Limite,continuidad y derivadas

Limite,Continuidad y derivadas
Download Document
Showing pages : 1 - 3 of 9
This preview has blurred sections. Sign up to view the full version! View Full Document
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: LMITES , CONTINUIDAD Y DERIVADAS NDICE 1. Concepto de lmite 2. Propiedades de los lmites 3. Definicin de continuidad 4. Tipos de continuidad 5. Concepto de derivada 6. Tabla de derivadas 7. Crecimiento y decrecimiento 8. Mximos y mnimos 9. Concavidad y convexidad 10. Puntos de inflexin 11. Representacin grfica de funciones Idea de lmite de una funcin en un punto : Sea la funcin y = x 2 . Si x tiende a 2 a qu valor se aproxima y : x 2- 1'8 1'9 1'99 1'999 y 3'24 3'61 3'9601 3'996001 x 2 + 2'2 2'1 2'01 2'001 y 4'84 4'41 4'0401 4'004001 Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez ms a 4 . Esta idea se suele expresar as : 4 x lim 2 2 x =- (lmite lateral por la izquierda) 4 x lim 2 2 x = + (lmite lateral por la derecha) Cuando el lmite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe lmite en ese punto y es : 4 x lim 2 2 x = Si los lmites laterales en x = x son distintos entonces f no tiene lmite en ese punto . Definicin intuitiva de lmite : dada una funcin f , el lmite de f cuando x tiende a x 0 es el valor al que se aproximan las imgenes mediante f de los puntos x cuando stos se aproximan al valor de x . Definicin matemtica de lmite : una funcin f tiene lmite l cuando x tiende a x si es posible conseguir que f(x) est tan prximo a l como se quiera al tomar x suficientemente prximo a x ( tanto como sea necesario ) pero siendo x x . Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquier valor por pequeo que este sea , es decir /f(x)- l/< . Decir que "la variable x toma valores suficientemente prximos a x " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , as deber estar ms o menos prximo x a x para que se cumpla la hiptesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un tal que /x- x /< . Por lo tanto se dice que una funcin f(x) tiene lmite l cuando x tiende a x , si para cualquiera que sea el nmero se puede encontrar otro nmero tal que <- / l ) x ( f / para todo x que verifique <- / x x / Utilizando la notacin matemtica : <- <- 5 2200 = / l ) x ( f / / x x / si / l ) x ( f lim x x ) l ( ) x ( f ) x ( x / ) x , x ( ) x ( ) l , l ( ) l ( l ) x ( f lim * * x x 2200 + - = 5 + - = 2200 = Observemos que la funcin no tiene por qu estar definida en x para tener lmite en ese punto , incluso aunque est definida no es necesario que sea igual al lmite . No obstante si f(x) est definida en x y f(x ) = l entonces se dice que la funcin es continua en x ....
View Full Document