QUELQU~2 - Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME...

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Unformatted text preview: Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME - PROBLEME D’ ELECTRONIQUE 2 • ENONCE : « Quelques applications d’un circuit multiplieur » Introduction : on donne ci-dessous le schéma fonctionnel d’un circuit multiplieur x (t ) S y (t ) Pour un opérateur multiplieur sans défaut, la relation entrée/sortie est donnée par: E1 s (t ) s (t ) = k × x (t ) × y (t ) E2 Rq : pour les applications numériques, on prendra k = 0,1 V −1 I. Détection quadratique • On envisage la multiplication d’un signal par lui-même, puis le filtrage par un filtre passe-bas de fréquence de coupure « correctement » choisie : E1 y (t ) S x (t ) s (t ) fC E2 filtre passe-bas 1.1) Montrer que le montage précédent permet d’accéder au carré de la « valeur efficace vraie » du signal Rq : 2 X eff = x 2 (t ) = x(t ) , soit : t 1 T 2 × x (t )dt T ∫0 cette notion est à relier à celle de « puissance moyenne d’un signal » Pmoy = K x 2 (t ) t ! E2 2 (ex : effet Joule, où PJ (t ) = Ri (t ) ; vecteur de Poynting pour une OPPM dans le vide : Π = ) µ0c 1.2) On s’intéresse au cas suivant : x(t ) = a cos(ω t ) , avec a = 5 V et f = ⇒ proposer des valeurs pour Page 1 ω = 1KHz ; le filtre passe-bas est un simple circuit RC 2π R et C , en justifiant les choix retenus. Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME II. Mesure d’impédances par détection synchrone 2.1) Circuit déphaseur R R − L' AO est idéal et fonctionne en régime linéaire ∞ a) Déterminer la fonction de transfert du montage + R x (t ) 2.2) RCω a-t-on Convertisseur courant-tension Z Z = R + jX − ∞ + V1 L'A.O est parfait et fonctionne en régime linéaire. est une résistance connue . R0 Vu Question : que représentent les tensions 2.3) v1 (t ) V 1 et V u ? Détection de la partie réelle R convertisseur courant-tension vu (t ) E1 s (t ) S E2 multiplieur • Soit : un est une impédance à déterminer (voir paragraphes suivants). R0 I b) Pour quelle valeur de déphasage de ϕ = −π / 2 ? y (t ) C V fC filtre passe-bas v1 (t ) = V1 cos(ω t ) , avec V1 connue. • En supposant le filtrage parfait, exprimer V en fonction de k , V1 , R et R0 ; en déduire que la mesure de V permet d’accéder à celle de R , partie réelle de l’impédance Z inconnue. 2.4) Détection de la partie imaginaire X En utilisant le circuit déphaseur de la question 3.1), proposer une modification à apporter au montage précédent permettant la mesure de X , partie imaginaire de l’impédance Z . Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME III. Modulation d’amplitude • On reprend le circuit multiplieur avec les notations suivantes : uP (t ) um (t ) = U 0 + Am cos(ω mt ) E1 um (t ) • uP (t ) = AP cos(ω P t ) , avec ω P " ω m uS (t ) S E2 m= Am U0 um (t ) est appelé « signal modulant », uP (t ) est le « signal porteur » ou « porteuse », et m est le « taux de modulation ». 3.1) Déterminer les trois pulsations (ou les trois fréquences) que comporte le signal modulé uS (t ) ; quelle est l’importance relative de l’amplitude de ces trois composantes ? 3.2) Représenter sommairement uS (t ) (on pourra prendre ω P # 10 × ω m ) dans 2 cas : m ≺ 1 , puis m % 1 . Dans ce dernier cas, la partie positive de « l’enveloppe » de uS (t ) est-elle & égale à la composante alternative de u (t ) , soit u (t ) = A cos(ω t ) ? m m m m IV. Démodulation d’amplitude 4.1) Détecteur de crête (ou d’enveloppe) • On considère le circuit suivant : D u e (t ) • D est une diode, considérée comme idéale (tension de seuil nulle et résistance interne nulle). On choisit la constante de temps τ telle que: R us (t ) C Tp = 1 1 ' τ = RC ' Tm = fp fm ( avec: f m = ωm ) 2π ue (t ) = k × um (t ) × u p (t ) est le signal modulé du paragraphe précédent. • Question : montrer, sans développements calculatoires, que la tension us (t ) est pratiquement & um (t ) = Am cos(ω m t ) , d’autant mieux que la condition ω p " ω m est réalisée ; cette démodulation par détection d’enveloppe fonctionne-t-elle pour m % 1 ? égale à 4.2) Détection synchrone • On utilise un deuxième circuit multiplieur, au niveau du démodulateur, selon le schéma suivant : ue (t ) E1 us (t ) S u0 (t ) fC E2 multiplieur Page 3 vs (t ) Christian MAIRE filtre passe-bas EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME ue (t ) = k × um (t ) × u p (t ) est le signal modulé du paragraphe IV. • u0 (t ) = U 0 cos(ω p t ) est une tension délivrée par un « oscillateur local » (au niveau du démodulateur) de même fréquence a) f p que la porteuse. Déterminer les cinq composantes du signal « l’information » basse fréquence (B.F) us (t ) : une composante continue, f m , trois composantes de haute fréquence (H.F). b) Comment choisir la fréquence de coupure tension fC = 1 du filtre pour que la 2π RC vs (t ) ne conserve que l’information B.F ? (cette composante sera superposée à la composante continue, que l’on pourra elle-même filtrer très facilement, par exemple grâce à un condensateur placé en série). c) Ce type de détection fonctionne-t-il pour m % 1 ? Quel en est l’intérêt ? Pourquoi parle-t-on de détection synchrone ? V. Boucle à verrouillage de phase • En pratique, « l’oscillateur local » (au niveau du poste de réception) ne peut être rigoureusement synchrone avec la porteuse (générée par l’émetteur radio), à cause des fluctuations de fréquence ou de phase de cet oscillateur local ou même de la porteuse : les deux oscillateurs présentent alors un déphasage instantané ϕ (t ) évoluant lentement au cours du temps. • Pour remédier au problème occasionné par ce déphasage, on réalise un système bouclé (en anglais : « Phase Lock Loop » ou « P.L.L » comme on peut le voir sur certains récepteurs radio) : ue' (t ) = k × ue (t ) × v1 (t ) ue (t ) filtre passe-bas v1 (t ) oscillateur contrôlé en tension déphaseur v2 (t ) réglage fréquence "moyenne" de l'O.C.T ( fp) k × ue (t ) × v2 (t ) filtre passe-bas • Le signal à démoduler est toujours de la forme : où v (t ) vs (t ) ue (t ) = U e × [1 + m cos(2π f mt )] × cos(2π f p t ) f m est la fréquence du signal modulant (« l’information ») et f p la fréquence de la porteuse. Page 4 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME • La fréquence de coupure f C des filtres passe-bas est telle que : • La sortie de « l’oscillateur contrôlé en tension » est de la forme : On définit sa « pulsation instantanée » par : « fréquence moyenne » et l’on a : v1 (t ) = V1 sin[2π f p t − ϕ (t )] dϕ (t ) , avec ω p = 2π f p ; f p est sa dt dϕ (t ) = k1 × v(t ) (contrôle de la fréquence par une tension) dt • Le déphaseur apporte un déphasage de 5.1) ω i (t ) = ω p − f m ' fC ' f p π entre v1 (t ) et v2 (t ) . 2 v(t ) ; on peut remarquer qu’à cette étape de la boucle, v(t ) est l’équivalent de la tension vs (t ) de la question 5.2), où v1 (t ) joue le rôle de u0 (t ) : quel est l’effet concret du déphasage aléatoire ϕ (t ) pour un auditeur « écoutant » la tension v(t ) (après passage dans un amplificateur et un hautDéterminer la tension parleur…) ? 