279453522-estadistica-inferencial.pdf - UNIVERSIDAD AUT\u00d3NOMA \u201cGABRIEL REN\u00c9 MORENO\u201d FACULTAD DE AUDITORIA FINANCIERA O CONTADUR\u00cdA P\u00daBLICA

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Unformatted text preview: UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “GABRIEL RENÉ MORENO” FACULTAD DE AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURÍA PÚBLICA CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN ESTADÍSTICA INFERENCIAL Lic. Julio Vargas Herbas Santa Cruz de la Sierra-EP Bolivia PRÓLOGO El objetivo principal del presente material llamado guía MEA, es brindar las herramientas y facilitar a los estudiantes de manera didáctica, su formación académica en el área de Estadística Inferencial, donde comprende una parte básica de teoría de probabilidades que ayudaran a comprender las aplicaciones de la estadística Inferencial en la vida cotidiana que nos presenten problemas y dar una solución. Siendo la Estadística Inferencial, una disciplina practica en todas las áreas, se ha procurado ilustrar los conceptos con problemas y ejercicios aplicables en distintos campos, como economía, administración, contabilidad, finanzas e ingenierías, etc. El texto consta de seis unidades donde se da un tratamiento adecuado, caracterizado gráfica y analíticamente en forma fácil, haciendo así posible el manejo de la información obtenida en ella, teniendo un panorama completo del uso apropiado de los términos y la estadística Inferencial. Es importante aclarar que la finalidad de estés cursos de la materia de estadística inferencial, es mostrar la forma en que puede emplearse la estadística inferencial para resolver problemas reales de la vida profesional y no para eliminar a los menos aptos en habilidades matemáticas. Esperando sea de su máximo aprovechamiento y deseándoles muchos éxitos siempre a su disposición, tu docente de la materia de Estadística Inferencial. Lic. Julio Vargas Herbas Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 2 I.- IDENTIFICACION Facultad: Programa de Formación: AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURIA PUBLICA PARA LA CARRERA DE CONTADURIA PUBLICA Área de Formación: ESTADISTICA APLICADA A LA CONTADURIA Y FINANZAS Nombre de la asignatura: ESTADISTICA INFERENCIAL Sigla y código: MAT 260 Año: SEGUNDO AÑO (CUARTO SEMESTRE) Total de Horas: Prerrequisitos: Coordinación vertical: Coordinación horizontal: Aula Digital (dirección): Fecha de elaboración: 4 HT – 2 HP- 96 HORAS SEMESTRALES Elaborado por: MAT 200 - ESTADISTICA DESCRIPTIVA MAT-100 MAT-150 MAT-200 ECO 250; CPA 250; MAT 250; CPA 260 EN PROCESO DE CREACION 14/11/2013 [email protected] DAVID BELMONTE OBLITAS MARLEN BENITA MOLLOJA DE CABRERA [email protected] [email protected] RONALD CABRERA PANIAGUA JULIO VARGAS HERBAS [email protected] GEORGINA ROSARIO FLORES DE LAMAS [email protected] JAIME VELASCO ESCOBAR [email protected] Aprobado por: MSC. EZEQUIEL PANIAGUA BANEGAS II.-JUSTIFICACIÓN La estadística inferencial proporciona fundamentos científicos y metodológicos, para ser utilizados en el proceso de toma de decisiones oportunas y solución de problemas que surgen con frecuencia en el desempeño profesional del Contador Público, aplicando la teoría de las probabilidades y muestreo. III.- OBJETIVO (S) GENERAL (ES) Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: Aplicar los conocimientos de la estadística inferencial en el ejercicio profesional del contador Público, para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. IV.- CONTENIDOS MÍNIMOS Probabilidades – Variables Aleatorias – Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias discretas – Distribuciones de Probabilidad para Variables aleatorias continuas – Distribuciones Muestrales – Estimación Estadística – Prueba de Hipótesis. Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 3 V.