Etude d'un oscillateur sinusoïdal à quartz

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Unformatted text preview: Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME - PROBLEME D’ ELECTRONIQUE 1 • ENONCE : « Etude d’un oscillateur sinusoïdal à quartz » I. Etude d’un cristal piézoélectrique en régime sinusoïdal forcé • Une lame de quartz taillée de façon à utiliser les propriétés piézoélectriques de ce matériau (rappelons qu’un tel matériau permet de transformer des vibrations électriques en vibrations mécaniques et réciproquement), est placée entre deux électrodes métalliques planes constituant les bornes A et B du système. • Si l’on néglige tout phénomène d’amortissement, le cristal peut être représenté du point de vue électrique par le schéma équivalent de la figure 1. Z3 CS L S E I 0 = s ×V e A R Ve B Z1 M CP Calculer l’impédance Vs M - figure 1 - 1.1) Z2 - figure 2 - Z présentée par le quartz entre ses bornes A et B ; montrer que l’on peut mettre cette impédance sous la forme : Z = jX = − j a= ω 2 − ω s2 CPω (ω 2 − ω 2 ) p Expliciter ω s et ω p CS ; exprimer ω P en fonction de ω s et a . CP 1.2) On pose 1.3) On donne : 1.4) Représenter graphiquement L = 20 H ; CS = 0, 05 pF ; CP = 25 pF ; calculer ω s et X et X en fonction de ∆ω ω p − ω s = . ωs ωs ω ; indiquer le domaine de fréquence où le quartz présente un comportement inductif. II. Principe d’un oscillateur à réaction • Le schéma équivalent en « boucle ouverte » d’un oscillateur à réaction est représenté par le circuit de la figure 2 ; la source de courant i0 (t ) est « commandée » par la tension ve (t ) présente entre les bornes E et M du montage. Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME • Ce courant est relié à la grandeur de commande par la relation : i0 (t ) = s × ve (t ) avec s = cste ∈ ! ; 2.1) 2.2) ou I 0 = s ×V e (lorsque les grandeurs sont harmoniques) s est appelée « pente » de l’élément actif de l’oscillateur. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte de l’oscillateur, soit : Les impédances T= Vs . Ve Z 1 , Z 2 , et Z 3 sont des réactances pures correspondant à des bobines idéales (non résistives) ou des condensateurs parfaits. A quelles conditions les tensions ve (t ) et vs (t ) ont-elles même amplitude et même phase ? On exprimera ces deux conditions sous la forme : ♦ d’une relation entre les impédances Z 1 , Z 2 , et Z 3 permettant de déduire la fréquence des oscillations. ♦ 2.3) d’une relation connue sous le nom de « condition d’accrochage des oscillations » donnant la valeur du produit sR en fonction de Z 1 et Z 2 . Quelles doivent être les natures respectives des impédances Z 2 et Z 3 comparées à Z 1 pour que l’oscillateur puisse fonctionner ? III. L’oscillateur Clapp On envisage d’ étudier le cas de l’oscillateur « Clapp » dans lequel Z 1 et Z 2 sont des impédances constituées par deux condensateurs parfaits de capacités respectives C1 et C2 , et où l’impédance Z 3 est constituée par l’association en série d’un condensateur parfait de capacité C3 et d’une bobine non résistive de coefficient d’autoinductance L . 