5.2) On suppose que grâce à la boucle, différentielle vérifiée par temps caractéristique 5.3) ϕ (t ) est devenu petit ; donner l’équation ϕ (t ) et en déduire son évolution, en faisant apparaître un τ . Conclure quant à l’intérêt du bouclage. Quel est le rôle du circuit déphaseur ? *************** Page 5 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME • CORRIGE : «Quelques applications d’un circuit multiplieur » 1.1) Le multiplieur fournit en sortie une tension proportionnelle au carré de la tension d’entrée ; si la fréquence de coupure du filtre passe-bas est correctement choisie, ce dernier ne laissera « passer » que la composante continue de x 2 (t ) : le filtre fonctionne donc en opérateur « valeur moyenne », selon les propriétés de l’analyse de Fourier. 2 s (t ) = cste = k × x 2 (t ) = k × X eff On a donc effectivement : t 1.2) Exprimons la tension la tension de sortie fréquence fC = y (t ) : s (t ) sera égale à y (t ) = x 2 (t ) = a 2 × cos 2 (ω t ) = 2 X eff = a2 × [1 + cos(2ω t )] ⇒ 2 a2 , à condition d’éliminer la composante de 2 2 f = 2 KHz ⇒ il faut que la fréquence de coupure du filtre passe-bas soit telle que : 1 ' 2.103 ⇒ 2π RC RC " 1 # 10−4 3 4π ×10 R = 10 K Ω et C = 1µ F • Par exemple : ⇒ ou en ordre de grandeur: RC # 10 −2 R = 100 K Ω et C = 0,1µ F Rq : des valeurs de résistance plus faibles conduiraient à des capacités trop élevées (condensateurs volumineux) ; des valeurs de résistance trop élevées conduisent à un effet « d’antenne », où ces résistances sont le siège de courants induits par des ondes électromagnétiques parasites. 2.1)a) L’A.O étant parfait, le courant sur l’entrée + est nul ; les composants R et C sont donc en série ⇒ on peut appliquer la relation du « diviseur de tension », soit : 1 1 jCω + v =X× =X× 1 1 + jRCω R+ jCω • Le théorème de Millman appliqué sur l’entrée inverseuse conduit à : X Y + R R = X +Y v = 1 1 2 + R R − • L’A.O étant en régime de fonctionnement linéaire, il vient : + − v =v ⇒ X× 1 X +Y = 1 + jRCω 2 ⇒ H = H exp( jϕ ) = Rq : il s’agit d’un circuit déphaseur pur, puisque Y 1 − jRCω = X 1 + jRCω H = 1 , ∀ω ⇒ les tensions x(t ) et y (t ) ont même amplitude et ne diffèrent que par leur phase. b) On a : Page 6 ϕ = −2Arc tan( RCω ) = −π / 2 pour Christian MAIRE RCω = 1 EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME 2.2) L’A.O étant parfait et fonctionnant en régime linéaire, on a : • Par ailleurs : I= v− = v+ = 0 ⇒ V1 R0 i − = 0 ⇒ c’est le courant I qui traverse l’impédance inconnue Z ⇒ finalement, la tension V 1 est une image fidèle du courant traversant l’impédance à mesurer. • Puisque v − = 0 , V u est la tension aux bornes de l’impédance inconnue. 2.3) On a donc : V u = − Z × I = −( R + jX ) × I = −( R + jX ) × V1 V exp( jω t ) = −( R + jX ) × 1 ; R0 R0 avant d’effectuer la multiplication des signaux, on doit repasser en notation réelle, d’où : vu (t ) = − V1 V2 [ R cos(ω t ) − X sin(ω t )] ⇒ s (t ) = v1 (t ) × vu (t ) = − k 1 [ R cos 2 (ω t ) − X cos(ω t ) × sin(ω t )] ⇒ R0 R0 s (t ) = − k V12 [ R(1 + cos(2ω t )) − X sin(2ω t )] 2 R0 Après un filtrage efficace, on récupère la seule composante continue de la tension V =− kV12 ×R 2 R0 2.4) ⇒ connaissant s (t ) , soit : k , V1 et R0 , la mesure de V permet d’accéder à celle de R . Pour échanger les rôles des parties réelle et imaginaire de l’impédance Z , il faut v (t ) en sin(ω t ) , et non v1 (t ) qui est en cos(ω t ) , d’où l’apparition du circuit déphaseur réglé à ϕ = −π / 2 dans le montage ci-dessous : utiliser une tension v1 (t ) ' 1 convertisseur courant-tension déphaseur −π / 2 • La tension vu (t ) E1 s (t ) S fC E2 v1' (t ) multiplieur filtre passe-bas vu (t ) a toujours la même expression que précédemment, mais on doit la multiplier v1' (t ) = V1 cos(ω t − π / 2) = V1 sin(ω t ) avec : V ⇒ V12 V12 2 s (t ) = v (t ) × vu (t ) = − k [ R cos(ω t ) × sin(ω t ) − X sin (ω t )] = − k [ R sin(2ω t ) − X (1 − cos(2ω t ))] R0 2 R0 ' 1 • Après filtrage, on récupère la composante continue : kV12 V= ×X 2 R0 ⇒ la mesure de la tension V permet effectivement d’accéder à celle de l’impédance inconnue. Page 7 Christian MAIRE X , partie imaginaire de EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. 