Ecuaciones_diferenciales_ordinarias_-_Muñoz_Gómez_Aguilar_Loreto_Jiménez_Pérez_&_Medel_de_Gante (1).

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Jos´ e Antonio Mu˜noz G´omez
Omar Aguilar Loreto
Abimael Jim´ enez P´ erez
Andr´ es Trinidad Medel de Gante
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circlecopyrt Draft date 25 de octubre de 2010

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Indice general
1. Conceptos B´ asicos en Ecuaciones Diferenciales 9
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Definiciones y t´ erminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Definici´ on de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Orden de la ecuaci´ on diferencial . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Linealidad de la ecuaci´ on diferencial . . . . . . . . . 13
1.2.4. Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial . . . . . . . . . 15
1.2.5. Problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6. Problemas de valores en la frontera . . . . . . . . . . 21
1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 23
2.1. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . 24
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INDICE GENERAL
2.2. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Forma est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. M´ etodo de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1. Ecuaci´ on exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2. M´ etodo de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Soluci´ on por sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1. Ecuaciones homog´ eneas . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.2. Ecuaci´ on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.3. Reducci´ on a separaci´on de variables . . . . . . . . . 42
2.5. Circuito RL serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. Ecuaciones Lineales de Orden Superior 49
3.1. Nociones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Ecuaciones homog´ eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3. Ecuaciones no homog´ eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.1. Variaci´ on de par´ ametros . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.2. Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.3. Factorizaci´on de operadores . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.4. Funci´ on de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4. La transformada de Laplace 97
4.1. La notaci´ on est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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INDICE GENERAL 5
4.2. Definici´ on de la transformada de Laplace y su uso . . . . . 98
4.2.1. Deducci´on de la transformada de Laplace a partir de
la definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3. Teoremas de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 111
4.3.1. Teorema de la Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.2. Teorema de traslaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.3. Teorema de cambio de escala . . . . . . . . . . . . . 115
4.4. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5. Transformada de Laplace de derivadas e integrales . . . . . 119
4.5.1. Transformada de Laplace de la derivada n -´ esima de
una funci´ on f ( t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.2. Teorema de convoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6. Resoluci´ on de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 124
4.6.1. Procedimiento b´ asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5. Aproximaci´ on Num´ erica 133
5.1. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2. M´ etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.1. Medici´ on del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3. M´ etodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.1. Runge-Kutta de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3.2. Runge-Kutta de orden tres . . . . . . . . . . . . . . 149
5.3.3. Runge-Kutta de orden cuatro . . . . . . . . . . . . . 153
5.4. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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INDICE GENERAL
5.5. Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . 160
5.7. Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Ap´ endice A 168
Ap´ endice B 171
Ap´ endice C 174

Prefacio
Desde la antig¨uedad, la matem´atica ha sido el lenguaje humano por
medio del cual hemos ampliado nuestros sentidos y nos ha permitido com-
prender o estudiar a la naturaleza y otros campos de la ciencia. Dentro de
las ramas de las matem´aticas, las ecuaciones diferenciales ordinarias han
influido considerablemente en las ´ areas de ingenier´ ıa.
La finalidad de este libro es proporcionar material de apoyo a los estu-
diantes de las carreras de ingenier´ ıa. El libro est´ a integrado con los con-
ceptos m´ ınimos requeridos para entender los m´ etodos de soluci´on anal´ ıtica
y num´ erica, dando un especial ´ enfasis a la resoluci´on de problemas.
En las ´ areas de ciencias exactas e ingenier´ ıas frecuentemente se utilizan
modelos basados en la observaci´ on y sustentados en las matem´aticas, por