MMC (1).pdf - UNIVERSIDAD NACIONAL AUT\u00d3NOMA DE M\u00c9XICO FACULTAD DE INGENIER\u00cdA INTRODUCCI\u00d3N A LA MEC\u00c1NICA DEL MEDIO CONTINUO Armando Ortiz Prado Juan

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Unformatted text preview: UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO Armando Ortiz Prado Juan Armando Ortiz Valera Osvaldo Ruiz Cervantes DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECÁNICA E INDUSTRIAL UNIDAD DE INVESTIGACIÓN Y ASISTENCIA TÉCNICA EN MATERIALES ORTIZ PRADO, Armando, J. A. Ortiz Valera y O. Ruiz Cervantes. Introducción a la mecánica del medio continuo. México, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería, 2013, 510 p. Introducción a la mecánica del medio continuo Primera edición: 14 de febrero de 2013 D.R. © 2013, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Avenida Universidad 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, México, D.F. C.P. 04510 ISBN 978-607-02-4067-6 FACULTAD DE INGENIERÍA Prohibida la reproducción o transmisión total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México. PRÓLOGO El aprendizaje de la Mecánica del Medio Continuo, en la opinión de este autor, constituye una base fundamental en la formación de los futuros ingenieros; sin embargo, las asignaturas que estudian este tema se han caracterizado por un elevado índice de reprobación. Lo anterior ha sido en gran parte resultado de la limitada bibliografía que existe en español (debemos recordar que las primeras obras se publicaron hace más de tres décadas, esfuerzo del Dr. Enzo Levy (†)), y sobre todo de las diferencias en notación. Por otra parte, la presente obra se ha orientado a cumplir las condiciones como texto para el curso de Elementos de Mecánica del Medio Continuo, así como herramienta de consulta para quienes están matriculados en cursos posteriores o al inicio del posgrado. Del análisis efectuado en una serie de obras modernas (con no más de 10 años de publicación), las cuales se han editado, sobre todo, en inglés, me ha permitido estructurar una obra básica, con un lenguaje simple y donde se combine la notación índice con la general, esto con la finalidad de que el lector se habitúe a las diferentes notaciones empleadas. Se ha pretendido, también, explicar con claridad el desarrollo matemático a la vez de la comprensión de los conceptos. Esta obra ha surgido a través de las diversas ocasiones en que he impartido el curso pasando de unas simples notas de clase, resultado de la combinación de lo publicado por diversos autores, buscando siempre el balance entre definición y desarrollo matemático. La mayoría de estas anotaciones permanecen en los cuadernos que me acompañan cada semestre. Sin embargo, en cada curso fue necesario incluir materiales que permitieran clarificar las dudas surgidas durante el mismo; todo esto dio como resultado que estas notas se fueran haciendo más extensas y completas. A petición de los estudiantes he recopilado dichas notas y se presentan como un apoyo más para la formación de futuros ingenieros. La organización del texto consta de nueve capítulos, y pretendiendo de inicio homogenizar el manejo matemático de los alumnos, en el primer capítulo se presentan los antecedentes necesarios que permitirán a los alumnos entender los conceptos básicos del álgebra y cálculo de tensores. El capítulo 2 se enfoca en la cinemática de movimiento para un medio continuo, donde se hace énfasis en sus descripciones material y espacial. Los conceptos de deformación se estudian en el capítulo 3, mientras que el capítulo 4 se orienta a la determinación del tensor de esfuerzos; con todos estos conceptos ya explicados, se estudian las ecuaciones generales en el capítulo 5 para, de esta forma, proceder a las aplicaciones a través del análisis del comportamiento elástico que se explica en el capítulo 6, y de los fluidos newtonianos, en el capítulo 7. Como material complementario, en el capítulo 8 se estudia el comportamiento viscoelástico, mientras que el capítulo 9 se orienta a una descripción introductoria de los medios porosos. En todos los capítulos se ha tratado de presentar la teoría y una serie de ejercicios ya resueltos, así como una amplia gama de problemas propuestos. La realización de estas notas ha requerido una considerable inversión de tiempo. Por