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MeEn 335: System Dynamics Brian D. Jensen Timothy W. McLain Brigham Young University
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Contents 1 Dynamic Systems and System Similarity 1 1.1 Static vs. Dynamic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Conservation Laws for Engineering Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Conservation Laws in Different Energy Domains . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Similarity Among Different Energy Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Dissipative (Resistance) Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Energy Storage Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Constitutive Relation Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Similar Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Mechanical Systems 11 2.1 Translational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 DeFning System Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Apply ±orce Equilibrium Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 DeFne Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Combine ±orce-balance and Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.5 Alternative Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.6 Gravity Terms and Static Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.7 Develop Kinematic Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Rotational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Step 2 (Moment-Balance Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Step 3 (Develop Kinematic Relationships) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.3 Step 4 (Physical Relations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Combined Translational and Rotational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Kinematic Relationships for Pendulum Systems . . . . . . . . . . . . . . . 28 iii
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iv CONTENTS 3 Laplace Transform Analysis 33 3.1 Review of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Properties of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Final Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Initial Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 Transfer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5.1 Transfer functions for groups of subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5.2 Transfer Functions for Dynamically Coupled Systems . . . . . . . . . . . 39 3.5.3 Characteristic Equation and Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Common System Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6.1 Impulse Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6.2 Step Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6.3 Ramp Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6.4 Sinusoidal Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Solving Equations of Motion to Obtain Transient Response 43 4.1 Putting Equations of Motion in State-Variable Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Matlab Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Time-Domain Analysis 51 5.1 First Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.1.1 Example of a ±rst-order system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.2 Plotting Natural Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3 Forced Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4 Undamped Second-Order Systems: Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5 Damped Second-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5.1 Natural Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5.2 Free Response of Damped Second-Order Systems . . . . . . . . . . . . . 60 5.6 Graphical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.7 Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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CONTENTS v 5.8 Step Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.8.1 First-Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.8.2 Second-Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.9 Higher-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.10 System Identifcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.11 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6 Electrical Systems 77 6.1 Review o± Basic Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1.1 Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.1.2 Components Acting in Series or Parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.2 Passive Circuit Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3 Active Circuit Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3.1 Operational Amplifers — the Ideal Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.4 Electromechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4.1 DC Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4.2 Linear Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7 Frequency Response 93 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2 Graphical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.3 Analytical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.4 Bode Plotting Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.5 Frequency Response Sketching Rules o± Thumb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.5.1 Evaluating Magnitude Ratio and Phase Di±±erence at a Single Frequency . 122 8 Fluid and Thermal Systems 125 8.1 Fluid Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.1.1 Fluid Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.1.2 Fluid Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.1.3 Fluid Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.1.4 Continuity Equation ±or a Control Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.1.5 Analyzing Fluid Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.2 Thermal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.2.1 Thermal Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
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vi CONTENTS 8.2.2 Thermal Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2.3 Thermal Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2.4 Biot Number .
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