- CONTENIDOS ANALÍTICOS UNIDAD I PROBABILIDADES TIEMPO 24 Horas – aula OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de: Determinar las probabilidades de eventos. Aplicar reglas de adición, multiplicación y teorema de Bayes. Resolver problemas o estudio de casos de las ciencias Contables - financieras. CONTENIDO: 1.1.0 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9 1.1.10 Probabilidades. Introducción. Definiciones básicas de probabilidad. Probabilidad del suceso y del suceso imposible. Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes. Reglas de adición. Eventos dependientes, eventos independientes y probabilidad condicional. Reglas de la multiplicación. Teorema de Probabilidad total y de Bayes. Tablas de probabilidades conjuntas. Análisis combinatorio, permutaciones, combinaciones; probabilidad y combinatoria. UNIDAD II DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS TIEMPO 12 Horas – aula OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de: Diferenciar variables aleatorias discretas y continuas. Resolver problemas y estudio de casos aplicados a las ciencias contables y financieras CONTENIDO: 2.1.0 Distribución de probabilidad para variables aleatorias: 2.1.1 Distribución de probabilidades fundamentales. 2.1.2 Variables aleatorias. Discreta y continua 2.1.3 Distribución de probabilidades. 2.1.4 Variables aleatoria discreta. 2.1.5 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta. 2.1.6 Variable aleatoria continúa y distribución continúa. Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 4 UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. TIEMPO 24 Horas – aula OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de: Determinar que distribución probabilística a emplear en una situación dada. CONTENIDO: 3.1.1 Distribuciones discretas. 3.1.2 Distribución de Bernoulli. 3.1.3 Distribución Binomial. 3.1.4 Distribución Hipergeométrica. 3.1.5 Distribución de Poisson. 3.1.6 Aproximación de la binomial a la Poisson. 3.1.7 Distribuciones continuas. 3.1.8 La distribución Normal de probabilidad. 3.1.9 Aproximación Binomial a la probabilidad Normal. 3.1.10 Aproximación de Poisson a la probabilidad Normal 3.1.11 La distribución Exponencial. UNIDAD IV TEORIA DE MUESTREO. TIEMPO 12 Horas – aula OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de: Calcular el tamaño de muestra adecuado para la estimación de parámetros CONTENIDO: 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 Población y parámetro. Distribuciones muestrales. Distribución muestral de la media. Distribución muestral de una proporción. Determinación de los tamaños muestrales UNIDAD V ESTIMACION DE PARAMETROS E INTERVALOS DE CONFIANZA TIEMPO 12 Horas – aula OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de: Estimar los parámetros de una población Determinar los intervalos de confianza para la media y proporción. CONTENIDO: 5.1.1 Tipos de estimaciones 5.1.2 Propiedades de un estimador. 5.1.3 Estimación por intervalos. 5.1.4 Intervalo de confianza. Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 5 UNIDAD VI PRUEBA DE HIPOTESIS TIEMPO 12 Horas – aula OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de: Verificar hipótesis considerando las diferentes situaciones en relación al tamaño de muestra y los parámetros de mayor aplicación. CONTENIDO: 6.1.1 Hipótesis estadística. 6.1.2 Hipótesis nula y alternativa. 6.1.3 Prueba de una hipótesis estadística. 6.1.4 Errores tipo I y tipo II y Nivel de significación. 6.1.5 Región crítica y regla de decisión. 6.1.6 Procedimiento de la prueba de hipótesis. VI.- METODOLOGÍA CONTENIDOS ANALÍTICOS El desarrollo de los contenidos se realizará utilizando diferentes estrategias de enseñanza-aprendizaje de acuerdo a los objetivos a alcanzar y a la naturaleza de los contenidos. Se utilizará el método inductivo-deductivo en la exposición de las bases teóricas de los contenidos de las diferentes unidades, y el método heurístico (aproximación progresiva a la interpretación y correcta aplicación de conceptos, a través de preguntas sucesivas) para desarrollar la parte práctica de ejercitación y aplicación. VII.