3.1) Exprimer la pulsation ω 0 de l’oscillateur en fonction de L et de C , où C est définie par : 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3 3.2) Calculer en fonction de C1 , C2 et s , la valeur que doit avoir la résistance R pour que la condition d’accrochage des oscillations soit satisfaite. IV. L’oscillateur Pierce L’oscillateur « Pierce » est obtenu en remplaçant, dans le montage de l’oscillateur Clapp, la bobine idéale de l’impédance Z 3 par le cristal piézoélectrique étudié dans la première partie ; le condensateur C3 est conservé et se retrouve ainsi associé en série avec le quartz. 4.1) Ecrire l’expression de la pulsation 4.2) Exprimer en fonction de ' ω 0 de l’oscillateur en fonction de ω s , a, CP et C . C1 , C2 et s , la valeur que doit avoir R pour que la condition d’accrochage des oscillations soit satisfaite. Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME V. Calcul de l’amplitude des oscillations • Dans la réalité, à cause de l’évolution des caractéristiques des éléments qui constituent l’oscillateur, la condition d’oscillation exprimée par la relation T = 1 ne peut être maintenue dans le temps, et l’oscillateur peut « décrocher » de façon intempestive. • Pour obtenir un fonctionnement stable, la fonction de transfert en boucle ouverte doit satisfaire aux relations : ℑ{T } = 0 et ℜ{T } " 1 5.1) En se replaçant dans le cas général de la partie II. Où la nature exacte des réactances pures Z 1 , Z 2 , et Z 3 notamment n’est pas précisée, exprimer : ♦ ♦ 5.2) la relation entre L’inégalité à laquelle satisfait la quantité sR . Z 1 , Z 2 , et Z 3 permettant de déduire la fréquence des oscillations. ℜ{T } " 1 en boucle ouverte, amène l’élément actif de La réalisation de la condition l’oscillateur à fonctionner dans les zones non linéaires de ses caractéristiques lorsque l’on « boucle » le système. Cependant, si la fonction de transfert en boucle ouverte T reste voisine de 1, et si le point de fonctionnement de l’élément actif est correctement choisi, le courant i0 (t ) et sa tension de commande ve (t ) sont alors liés par la relation : 3 i0 (t ) = s × ve (t ) + α × ve (t ) Si ve1 (t ) = V01 cos(ω 0t ) représente le premier harmonique (ou fondamental) de la tension ve (t ) , et si l’on néglige les autres harmoniques, calculer, en fonction de s, α et V01 , l’amplitude 5.3) On définit la « pente moyenne » relation : 5.4) I 01 du premier harmonique de i0 (t ) . sm = sm de l’élément actif pour le premier harmonique, par la I 01 ; calculer sm en fonction de s, α et V01 . V01 On admet, pour calculer l’amplitude des oscillations, que l’oscillateur en boucle ouverte peut être représenté « pour le premier harmonique » de la tension ve (t ) , par le circuit linéaire de la figure 2, dans lequel le générateur délivre un courant : i01 (t ) = smV01 cos(ω 0t ) On admet, en outre, que lorsque l’oscillateur fonctionne, la valeur de la pente moyenne sm s’ajuste de façon à ce que la fonction de transfert en boucle ouverte pour ce premier harmonique vérifie la relation : En déduire la valeur de l’amplitude 5.5) Quel doit être le signe de T1 = V s1 =1 V e1 V01 qui réalise cette condition. α pour que l’oscillateur puisse effectivement fonctionner ? D’après