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Unformatted text preview: Introduction Equations diff erentielles s eparables MAT1732 B Ch.7: Applications Abdelkrim El basraoui 30 Janvier 2012 Abdelkrim El basraoui MAT1732 B Ch.7: Applications Introduction Equations diff erentielles s eparables D efinition dune equations differentielles Nous avons d ej` a etudi e un type d equations, ce quon appellera equations differentielles pures , qui sont des equations de la forme f ( t ) = g ( t ) o`u g est une fonction connue. Lint egrale de g nous donne la fonction f . Cette fonction f contient une constante dint egration qui peut servir ` a satisfaire une condition initiale. D efinition Une equation differentielle est une equation de la forme G ( x,f ( x ) ,f ( x ) ,f 00 ( x ) ,... ) = 0 , a < x < b , o`u G est une equation de plusieurs variables et f est une fonction inconnue qui satisfait l equation pour tout x dans ] a,b [ . Ces equations ont pour but de trouver la ou les fonctions f . Abdelkrim El basraoui MAT1732 B Ch.7: Applications Introduction Equations diff erentielles s eparables Equations differentielles pures Exemple Supposons que le taux instantan e d evaporation de leau contenu dans un arbre (dune certaine esp` ece) soit d ecrit par la formule r ( t ) = t (24 .t ) litres/h o`u t en heures varie de 0 a 24 heures et > est une constante qui peut dependre de lensoleillement, du taux dhumidit e dans lair, ... . Plus la journ ee sera ensoleill ee et seche, plus serait grand. On remarque que le taux d evaporation est nul ` a minuit (lorsque t = 0 ou 24 heures) et quil est maximal ` a midi (lorsque t = 12 heures). Supposons quun arbre absorbe du sol litres / h deau. La constante d epend du taux dhumidit e dans le sol. Donner une equation differentielle pour le taux de variation instantan ee du volume deau V ( t ) dans larbre au temps t et r esolver cette equation pour obtenir une formule pour V ( t ) qui dependra des parametres et . Abdelkrim El basraoui MAT1732 B Ch.7: Applications Introduction Equations diff erentielles s eparables Solution L equation diff erentielle qui d ecrit le volume deau V ( t ) dans larbre au cours de la journ ee est dV ( t ) dt =- t (24- t ) + pour t 24 . Le signe n egatif qui pr...
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