Limite,continuidad y derivadas

Limite,Continuidad y derivadas
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LÍMITES , CONTINUIDAD Y DERIVADAS ÍNDICE 1. Concepto de límite 2. Propiedades de los límites 3. Definición de continuidad 4. Tipos de continuidad 5. Concepto de derivada 6. Tabla de derivadas 7. Crecimiento y decrecimiento 8. Máximos y mínimos 9. Concavidad y convexidad 10. Puntos de inflexión 11. Representación gráfica de funciones Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x 2 . Si x tiende a 2 a qué valor se aproxima y : x 2 - 1'8 1'9 1'99 1'999 y 3'24 3'61 3'9601 3'996001 x 2 + 2'2 2'1 2'01 2'001 y 4'84 4'41 4'0401 4'004001 Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así : 4 x lim 2 2 x = - (límite lateral por la izquierda) 4 x lim 2 2 x = + (límite lateral por la derecha) Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es : 4 x lim 2 2 x = Si los límites laterales en x = x 0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto . Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x 0 es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos se aproximan al valor de x 0 . Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x 0 si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x suficientemente próximo a x 0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x x 0 . Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquier valor ε por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/< ε . Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x 0 " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x a x 0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/< ε , es decir , debe de existir un δ tal que /x- x 0 /< δ . Por lo tanto se dice que una función f(x) tiene límite l cuando x tiende a x 0 , si para cualquiera que sea el número ε se puede encontrar otro número δ tal que ε < - / l ) x ( f /
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para todo x que verifique δ < - / x x / 0 Utilizando la notación matemática : ε < - δ < - δ 5 ε 2200 = / l ) x ( f / / x x / si / l ) x ( f lim 0 x x 0 ) l ( ) x ( f ) x ( x / ) x , x ( ) x ( ) l , l ( ) l ( l ) x ( f lim 0 * 0 0 0 * x x 0 ε ε 2200 δ + δ - = ε 5 ε + ε - = ε 2200 = Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x 0 para tener límite en ese punto , incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite . No obstante si f(x) está definida en x 0 y f(x 0 ) = l entonces se dice que la función es continua en x 0 . Ejemplo
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