876
CHAPTER 16
Vector Calculus
Therefore,
±±
S
curl F
•
ˆ
N
dS
=
R
²³
∂
F
3
∂
y
−
∂
F
2
∂
z
´³
−
∂
g
∂
x
´
+
³
∂
F
1
∂
z
−
∂
F
3
∂
x
−
∂
g
∂
y
´
+
³
∂
F
2
∂
x
−
∂
F
1
∂
y
´µ
dA
.
Since
z
=
g
(
x
,
y
)
on
C
,wehave
dz
=
∂
g
∂
x
dx
+
∂
g
∂
y
dy
. Thus,
¶
C
F
•
d
r
=
¶
C
∗
²
F
1
(
x
,
y
,
z
)
+
F
2
(
x
,
y
,
z
)
+
F
3
(
x
,
y
,
z
)
³
∂
g
∂
x
+
∂
g
∂
y
´µ
=
¶
C
∗
³²
F
1
(
x
,
y
,
z
)
+
F
3
(
x
,
y
,
z
)
∂
g
∂
x
µ
+
²
F
2
(
x
,
y
,
z
)
+
F
3
(
x
,
y
,
z
)
∂
g
∂
y
µ
´
.
We now apply Green’s Theorem in the
xy
-plane to obtain
¶
C
F
•
d
r
=
R
³
∂
∂
x
²
F
2
(
x
,
y
,
z
)
+
F
3
(
x
,
y
,
z
)
∂
g
∂
y
µ
−
∂
∂
y
²
F
1
(
x
,
y
,
z
)
+
F
3
(
x
,
y
,
z
)
∂
g
∂
x
µ´
=
R
³
∂
F
2
∂
x
+
∂
F
2
∂
z
∂
g
∂
x
+
∂
F
3
∂
x
∂
g
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
∂
g
∂
x
∂
g
∂
y
+
F
3
∂
2
g
∂
x
∂
y
−
∂
F
1
∂
y
−
∂
F
1
∂
z
∂
g
∂
y
−
∂
F
3
∂
y
∂
g
∂
x
−