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Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME 3.1) En sortie du multiplieur, la tension de sortie a pour expression : us (t ) = k × um (t ) × u p (t ) = kU 0 Ap cos(ω p t ) + kAm Ap cos(ω mt ) cos(ω p t ) us (t ) = kU 0 Ap cos(ω p t ) + kAm Ap 2 ou bien, après linéarisation : {cos[(ω m + ω p )t ] + cos[(ω m − ω p )t ]} , puis avec m : m us (t ) = kU 0 Ap cos(ω p t ) + {cos[(ω m + ω p )t ] + cos[(ω m − ω p )t ]} 2 f p ; f p − fm ; f p + fm • Les trois fréquences du spectre du signal modulé sont : • Dans le spectre, on retrouve la porteuse d’amplitude kU 0 Ap , encadrées par 2 « raies » d’amplitude égale à celle de la porteuse, multipliée par un facteur m / 2 : l’amplitude de ces 2 raies peut donc être supérieure à celle de la porteuse, à condition que m % 2 (pour m % 1 , on dit qu’il y a « surmodulation »). 3.2) On obtient les courbes suivantes, tracées dans le cas où kU 0 Ap (1 + m) u s (t ) kU 0 Ap (1 + m) ω p # 4ω m : u s (t ) kU 0 Ap (1 − m) 0 0 t t kU 0 Ap (1 − m) m≺1 m %1 • Il est clair que dans le cas où m % 1 , la partie positive de l’enveloppe (tracée en pointillés) n’est pas égale à la composante alternative de & um (t ) , soit um (t ) = Am cos(ω m t ) (c’est en revanche le cas pour m ≺ 1 ). 4.1) Pour comprendre qualitativement le fonctionnement du montage, il faut considérer le potentiel d’anode de la diode (sans seuil) égal à ue (t ) , dont la composante la plus « rapide » a une période Tp , et son potentiel de cathode, égal à us (t ) régi par un temps caractéristique τ = RC " Tp : ♦ tant que la diode est passante, on a us (t ) = ue (t ) ⇒ la sortie reproduit fidèlement l’entrée. ♦ lorsque ue (t ) se met à décroître « trop rapidement » pour que us (t ) « suive », le potentiel d’anode devient inférieur au potentiel de cathode ⇒ la diode se bloque et le circuit RC évolue en régime libre ⇒ la tension de sortie est de la forme : us (t ) = A exp(−t / τ ) . Dès que la tension d’entrée redevient égale à us (t ) , la diode redevient passante et l’on retrouve Page 8 us (t ) = ue (t ) . Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME • Cette approche qualitative permet d’obtenir la courbe suivante, tracée dans le cas m ≺ 1 : u s (t ) u e (t ) 0 Le signal modulé ue (t ) est représenté en pointillés, alors que le signal démodulé us (t ) est tracé en traits pleins. t Tp Rq1 : pour que la tension de us (t ) puisse suivre les variations de l’enveloppe de ue (t ) , c’est-à-dire & um (t ) = Am cos(ω m t ) , il faut que la constante de temps τ du circuit RC soit très inférieure à Tm . Rq2 : la tension & us (t ) reproduit um (t ) = Am cos(ω m t ) d’autant plus fidèlement que les conditions τ " Tp et τ ' Tm sont bien vérifiées. Rq3 : il est clair que cette détection d’enveloppe n’a pas d’intérêt pour m % 1 , puisque, dans ce cas, l’enveloppe ne correspond pas à & um (t ) = Am cos(ω m t ) . Rq4 : pour une diode réelle (avec seuil), le signal de sortie est encore plus déformé, surtout pour un signal modulé de faible amplitude : on peut alors utiliser des diodes à faible seuil, ou des montages dits « détection sans seuil », à base d’A.O (notons cependant que les A.O n’ont pas une bande passante très large ⇒ ce n’est pas une solution en haute fréquence…). 