- METODOS Expositivo. Visual. Solución de casos. Clases magistrales para el desarrollo teórico y práctico con apoyo del pizarrón Exposiciones del docente con apoyo del proyector multimedia Resolución de problemas, manejo de tablas, clases prácticas e interacción docente estudiante y viceversa. trabajos de investigación y resolución de problemas utilizando programas estadísticos SPSS o Excel. Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 6 VIII.- EVALUACIÓN TRABAJOS PRACTICOS………………………. 20 PUNTOS PRIMER EXAMEN PARCIAL………………..….. 25 PUNTOS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL………………… 25 PUNTOS EXAMEN FINAL …………………………………..30 PUNTOS TOTAL………………………………………….…..100 PUNTOS VIII.- BILIOGRAFÍA Kazmier J. Leonard- Estadística aplicada a la Administración y Economía.Editorial Mc. Graw Hill, Bogotá. Colombia 1993 Moya Calderón Rufino - Estadística y Cálculo de Probabilidades-Univ. de Callao Lima Perú 1985 Chungara Castro Victor-Estadística, UMSA Edición 2013 SPIEGEL, Murray-Estadística2ºedicion. McGRAW-HILL, Espana 1993 García Oré- “Estadística Descriptiva y Probabilidades”-Editorial Gómez. 1992 Lind Douglas; Mason Robert Estadística para administración y economía. España: McGraw-Hill, 2000 Córdova Zamora Manuel- Estadística Descriptiva e Inferencia. 4º edición junio 2000 Perú Lind Douglas A. – Marchal William G. – Mason, Robert D. ESTADISTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. 11ª Edición. Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., México, 2004. Webster, Allen L. ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMIA, 3ª. Ed., Edit. McGraw-Hill. Colombia 2000. LIBROS DE LA BIBLIOTECA Murray R. Spiegel - John Schiller - R. AluSrinivasan Probabilidad y estadística -Shaum 3ª Ed. McGraw Hill – Companies México-2010 EN ESPAÑOL. Ciro MartìnezBencardino Estadìstica y Muestreo 2ª Ed. Ecoe Ediciones Colombia 2010 Humberto Llinás Solano Estadística Inferencial Ed. Uninorte Colombia 2010 Bacchini R. y Vázquez Lara ESTADISTICAS PROBABILIDADES E INFERENCIA R. Schiller Srinivasan PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS Palacio C. Severo ESTADISTICA APLICADA Stephen P. Shao ESTADISTICA PARA ECONOMISTAS Y ADMINISTRADORES DE EMPRESAS Celestino García Ore ESTADISTICAS INFERENCIAL Roberto Escuder Valles INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD CON NOCIONES DE MUESTREO E INFERENCIA ESTADISTICA Seymour Lipschutz PROBABILIDAD George C. Canavos PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Rufino Maya C. PROBABILIDAD DE INFERENCIA ESTADISTICA I.Mtenez de Lejarza PROBALIDAD Y MODELOS ESTADISTICOS EMPRESARIAL C.M.Cuadros PROBLEMA DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 7 Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 8 Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 9 Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 10 Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 11 PROBABILIDADES Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 12 PROBABILIDADES Probabilidad.- La probabilidad es la posibilidad de que algo pase o no pase y se denota de la siguiente manera “”.Las probabilidades se pueden expresar de tres maneras como: 1 4 9 1 a) Fracciones: 2; 5; 15; 8 b) Decimales: 0,8000; 0,7570; 0,0499; 0,9990 c) Porcentajes: 10%; 15%; 33%; 16%; 6%; 79%; 100%. Las probabilidades están siempre entre cero y uno ≤ () ≤ .Tener una probabilidad de 0 significa que algo nunca va a suceder y tener una probabilidad de 1 indica que algo va a suceder siempre. Experimento.- Es aquella actividad que origina un evento ( ). Experimento Determinístico.- La observación se puede predecir en forma precisa. Sumar dos número impares y observar si el resultado es par o impar. Experimento Aleatorio.