28 - Induction électromagnétique-Cours

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Unformatted text preview: Physique ELECTROMAGNETISME COURS CH.28 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe) ********************** CH.28 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE ........................................................................................ 1 I. PHENOMENES D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE...................................................................... 1 I.1. I.2. I.3. II. FORCE ELECTROMOTRICE INDUITE .............................................................................. 1 LOI DE FARADAY ................................................................................................................ 1 LOI DE LENZ ......................................................................................................................... 2 CIRCUIT FIXE DANS UN CHAMP NON PERMANENT......................................................................... 2 II.1. II.2. III. IV. RELATION DE MAXWELL-FARADAY ............................................................................. 2 RELATION ENTRE LE CHAMP ELECTRIQUE ET LES POTENTIELS ......................... 2 CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP B PERMANENT ..................................................................... 3 CAS GENERAL ....................................................................................................................... 3 IV.1. IV.2. V. LIEN ENTRE LES DEUX PHENOMENES PRECEDENTS ............................................ 3 EXPRESSION DE LA F.E.M ............................................................................................. 4 PHENOMENES D’AUTO-INDUCTION ............................................................................................. 4 V.1. V.2. VI. VII. DEFINITION DU PHENOMENE .......................................................................................... 4 INDUCTANCE PROPRE ....................................................................................................... 4 INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES ............................................................ 5 ENERGIE MAGNETIQUE .......................................................................................................... 5 VII.1. VII.2. CAS DES CIRCUITS FILIFORMES.................................................................................. 5 DENSITE VOLUMIQUE D’ENERGIE MAGNETIQUE.................................................. 6 ********************** I. PHENOMENES D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE I.1. FORCE ELECTROMOTRICE INDUITE • L’étude expérimentale (menée en particulier par M.Faraday en 1831) montre que l’apparition d’un courant induit dans un circuit fermé (ne comportant pas de générateur tel que pile, condensateur chargé…) est toujours liée à une variation temporelle du flux magnétique à travers le circuit. • Pour qu’un courant apparaisse, il faut que des porteurs de charge aient été mis en mouvement par l’action de forces motrices ! f mot (en Newton) ; on appellera « force électromotrice » ou « f.e.m » (en Volt) la grandeur : e= ! ! 1 "circuit fmot ⋅ dl ∫ q (où q est la charge des porteurs) I.2. LOI DE FARADAY En notant ϕ le flux du champ magnétique à travers le circuit, on vérifie : dϕ e=− dt Rq1 : la relation est algébrique : a) on oriente le sens du courant i b) on oriente ϕ (règle du tire-bouchon, par exemple) c) le sens positif de e est celui de i (convention générateur) Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME COURS Rq2 : pour appliquer cette relation, il faut que le flux varie de façon continue : pour un circuit qui s’ouvre à certains instants (circuit « en commutation »), on ne peut pas l’utiliser (même si le programme recommande d’éviter ce genre de situation, nous verrons que cela arrive dans l’exemple « incontournable » de la « roue de Barlow ») I.3. LOI DE LENZ • Le signe moins de la relation précédente traduit mathématiquement la loi de Lenz (qui est une loi de modération, au même titre que la loi de Le Châtelier pour les équilibres chimiques) : « le sens du courant induit est tel que son effet (le champ magnétique qu’il crée à son tour) tend à s’opposer à la cause qui lui a donné naissance (la variation temporelle du flux) » • On pensera à utiliser cette loi pour déterminer ou vérifier le signe de certaines grandeurs dans les exercices. II. CIRCUIT FIXE DANS UN CHAMP NON PERMANENT II.1. RELATION DE MAXWELL-FARADAY • Ici, l’apparition de forces motrices sur des charges initialement au repos dans le référentiel d’étude peut s’interpréter par l’existence d’un champ électrique induit ! Ei : notons immédiatement qu’à la différence d’un champ d’origine électrostatique, sa circulation le long d’un contour fermé n’est pas nulle. ! ### ! ! ! ! ! ! ! dϕ d ∂B ! = rotEi ⋅ dS = − [ ∫∫ B ⋅ dS ] = ∫∫ − ⋅ dS • e = " Ei ⋅ dl = − ∫C S dt ∫∫S dt S ∂t (où S est une surface s’appuyant sur C) Rq : on a pu intervertir les opérateurs de dérivation temporelle et d’intégration spatiale, car les coordonnées de (S) sont indépendantes du temps, le circuit étant fixe. • La relation précédente étant vraie quelle que soit (S), il vient : ! ### ! ! ! ∂B ; ce champ induit se superpose éventuellement à un champ électrostatique Est tel rotEi = − ### ! t ! !