4.2) a) D’après la question 3.1), on sait que l’on peut écrire pour ue (t ) : m ue (t ) = kU 0 Ap cos(ω p t ) + {cos[(ω m + ω p )t ] + cos[(ω m − ω p )t ]} ⇒ il vient pour us (t ) : 2 m us (t ) = k × ue (t ) × u0 (t ) = k 2U 02 Ap cos 2 (ω p t ) + {cos[(ω m + ω p )t ] × cos(ω p t )} + cos[(ω m − ω p )t ] × cos(ω p t )} 2 • En utilisant les formules de trigonométrie, on obtient finalement : us (t ) = • Le signal k 2U 02 Ap m m 1 + cos(2ω p t ) + m cos(ω mt ) + 2 cos[(2ω p − ω m )t ] + 2 cos[(2ω p + ω m )t ] 2 us (t ) comporte donc bien 5 composantes : ♦ une composante continue d’amplitude ♦ une composante BF, de pulsation 2 ω m (correspondant au signal modulant) ♦ trois composantes HF, de pulsations Page 9 k 2U 02 Ap 2ω p − ω m , 2ω p et 2ω p + ω m (par ordre croissant) Christian MAIRE EduKlub S.A. 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Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME 4.2) b) La fréquence de coupure du filtre doit vérifier la double inégalité : f m ' fC ' 2 f p − f m # 2 f p Rq : ces conditions seront d’autant plus faciles à satisfaire que la fréquence de la porteuse sera supérieure à celle du signal modulant ( f p " f m ). 4.2) c) Le filtrage passe-bas précédent ne fait pas intervenir la valeur du taux de modulation m : ce type de démodulation fonctionne donc pour m % 1 , ce qui permet d’améliorer le « rapport signal/bruit » (amplitude du signal modulant, proportionnelle à m , sur amplitude des parasites etc…). • Ce type de détection est appelée « synchrone », car elle nécessite de disposer, au niveau du détecteur, d’une tension parfaitement synchrone avec le signal modulant, généré au niveau de l’émetteur : ceci n’a rien d’évident ! 5.1) Des calculs analogues à ceux développés dans la question 4.2) a) conduisent à : kU eV1 m {− sin ϕ − m sin ϕ × cos(2π f mt ) + sin[2π (2 f p − f m )t − ϕ ] + sin(4π f p t − ϕ ) 2 2 m + sin[2π (2 f p + f m )t − ϕ ]} 2 ue' (t ) = • Après un filtrage passe-bas « efficace », on ne conserve que la composante continue et la composante basse fréquence, soit : v (t ) = − kU eV1 sin ϕ × [1 + m cos(2π f mt )] 2 • Après élimination de la composante continue, l’auditeur écoutera un signal à la « bonne fréquence » f m , mais dont l’amplitude fluctuera plus ou moins vite dans le temps ; pour ϕ proche de 0 ou π , cette amplitude sera proche de 0 ⇒ l’auditeur n’entendra plus rien : c’est le phénomène de « fading ». 5.2) Les propriétés de l’O.C.T permettent d’écrire : dϕ (t ) k kU V k kU V = − k1v(t ) = − 1 e 1 [1 + m cos(2π f m t )] × sin ϕ (t ) # − 1 e 1 [1 + m cos(2π f m t )] × ϕ (t ) dt 2 2 • L’intégration de l’équation différentielle précédente conduit à : dϕ k kU V = − 1 e 1 [1 + m cos(2π f mt )] × dt 2 ϕ ⇒ on en déduit l’expression de Page 10 ϕ (t ) : t ⇒ ϕ (t ) k1kU eV1 m Ln = − 2 t + 2π f × sin(2π f mt ) ϕ (0) m 0 mk kU V k kU V ϕ (t ) = ϕ (0) exp − 1 e 1 sin(2π f mt ) × exp − 1 e 1 × t 4π f m 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. 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Physique ELECTROCINETIQE - ELECTRONIQUE PROBLEME mk kU V exp − 1 e 1 sin(2π f mt ) étant borné, le déphasage ϕ (t ) suit l’évolution du 4π f m k kU V ϕ (t ) → 0 terme en exp − 1 e 1 × t ⇒ avec une cste de temps : 2 • Le terme en τ= 2 k1kU eV1 Rq : pour τ suffisamment petite, la boucle se « verrouille » rapidement (à notre échelle de temps) sur la valeur ϕ = 0 , et le phénomène de fading disparaît. 5.3) La démodulation est de type synchrone : le signal modulé ue (t ) étant en cosinus, il faut le multiplier par une tension elle-même en cosinus, ce qui n’est pas le cas de la tension v1 (t ) : un circuit déphaseur réglé à ϕ = π / 2 permet d’élaborer, à partir de v1 (t ) , la tension v2 (t ) qui présente alors les bonnes caractéristiques (de fréquence et de phase). *************** Page 11 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. 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