- La observación no se puede predecir con exactitud. Lanzar una moneda y observar si se obtiene cara o sello. Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral al conjunto que contiene a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, a dicho conjunto se lo representa con letras mayúsculas “”. = {/ } Evento.- En teoría de probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer un experimento. En otras palabras, un evento es todo lo que puede suceder. Un evento o suceso () es cualquier subconjunto de un espacio muestral () a la ocurrencia de un (éxito), a su no ocurrencia Ē (fracaso). EJEMPLO#1 Se lanza un dado, esperando obtener un 5 como resultado. SOLUCIÓN: = {, , , , , } ú = ⟹ () = EJEMPLO#2 Se lanza una moneda tres veces al aire y se observa cuantas veces se obtiene sello. SOLUCIÓN: = {, , , , , , , } = ⟹ () = EJEMPLO#3 Se lanzan dos dados, esperando obtener un 10 como resultado. SOLUCIÓN: = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} = ⟹ () = = {(, ), (, ), (, )} . Número De Puntos Muéstrales: (); (); () () = () EJEMPLO#4 Del experimento aleatorio de lanzar un dado, se indica su espacio muestral y algunos eventos, indicando los elementos de tales eventos. SOLUCIÓN: = {, , , , , } → () = a) E1: Lograr un 5; E1={5} → n(E1)=1 b) E2: Lograr un impar; E2={1, 3, 5} → n(E2)=3 c) E3: Lograr mayor o igual a 4; E3={4, 5, 6} → n(E3)=3 d) E4: Lograr mayor a 4; E4={5, 6} → n(E4)=2 e) E5: No lograr un 5; E5={1, 2, 3, 4, 6} → n(E5)=5 f) E6: Lograr mayor o cero; E6={1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(E6)=6 → =n(S) g) E7: Lograr un siete; E7={}=Ø → n(E7)=0 Principio De Multiplicación: = # ; → “ ∗ ” { } = # . EJEMPLO#5 Si un experimento es el de lanzar dos dados a la vez, se calcula el número de elementos que posee su espacio muestral. SOLUCIÓN: S1: Experimento de lanzar un dado n(S1)=6 ; S1: Experimento de lanzar otro dado n(E2)=6 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} = ⟹ () = n(S1) ∗ n(S2) = ∗ = → = {(, ), (, ), … , (, )} . EJEMPLO#6 Si el experimento es lanzar tres dados, calcular el número de elementos del espacio muestral es: SOLUCIÓN: n(S1)=6 n(S2)=6 n(S3)=6 n(S1) · n(S2) · n(S3)=6 · 6 · 6=63=216 elementos. EJEMPLO#7 Si un experimento es el de lanzar monedas los espacios muéstrales son: a) b) c) d) 1 Una moneda: (S1)={C, S} → n(S1)=2 =2 2 2 monedas: (S2)={CC, CS, SC, SS} → n(S2)=2 =4 3 3 monedas: (S3)={CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS} → n(S3)=2 =8 N N monedas: (SN)={CCC…C; CC…S; …; SS…S} → n(SN)=2 Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 13 EJEMPLO#8 Si un experimento es el de lanzar un dado y una moneda a la vez, calcular el número de elementos que posee su espacio muestral. SOLUCION: 1,C 2,C 3,C 4,C 5,C 6,C 1,S 2,S 3,S 4,S 5,S 6,S n(S1)=6 n(S2)=2 n(S1) · n(S2)=6 · 2=12 EJEMPLO#9 Un juego de cartas o naipes, posee 52 cartas, distribuidas de acuerdo a la tabla siguiente: ♥CORAZONES ♦DIAMANTES ♠ESPADAS ♣TREBOLES ASC ASD ASE AST 2C 2D 2E 2T 3C 3D 3E 3T 4C 4D 4E 4T 5C 5D 5E 5T 6C 6D 6E 6T 7C 7D 7E 7T 8C 8D 8E 8T 9C 9D 9E 9T 10C 10D 10E 10T JC JD JE JT QC QD QE QT KC KD KE KT SOLUCION: 13 Cartas → ♥♦♠♣ Palos (signos) → n(S)=52 a) Si E1 es el evento de sacar diamante: E1={ASD, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, KD, QD} → n(E1)=13 b) Sacar un 5: E2={5C, 5D, 5E, 5T} → n(E2)=4 c) Sacar un AS de espadas: n(E3)=1 d) sacar una vieja → n(E4)=12 (J, Q, K, de cualquier palo) Nota: Las cartas contienen 54 piezas ya se agregan dos joker. EJEMPLO#10 En un almacén se tienen bolsas de azúcar de 2, 4, 6, 8, 10 kgs. Si se eligen dos bolsas cada vez de pesos respectivos (x, y) entonces cada evento es de la forma (x, y), indicar los espacios muéstrales de: a) {(x, y) / x=y} → Sa={(2,2), (4,4), (6,6), (8,8), (10,10)}⟹5 elementos b) {(x, y) / y>x} → Sb={(2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (4,6), (4,8), (4,10), (6,8), (6,10), (8,10)}⟹10 