. En un point P donné de l'écran (E) vont converger les rayons parallèles (1) et (2). La différence de marche acquise avant le plan passant par M et H est conservée par la suite (théorème de Malus). On a alors: x (2) M H O (1) θ θ P z sin θ % tan θ = (L) f x( P) f 4) Pupille rectangulaire : y ! u '(α ', β ', γ ') (2) b M O H (1) ! u (α , β , γ ) z a On considère toujours une onde plane, ! ! avec u ' ≠ uz La source est toujours ponctuelle et placée au foyer d'une lentille convergente, ! dont l'axe est parallèle à u ' x Cette fois, le déphasage s’écrit : ! ! ! $$$$ ! $$$$ 2π [(α '− α ) x + ( β '− β ) y + (γ '− γ ) z ] ϕ 2 /1 = k '⋅ OM − k ⋅ OM = λ L’éclairement est conforme à l’expression (1) avec : • Pupille très fine : en notant ϕ 2 /1 = Page 3 2π a (sin i − sin θ ) λ v= π (α − α ')a λ et : w= π ( β − β ')b λ i l’angle entre le faisceau incident et l’axe Oz, on a : (cette fois, les 2 faisceaux sont dans le même plan xOz) Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. 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This note was uploaded on 03/18/2012 for the course PHYS 101 taught by Professor M.dupont during the Spring '12 term at Paris Tech.

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