28.1 - Energie emmagasinée par un solénoïde épai

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Unformatted text preview: Physique ELECTROMAGNETISME EXERCICE -EXERCICE 28.1• ENONCE : « Energie emmagasinée par un solénoïde épais » On considère un solénoïde illimité de rayon intérieur a et de rayon extérieur b ; entre a et b, on réalise un bobinage de spires jointives comportant au total n spires par unité de longueur (voir figure ci-dessous). i(t) b a Z 1) Déterminer l’énergie magnétique emmagasinée par unité de longueur de solénoïde, lorsque les spires sont parcourues par un courant i. 2) En déduire l’inductance L par unité de longueur. Rq : les calculs d’inductance ou de mutuelle ne sont pas au programme (si besoin est, elles seront données par l’énoncé). Cependant, les calculs de flux ou d’énergie sont, au contraire, souvent nécessaires pour déterminer la f.e.m induite ; le plus difficile a alors été fait, puisqu’il suffit d’écrire : Page 1 L= ϕ 2W ou: L = 2M … i i Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME EXERCICE • CORRIGE : « Energie emmagasinée par un solénoïde épais » 1) Nous allons nous servir de la formule : dWM B2 = ; il faut donc connaître le champ dτ 2 µ0 magnétique dans tout l’espace. Les considérations de symétrie et d’invariance « classiques » montrent que le champ est de la ! forme : B ! = B(r )ez (comme pour un solénoïde à « à une seule couche ») ; nous allons donc appliquer le théorème d’Ampère avec des contours rectangulaires. Soit la figure suivante : h h (3) i(t) (2) r b a r Z r1 h (1) r2 • Sur le contour (1), qui n’enlace aucun courant, on a : B(r2 )h − B(r1 )h = 0, ∀r1 et r2 ⇒ B(r ) = cste , à l’extérieur du solénoïde ;avec l’hypothèse du champ nul à l’infini, il vient : ! ! Bext = 0 Rq : sur les segments « verticaux », ! ! ! ! B ⊥ dl ⇒ B ⋅ dl = 0 • Le contour (2) enlace tout le courant « disponible » sur une longueur h de solénoïde, soit un courant total égal à nih ; on a alors : B(r )h = µ0 nih ⇒ ! ! r ≤ a : B = µ0 niez (sur le côté extérieur, la circulation du champ est nulle , puisque ce dernier est nul) • Le contour (3) enlace des courants sur une surface égale à h(b-r) ; pour une surface « complète » égale à h(b-a), le courant enlacé serait µ0 nih : le courant enlacé dans le cas présent vaudra donc µ0 nih × ! b−r ! b−r b−r ez ⇒ B(r ) h = µ0 nih × ⇒ a ≤ r ≤ b : B ( r ) = µ 0 ni × b−a b−a b−a • L’énergie magnétique emmagasinée est donc donnée par : ♦ Page 2 1 r ≤ a : le champ est uniforme ⇒ WM = B2 dτ ; on a : solénoide 2 µ 0 WM = ∫∫∫ ( µ0 ni ) 2 2 π a (le volume est π a 2 × 1 ) 2µ0 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME EXERCICE ♦ a ≤ r ≤ b : dτ est un « tube » d’épaisseur dr, de longueur unité ⇒ 2 WM = ( µ0 ni 2 1 ) × b−a 2µ0 ∫ b a (b − r )2 2π rdr , qui ne pose aucun problème d’intégration ; après calculs : 1 2 WM = WM + WM = 2) On écrit simplement : WM = 1/ 2 Li 2 µ0π n 2i 2 (3a 2 + b 2 + 2ab) 12 ⇒ µ 0π n 2 L= (3a 2 + b 2 + 2ab) 6 Rq : on aurait pu également déterminer L en calculant le flux total à travers ce solénoïde, en n’oubliant pas que le champ magnétique n’est pas uniforme sur une section. Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. ...
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This note was uploaded on 03/18/2012 for the course PHYS 101 taught by Professor M.dupont during the Spring '12 term at Paris Tech.

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