elementos c) {(x, y) / y=2x} → Sc={(2,4), (4,8)}⟹2 elementos EJEMPLO#11 Hallar el número de elementos de los espacios muéstrales en los siguientes experimentos: a) b) c) d) e) f) a) 4 Se lanzan 4 monedas → n(S)=2 =16 Se lanzan 4 dados → n(S)=64=1296 Se elige un día de la semana → n(S)=71=7 Se elige un departamento de Bolivia → n(S)=91=9 Se lanzan dos monedas y se lanza un dado → n(S)=22 · 61=24 Se lanza una moneda y se saca una carta de un mazo de 52 → n(S)=21 · 521=104 PROBABILIDAD DE UN EVENTO ≤ () ≤ b) () = ⟹ () = () + (Ē) = n(E) n(S) + n(S) - n(E) n(S) = n(E) + n(S) - n(E) n(S) =1 () () − () ̅) = ; ( ; () () Si E1, E2 son dos eventos mutuamente excluyentes: P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2); unión “∪” () = c) EJEMPLO#12 Calculando las probabilidades de que ocurra un evento E. a) De obtener cara al lanzar una moneda n(E) S = {S, C} → n(S)=2 P(E)= n(S) ==0,5 ó 50% E = {C} → n(E)=1 EJEMPLO#13 Del experimento aleatorio de lanzar un dado, se indica su espacio muestral y se calculan las probabilidades de los siguientes n(E) elementos: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S)=6 P(E)= n(S) SOLUCION: a) Lograr un 5: E1={5} → n(E1)=1 → P(E1)= =0,1667 ó 16,6667% b) Lograr un impar: E2={1, 3, 5} → n(E2)=3 → P(E2)= =0,5000 ó 50% c) Lograr mayor o igual a 4: E3={4, 5, 6} → n(E3)=3 → P(E3)= =50% d) Lograr mayor a 4: E4={5, 6} → n(E4)=2 → P(E4)= =0,3333 ó 33,33% e) No lograr un 5: E5={1, 2, 3, 4, 6} → n(E5)=5 → P(E5)= =0,8333 ó 83,33% f) Un 8: P(E)= =0 g) Menor o igual a 6: P(E)= =1 h) Menor a 6: P(E)= =0,8333 i) No menor o igual a 4: P(E)= = =0,3333 0 6 5 6 6 6 2 1 6 3 Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 14 EJEMPLO#14 Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga mayor que 0. SOLUCION: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} E={1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S)=6 6 } n(E)=6 ⟹P(E)= 6 =1 EJEMPLO#15 Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga 7. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S)=6 } ⟹ P(E)=0=0 E={ }=∅ n(E)=0 6 EJEMPLO#16 Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma de 10. S={(1,1), (1,2),…,(6,6)} n(S)=36 3 1 } P(E)=36=12 E={(4,6), (5,5), (6,4)} n(E)=3 EJEMPLO#17 Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma menor a 5. S={(1,1), (1,2),…,(6,6)} n(S)=36 6 1 } ⟹ P(E)=36=6 E={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} n(E)=6 EJEMPLO#18 Calcular la probabilidad de sacar la “grande” en el juego clásico del cacho. S={(1,1,1,1,1), (1,1,1,1,2),…,(6,6,6,6,6)} E={6,6,6,6,6} 5 1 n(S)=6 =7776 ⟹P(E)=7776 n(E)=1 grande, de un solo tiro sacar (6,6,6,6,6) EJEMPLO#19 Se lanzan 3 monedas, calcular las probabilidades de los siguientes eventos. CS 3 Monedas {CS} → S ={CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS} → n(S)=23=8 CS 3 a) Obtener dos veces la cara: E={CCS, CSC, SCC} n(E)=3 → P(E)=8 1 n(E)=1 → P(E)=8 b) No obtener sello en ningún caso: E={CCC} c) Obtener al menos una vez cara: E={CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC} d) No obtener cara: E={SSS} n(E)=1 → P(E)=8 e) Obtener una vez cara: E={CSS, SCS, SSC} f) Obtener al menos una vez sello: E={CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} 1 n(E)=7 () = 3 n(E)=3 → P(E)=8 n(E)=7 () = EJEMPLO#20 Al lanzar dos monedas, calcular la probabilidad de obtener: CS 2 Monedas { } → S ={CC, CS, SC, SS} → n(S)=22=4 CS 1 a) 2 caras: E={CC} n(E)=1 → P(E)=4 2 1 b) 1 cara: E={CS, SC} n(E)=2 → P(E)=4=2 c) Ninguna cara: E={SS} d) Al menos una cara: E={CC, SC, CS} n(E)=3 → P(E)=4 1 n(E)=1 → P(E)=4 3 EJEMPLO#21 Al lanzar dos dados se busca la probabilidad de: 123456 2 2 Dados { } → S ={(1,1), (1,2), (1,3),…,(6,6)} → n(S)=6 =36 123456 4 1 a) Obtener 9: E={(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}...
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