La discretizacion de la ecuacion 425 con un per odo

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Unformatted text preview: se puede expresar en discreto como: = (e i h ; 1) ai (4.27) i Si i i =0 zi(k + 1) = zi(k) + 'i h (4.28) Sec. 4.3. Control predictivo no lineal mediante linealizacion on-line 83 En este caso el vector constante se expresa como: i = 'i h (4.29) la expresion de la ecuacion (4.27) converge hacia la expresion de la ecuacion (4.29) cuando i tiende hacia cero. Caso 2: At no es diagonalizable En este caso se busca la forma canonica de Jordan de la matriz At , as : se hace el mismo procedimiento que en el caso 1 = P;1AtP donde base. (4.30) tiene la forma canonica de Jordan y P es la matriz de cambio de 2 J1 ] 0 6 ... 6 6 Ji ] =6 6 6 6 4 0 3 7 :0 7 7 7 7 07 1 7 5 (4.31) 0 i Las componentes Ji son la matrices de Jordan de nidas por la expresion siguiente: 2 3 i1 ! 0 i1 60 i 1 07 6 7 6 :7 Ji = (4.32) 6 7 4 15 i2 ! 0 i La ecuacion (4.23) se puede escribir de la forma siguiente: : z (t) = z(t) + ' (4.33) 84 Control predictivo no lineal donde ' = P;1 x Como en el caso anterior, la componente de orden i del vector z viene dada por la expresion siguiente: z:i= Ji zi + 'i (4.34) donde zi = zi1 : : : zi2 ]> y 'i = 'i1 : : : 'i2 ] La discretizacion de la ecuacion (4.34) con un per odo de muestreo h se calcula segun la naturaleza de los valores propios i (nulas o no): i 6= 0 zi (k + 1) = eJi hzi (k) + (eJi h ; I )Ji;1 'i (4.35) Ji h = e zi (k) + i donde i = (eJi h ; I )Ji;1'i es un vector constante. i = 0 En este caso las matrices de Jordan se convierten en la forma siguiente: 2 3 i1 ! 0 1 : : 0 60 0 1 : 07 6 6: : : : :7 7 J1 = (4.36) 6 7 4: : : : 15 i2 ! 0 : : : 0 La ecuacion (4.23) se escribe ahora como lo siguiente: z: i1 = zi1 +1 + 'i1 z: i1 +1 = zi1 +2 + 'i1 +1 : : : : z i2 ;1 = zi2 + 'i2 ;1 z: i2 = 'i2 Sec. 4.3. Control predictivo no lineal mediante linealizacion on-line 85 La discretizacion con un per odo de muestreo viene dada por la ecuacion siguiente: zi(k + 1) = eJi hzi(k) + donde 2 1 h h22 h3 3! 6 6 0: 1 h h22 eJi h = 6 : : : : 6 6 4: : : : 00: (4.37) i 3 hn;1 (nn;2 7 ;1)! h (n;2)! 7 7 :: :: :7 7 :5 1 :: : :: (4.38) y 2 3 h h22 h32 60 h h 6 2 i=6 : : h 6 4: : : : : : : 00:: :: :: :: :: hn 3 n! hn;1 7 (n;1)! 7 : 7 'i 7 :5 h (4.39) Finalmente la discretizacion viene dada por la ecuacion siguiente: z(k + 1) = e hz(k) + (4.40) Este caso se puede considerar como el caso general, por que cualquier matriz se puede descomponer en matrices que tienen la forma canonica de Jordan. La generalizacion puede tener el inconveniente de hacer que los calculos sean mas costosos calculando la serie de potencias del vector constante i y de la matriz eJi h , por esta razon a la hora de dise~ar el n controlador hay que estudiar si en algun instante de muestreo la linealizacion puede dar matrices no diagonalizables. 86 Control predictivo no lineal 4.3.1.b Implementacion del ELPC El ELPC se implementa como un controlador predictivo lineal formulado en el espacio de estados (ecuacion 4.11) en cada instante de muestreo. La prediccion optima de orden j es : min(Xj );1 Nu j ;1 Xj b y(t + j ) = y + Ct At x(t) + CtAt j; 1; iBt u(t + i) i=0 i=0 (4....
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