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Unformatted text preview: Introduction ´ Equations diff´ erentielles s´ eparables MAT1732 B Ch.7: Applications Abdelkrim El basraoui 30 Janvier 2012 Abdelkrim El basraoui MAT1732 B Ch.7: Applications Introduction ´ Equations diff´ erentielles s´ eparables D´ efinition d’une ´ equations differentielles Nous avons d´ ej` a ´ etudi´ e un type d’´ equations, ce qu’on appellera ´ equations differentielles pures , qui sont des equations de la forme f ( t ) = g ( t ) o`u g est une fonction connue. L’int´ egrale de g nous donne la fonction f . Cette fonction f contient une constante d’int´ egration qui peut servir ` a satisfaire une condition initiale. D´ efinition Une ´ equation differentielle est une ´ equation de la forme G ( x,f ( x ) ,f ( x ) ,f 00 ( x ) ,... ) = 0 , a < x < b , o`u G est une ´ equation de plusieurs variables et f est une fonction inconnue qui satisfait l’´ equation pour tout x dans ] a,b [ . Ces ´ equations ont pour but de trouver la ou les fonctions f . Abdelkrim El basraoui MAT1732 B Ch.7: Applications Introduction ´ Equations diff´ erentielles s´ eparables ´ Equations differentielles pures Exemple Supposons que le taux instantan´ e d’´ evaporation de l’eau contenu dans un arbre (d’une certaine esp` ece) soit d´ ecrit par la formule r ( t ) = αt (24 .t ) litres/h o`u t en heures varie de 0 a 24 heures et α > est une constante qui peut dependre de l’ensoleillement, du taux d’humidit´ e dans l’air, ... . Plus la journ´ ee sera ensoleill´ ee et seche, plus α serait grand. On remarque que le taux d’´ evaporation est nul ` a minuit (lorsque t = 0 ou 24 heures) et qu’il est maximal ` a midi (lorsque t = 12 heures). Supposons qu’un arbre absorbe du sol β litres / h d’eau. La constante β d´ epend du taux d’humidit´ e dans le sol. Donner une ´ equation differentielle pour le taux de variation instantan´ ee du volume d’eau V ( t ) dans l’arbre au temps t et r´ esolver cette ´ equation pour obtenir une formule pour V ( t ) qui dependra des parametres α et β . Abdelkrim El basraoui MAT1732 B Ch.7: Applications Introduction ´ Equations diff´ erentielles s´ eparables Solution L’´ equation diff´ erentielle qui d´ ecrit le volume d’eau V ( t ) dans l’arbre au cours de la journ´ ee est dV ( t ) dt =- αt (24- t ) + β pour ≤ t ≤ 24 . Le signe n´ egatif qui pr´...
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This note was uploaded on 04/06/2012 for the course BCH 2133 taught by Professor Vukmirica during the Spring '07 term at University of Ottawa.

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