∂ ! ! ! que : rotEst = 0 ⇒ le champ total : E = Ei + Est satisfera à l’équation de Maxwell-Faraday : ! ### ! ! ∂B rotE = − ∂t II.2. RELATION ENTRE LE CHAMP ELECTRIQUE ET LES POTENTIELS ! ! ! ! ! ! ! ### ! ∂A ! ! ! ### ! ### ! ! ∂A ∂ ### ! ### ∂A On a toujours : B = rotA ⇒ rotE = − ( rotA) = rot ( − ) ⇒ rot ( E + ) = 0 ; la grandeur E + ∂t ∂t ∂t ∂t dérive donc d’un potentiel scalaire V, ce que l’on écrira : ! ##### ! ! ∂A E = − gradV − ∂t Rq : en régime statique, V s’identifie avec le potentiel électrostatique ; en revanche, il est plus ! ! ∂A , car il ne faut pas oublier la grande indétermination des délicat d’identifier Ei avec − ∂t Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME COURS ! ! ! ##### ∂f A ' = A + grad f et: V ' = V − (où f est une ∂t ! fonction quelconque) engendre le même champ E . potentiels : on pourra vérifier que tout couple III. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP B PERMANENT On considère cette fois un circuit (C) tel que chaque point courant P de ce circuit est animé d’une ! vitesse ve ( P ) par rapport au référentiel d’étude (R), où règne un champ magnétique permanent : cette vitesse est une vitesse d’entraînement locale pour les porteurs de charge ; la force motrice sera alors la partie « magnétique » de la force de Lorentz, soit induite sur (C) sera donnée par : ! ! qve ∧ B ; la f.e.m ! ! ! e = " (ve ∧ B) ⋅ dl ∫ C IV. CAS GENERAL IV.1. LIEN ENTRE LES DEUX PHENOMENES PRECEDENTS • Le principe de relativité postule l’invariance des forces fondamentales (gravitationnelles, électromagnétiques, nucléaires) lors d’un changement de référentiel ; de même, l’existence objective d’un courant induit ne doit pas dépendre du référentiel d’observation. • Or, lorsqu’on examine l’expression de la force de Lorentz, on constate que le terme ! ! qv ∧ B dépend du référentiel d’étude (dans un référentiel lié à la particule, la partie « magnétique » de la force est nulle…) : pour que la force reste invariante, il faut que le champ électrique soit « transformé » lors du changement de référentiel. ! ! • Considérons un référentiel (R’) en translation à la vitesse vR '/ R = ve par rapport à un référentiel (R) ; alors pour un point M quelconque : ! ! ! vR ( M ) = vR ' ( M ) + ve (composition des vitesses galiléenne). L’invariance de la force de Lorentz s’exprimera par : ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! q ( ER ' + vR ' ∧ BR ' ) = q( ER + vR ∧ BR ) = q( ER + ve ∧ BR + vR ' ∧ BR ) ! ! Cette relation devant être vérifiée quelles que soient ve et vR ' , il vient : ! ! ! ! ! ! ER ' = ER + vR '/ R ∧ BR et: BR ' = BR (1) Ce sont les formules de transformation du champ électromagnétique par changement de référentiel, dans le cadre de la mécanique galiléenne. • Ainsi, dans le cas du paragraphe III, un observateur lié au référentiel « fixe » interprétera la ! ! force comme un effet d’un champ purement magnétique ( E = 0 ), mais un observateur lié au circuit la considérera comme une conséquence d’un champ électrique ! ! ! E ' = ve ∧ B . Par ailleurs, du point de vue du circuit, on peut se ramener au cas du paragraphe II : en effet, un circuit se déplaçant dans un champ permanent , mais non uniforme, « verra » un champ magnétique qui dépend du temps (non pas localement, mais « en suivant le mouvement » du circuit : on retrouve une notion analogue en mécanique des fluides). Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME COURS Ceci montre que le champ « électromagnétique » est un couple ! ! ( E , B) qu’on ne peut pas dissocier, sauf en statique. Rq : les relations (1), obtenues à partir de la loi de composition des vitesses galiléenne, ne sont en fait pas compatibles avec toutes les lois de l’électromagnétisme : les formules précises sont obtenues dans le cadre de la Relativité Restreinte (A.Einstein, 1905). IV.2. EXPRESSION DE LA F.E.M Lorsqu’on superpose les différentes causes de variation du flux (déplacement du circuit, déformation du circuit, champ magnétique non permanent…), on obtient : ! ∂A ! ! ! e = " (− ∫C ∂t + ve ∧ B) ⋅ dl ! ∂A ! ! Rq : la grandeur ( − + ve ∧ B ) est parfois appelée « champ électromoteur ». ∂t V. PHENOMENES D’AUTO-INDUCTION V.1. DEFINITION DU PHENOMENE Des courants extérieurs au circuit étudié créent un champ magnétique extérieur noté ! Bext , dont les variations de flux génèrent des courants induits dans le circuit : ces courants vont à leur tour créer un champ magnétique « propre » noté ! BP (noté ϕ P ) à travers le circuit lui-même engendrent une dϕ eP = − P dt Les variations temporelles du flux de f.e.m ! BP . eP telle que : C’est la f.e.m d’auto-induction. Rq : il faut donc avoir conscience du fait que le champ total est : ! ! ! B = Bext + BP ; c’est ce champ qu’il faut utiliser pour calculer le flux total ; l’énoncé précisera parfois que l’on peut négliger le champ propre devant le champ d’origine extérieure, ce qui revient à négliger le phénomène d’auto- induction devant celui d’induction. V.2. INDUCTANCE PROPRE • Nous avons vu dans le chapitre 27 que l’équation ### ! ! ! rotB = µ 0 j était incomplète en régime non permanent, puisque incompatible avec la conservation de la charge ; dans le chapitre suivant, nous verrons que le terme « manquant » est lié aux variations temporelles du champ électrique : nous admettrons que dans le cadre de l’Approximation des Régimes Quasi-Permanents (A.R.Q.P) ce terme est négligeable devant ! µ0 j . La loi de Biot et Savart, qui en découle, reste donc valable. • En considérant un circuit (C) parcouru par un courant i, sur lequel s’appuie une surface (S) quelconque, nous avons donc : ! ! u ! ! ! ! µi ϕ P = ∫∫ BP ⋅dS et: BP = 0 " dl ∧ 2 ⇒ BP et donc ϕ P sont PROPORTIONNELS à i ;on pose : ∫C r S 4π ϕ P = Li où L (en Henry, H) est l’inductance propre du circuit, ou coefficient d’auto-induction (L>0). > Page 4 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME COURS VI. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES • Soient 2 circuits orientés (C1) et (C2), parcourus par des courants respectifs i et i2 , sur ! 1 lesquels s’appuient respectivement des surfaces (S1) et (S2) ; on notera B1 le champ ! ! ! magnétique créé par (C1) et B2 celui créé par (C2) ; enfin, A1 et A2 seront les potentiel-vecteurs correspondants. • Nous avons alors : ! ! ! ! ϕ11 = ∫∫ B1 ⋅ dS1 et: ϕ 22 = ∫∫ B2 ⋅ dS2 , qui sont respectivement les flux S1 S2 propres à travers (C1) et (C2) ; de même : ! ! ! ! ϕ 2 /1 = ∫∫ B2 ⋅ dS1 et: ϕ1/ 2 = ∫∫ B1 ⋅ dS 2 sont respectivement les flux envoyés par (C2) à travers S1 S2 (C1) et par (C1) à travers (C2). ! ! ! µi ϕ 2 /1 = " A2 ⋅ dl1 avec: A2 = 0 2 ∫C1 4π Par linéarité, on peut poser : ! dl2 "C2 r12 (r12 = distance mutuelle entre 2 points courants P1 et P2 de (C1 ) et (C2 )) ∫ ! ! µ0 dl1 ⋅ dl2 ϕ 2 /1 = M 2 /1i2 avec: M 2 /1 = ∫ ∫ 4π "C1 "C2 r12 (relation de Neumann) • La formule de Neumann étant symétrique, on a aussi : ϕ1/ 2 = M 1/ 2i1 avec: M 1/ 2 = M 2 /1 = M = « inductance mutuelle de (C1) et (C2) » en Henry (H) • Le flux magnétique total s’écrit donc : ϕ1 = ϕ11 + ϕ 2 /1 = L1i1 + Mi2 ϕ 2 = ϕ 22 + ϕ1/ 2 = L2i2 + Mi1 Rq1 : M représente donc les phénomènes d’induction d’un circuit sur l’autre, alors que les coefficients L représentent les phénomènes d’auto-induction. Rq2 : le signe de M dépend des conventions d’orientation des circuits et n’a pas de signification physique. Rq3 : on introduit parfois la grandeur : k= M , appelée « coefficient de couplage » des L1 L2 circuits (C1) et (C2) (on parlera de « couplage serré » ou de « couplage lâche »). VII. ENERGIE MAGNETIQUE VII.1. CAS DES CIRCUITS FILIFORMES • circuit unique: on montre que l’énergie magnétique emmagasinée par un circuit parcouru par un courant i et soumis à un flux magnétique ϕ s’exprime par : 1 WM = ϕ × i 2 Page 5 et dans le cadre de l’ARQP : Christian MAIRE WM = 1 2 Li 2 EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME COURS WM = • cas de 2 circuits: et dans le cadre de l’ARQP : WM = 1 (ϕ1i1 + ϕ 2i2 ) 2 1 2 1 2 L1i1 + L2i2 + Mi1i2 2 2 VII.2. DENSITE VOLUMIQUE D’ENERGIE MAGNETIQUE Pour un solénoïde illimité de longueur L et comportant N spires, nous savons que : ! ! ! Ni Bext = 0 et: Bint = µ0 , ce champ intérieur étant uniforme. L Le flux total à travers les N spires s’exprime donc simplement par : spire) ⇒ ϕ = NBS (S= section d’une 1 1 N i S 1 µ N i SL 1 B WM = ϕ × i = µ 0 = × = ×V 2 2 L 2 L2 µ0 2 µ0 2 2 2 0 2 2 2 où V = volume du solénoïde ; on a alors la « densité volumique d’énergie magnétique » : wM = 1 B2 2 µ0 ( en J .m −3 ) Rq : cette formule, établie dans le cas très particulier du solénoïde infini, est en fait GENERALE et sera, en régime non permanent, indissociable de celle vue pour le champ électrique, soit : 1 wE = ε 0 E 2 . 2 *************** Page 6 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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