le concours ENAC - Ingénieurs 94 , épreuve optionnelle Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME • CORRIGE : «Etude d’un oscillateur sinusoïdal à quartz » 1.1) L’impédance Z du quartz s’écrit : Z = ZS ×ZP 1 1 , avec Z S = jLω + et Z P = ZS + ZP jCSω jCPω 1 1 1− jCSω LCSω 2 = ; on écrit alors : 1 1 CS + C P jLω + + jCPω 1 − 2 jCSω jCPω LCS CPω jLω + ce qui donne : Z= Z =−j 1.2) En posant jCPω ω 2 − ω s2 = jX CPω (ω 2 − ω 2 ) p a= ω s2 = avec : CS , il vient : CP 1 LCS et ω2 = p CS + C P LCS C P ω 2 = ω s2 (1 + a) p 1.3) L’application numérique donne : ω s = 106 Hz ; par ailleurs, a = 2.10−3 ⇒ 1 + a # a ⇒ 2 ∆ω ω p − ω s a = # = 10 −3 ωs ωs 2 1.4) Une étude sommaire des fonctions X et X permet d’obtenir les courbes : X X ωs ωp 0 ω 0 • ωs ωp ω ω s représente la fréquence de résonance série du quartz : elle correspond à une impédance nulle. ω p représente la fréquence de résonance parallèle du quartz : elle correspond à une impédance infinie. • Le quartz présente un comportement inductif pour les fréquences X "0 Rq : compte tenu du faible écart entre ⇒ ω telles que : ωs ≺ ω ≺ ω p ω s et ω p , on constate que l’impédance présentée par le quartz varie très rapidement autour de la fréquence ω s ⇒ le quartz constitue un filtre passe- bande extrêmement sélectif. Page 4 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME 2.1) Par une transformation Norton → Thévenin, on remplace le générateur de courant, de courant électromoteur I 0 = sV e et d’impédance interne tension de force électromotrice E 0 = Z 2 I 0 = sV e × ' RZ 2 R + Z2 RZ 2 , par un générateur de R + Z2 RZ 2 ' et d’impédance interne Z 2 = ; R + Z2 Z2 = ' on obtient alors le circuit à une maille du schéma ci-dessous : RZ 2 /( Z 2 + R) Z3 S E RZ 2 sV e Z2 + R Ve Vs Z1 M M A partir de ce schéma, la formule du « diviseur de tension » permet d’écrire : ' ' V s = − sV e × Z1Z 2 ' Z1 + Z 2 + Z 3 T= ⇒ 2.2) En introduisant les admittances T =− s ' Y 1 + Y + Z 3 Y 1Y 2 ' 2 Yi = Vs sRZ 1 Z 2 =− Ve RZ 2 + ( R + Z 2 )( Z 1 + Z 3 ) ' RZ 2 R + Z2 ve (t ) et vs (t ) aient même amplitude et même ⇒ Y 1 + Y 2 + Z 3 Y 1Y 2 = − s ⇒ avec Y 2 = Y 2 + Y1 + phase, il faut que : Z2 = 1 , on peut récrire la fonction de transfert: Zi ⇒ pour que les tensions T =1 où : 1 , il vient : R 1 1 + Y 2 + Z 3Y 1 Y 2 + = −s R R ' ' ' Z 1 , Z 2 et Z 3 étant des réactances pures, Y 1 + Y 2 + Z 3 Y 1Y 2 est un nombre imaginaire, alors 1 Z 3Y 1 que + est un nombre réel ⇒ en identifiant les parties réelles et imaginaires des deux R R • membres de la relation précédente, on obtient : ♦ ♦ 2.3) Y 1 + Y 2 + Z 3 Y 1Y 2 = 0 ⇒ en divisant par Y 1Y 2 , on a : 1 + Z 3 Y 1 = − sR ; Le rapport or : 1 + Z 3Y 1 = − Y1 Z =− 2 Y2 Z1 ⇒ Z1 + Z 2 + Z 3 = 0 sR = Z2 "0 Z1 Z2 devant être un réel positif, cela signifie que les impédances Z1 (1) (2) Z 1 et Z 2 doivent être de même nature. • La relation (1) montre alors que l’impédance Page 5 Z 3 est de nature opposée à celle de Z 1 et Z 2 . Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME 3.1) Dans le cas de l’oscillateur « Clapp », on a : la relation (1) s’écrit : Z1 = 1 1 1 , Z2 = et Z 3 = jLω + ⇒ jC1ω jC2ω jC3ω 1 1 1 1 + + jLω = 0 ⇒ on en déduit la fréquence des oscillations : + jω C1 C2 C3 ω0 = 1 LC 3.2) En reportant les valeurs de avec : 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3 4.1) Si l’on remplace, dans le circuit de l’oscillateur, la bobine d’impédance d’impédance jX = − j R= Z 1 et Z 2 dans la relation (2), on obtient : C1 sC2 jLω par un quartz ω 2 − ω s2 ' ' = jLω , il suffit de remplacer Lω 0 par X (ω 0 ) dans CPω (ω 2 − ω 2 ) p l’expression de la fréquence d’oscillation ; on peut alors écrire : '2 1 1 ω 0 − ω s2 C ' '2 '2 = Lω 0 = − ⇒ ω0 − ω 2 = − (ω 0 − ω s2 ) ⇒ on en déduit : p ' ' '2 ω0 − ω 2 Cω 0 CPω 0 CP p C C 2 C '2 2 ω 0 1 + ω s = ω s2 (1 + a) + ω s2 ⇒ finalement : =ωp + CP CP CP aCP '2 ω 0 = ω s2 1 + C + CP Rq1 : l’oscillateur oscille donc à une fréquence très voisine de la fréquence de résonance série ω s du quartz. 1+ Rq2 : la quantité aCP aCP satisfaisant à la double inégalité 1 ≺ 1 + ≺ 1 + a , il en résulte C + CP C + CP ' ω s ≺ ω0 ≺ ω p que : 4.2) La condition d’accrochage des oscillations est identique à la précédente, soit : R= C1 sC2 5.1) Pour obtenir un oscillateur stable (qui ne « décroche » pas), on doit avoir : T ∈ ! et T " 1 ⇒ T = − s " 1 , ce qui fournit deux relations : ' Y 1 + Y + Z 3 Y 1Y 2 ' 2 ℑ{Y 1 + Y 2 + Z 3 Y 1Y 2 } = 0 ' ' ♦ la relation (3) fournit : ♦ la relation (4) conduit à : Page 6 (3) −s ℜ "1 ' ' Y 1 + Y 2 + Z 3 Y 1Y 2 et Z1 + Z 2 + Z 3 = 0 sR " Z2 Z1 Christian MAIRE (4) (ce qui détermine la fréquence) (5) EduKlub S.A. 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Physique ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE PROBLEME 5.2) Lorsque l’inégalité (5) est réalisée en boucle ouverte et que l’on boucle le système en reliant S et E , le système est le siège d’oscillations dont l’amplitude augmente jusqu’à ce que l’élément actif entre dans une zone de fonctionnement non linéaire ; la relation qui relie le courant électromoteur i0 (t ) à la tension de commande ve (t ) n’est plus linéaire, mais s’écrit : 3 i0 (t ) = sve (t ) + α ve (t ) • En ne tenant compte que du premier harmonique courant électromoteur est donné par : ve1 (t ) = V01 cos(ω 0t ) de la tension ve (t ) , le 3 i0 (t ) = sV01 cos(ω 0t ) + αV01 cos3 (ω 0t ) (6) cos(3ω 0t ) + 3cos(ω 0t ) ⇒ en reportant cette 4 expression dans la relation (6), et en ne retenant que les termes en ω 0t , on obtient : cos3 (ω 0t ) = • Après linéarisation, on trouve : 3 3αV01 i0 (t ) = sV01 + cos(ω 0t ) 4 ⇒ l’amplitude du 1 er harmonique vaut : I 01 = sV01 + 3 3αV01 4 3αV01 I 01 ⇒ sm = s + 4 V01 2 5.3) La pente moyenne sm de l’élément actif est définie par la relation sm = 5.4) Les hypothèses de l’énoncé permettent d’écrire : T (1er harmonique) = 1 ⇒ sm R = 5.5) Comme on a fonctionner que si : sR " 2 Z2 3α RV01 = sR + Z1 4 ⇒ V01 = 4 Z2 − sR 3α R Z 1 Z2 , la relation précédente n’a de sens et l’oscillateur ne peut donc Z1 α≺0 *************** Page 7 Christian MAIRE EduKlub S.A. 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This note was uploaded on 03/18/2012 for the course PHYS 101 taught by Professor M.dupont during the Spring '12 term at Paris Tech.

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