el momento, se cumple completamente con el contenido del programa, aunque esto no será un impedimento para agregar nuevo material en las siguientes revisiones. Por otra parte, quiero agradecer la activa participación de la Unidad de Apoyo Editorial de la Facultad de Ingeniería de la UNAM en la edición de esta obra, de manera especial a la maestra en letras María Cuairán Ruidíaz, jefa de la Unidad, y a la Lic. Elvia Angélica Torres Rojas por la revisión editorial, consejos y paciencia. Finalmente, quiero agradecer a mi grupo de colaboradores en la UDIATEM que me han apoyado para lograr este trabajo; en especial, al ingeniero Roberto Cisneros por la ayuda proporcionada durante todo este tiempo para la captura y revisión de estas notas. Armando Ortiz Prado Unidad de Investigación y Asistencia Técnica en Materiales Facultad de Ingeniería, UNAM CONTENIDO PRÓLOGO CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES GENERALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 INTRODUCCIÓN TENSORES OPERACIONES CON TENSORES Producto de tensores Multiplicación de tensores OPERADORES TENSORIALES Delta de Kroneker Permutador FACTORIZACIÓN TENSORES CON CARACTERÍSTICAS PARTICULARES Tensor ortogonal Tensor isotrópico Componentes esférica y desviadora de los tensores simétricos de rango dos EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Valores y direcciones principales LEYES DE TRANSFORMACIÓN DE TENSORES Ley de transformación para componentes cartesianos de vectores Ley de transformación entre tensores CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL APLICADO A TENSORES Operador diferencial (∇) Divergencia de una díada Identidades de interés Operador gradiente Laplaciano de un tensor de segundo rango Derivada direccional y derivada normal TEOREMAS INTEGRALES PARA VECTORES Teorema de la divergencia 1 4 9 11 13 18 18 19 21 22 22 24 26 27 29 35 37 38 41 43 47 49 50 51 52 53 53 Vector solenoidal Teorema de Stokes Vectores conservativos e irrotacionales Representación de Helmholtz 1.11 FÓRMULAS DE TRANSPORTE Teorema de transporte de Reynolds 1.12 COORDENADAS CURVILÍNEAS Coordenadas cilíndricas Componentes de la divergencia de un tensor de 2.° orden Coordenadas esféricas (r,θ, φ) EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 54 55 57 58 60 61 61 61 64 66 68 73 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 81 INTRODUCCIÓN Noción de continuo CONCEPTOS GENERALES DE CINEMÁTICA DEL CONTINUO DESCRIPCIÓN MATERIAL Y DESCRIPCIÓN ESPACIAL DERIVADA MATERIAL Derivada material de un tensor de primer rango CAMPO DE DESPLAZAMIENTO Ecuación de movimiento para un cuerpo rígido CONCEPTOS Y DEFINICIONES Condiciones estacionarias (Estacionalidad) Trayectoria –Líneas de Trayectoria (Pathline) Líneas de Corriente (Streamline) Líneas de traza (Streakline) EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 81 82 82 84 85 86 89 89 91 91 91 93 94 96 99 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 CAPÍTULO 3 DEFORMACIÓN 103 CONCEPTOS GENERALES Cinemática del continuo DEFORMACIÓN INFINITESIMAL Dilatación unitaria Tensor infinitesimal de rotación 3.1 3.2 103 103 105 111 112 3.3 TENSOR DE RAPIDEZ DE DEFORMACIÓN (D) Rapidez de cambio unitario de volumen ( δ ) 3.4 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 3.5 GRADIENTE DE DEFORMACIÓN (F) Tensor de deformación de Cauchy – Green por derecha (c ) 3.6 TENSOR LAGRANGIANO DE DEFORMACIONES FINITAS (TENSOR LAGRANGIANO DE DEFORMACIÓN) 3.7 TENSOR DE DEFORMACIÓN CAUCHY‐GREEN POR IZQUIERDA 3.8 TENSOR DE DEFORMACIÓN EULERIANA 3.9 CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA EL TENSOR DE DEFORMACIONES FINITAS 3.10 CAMBIO DE ÁREA DEBIDO A DEFORMACIÓN 3.11 CAMBIO DE VOLUMEN DEBIDO A DEFORMACIÓN 3.12 DESCRIPCIÓN DEL GRADIENTE DE DEFORMACIÓN PARA UNA REFERENCIA CILÍNDRICA (r, θ, z) Y PARA UNA BASE ESFÉRICA (r, θ, φ ) EJERCICIOS PROPUESTOS 113 117 117 119 123 125 127 128 132 132 134 135 136 CAPÍTULO 4 ESFUERZOS 143 143 145 147 148 149 150 4.1 4.2 4.3 CONCEPTOS GENERALES VECTOR DE ESFUERZOS TENSOR DE ESFUERZOS DE CAUCHY Componentes del tensor de esfuerzos Simetría del tensor de esfuerzos de Cauchy Esfuerzos principales 4.4 151 155 158 4.5 Esfuerzos cortantes máximos (σi ) CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS Cortante octaédrico TENSORES DE ESFUERZOS DE PIOLA‐KIRCHHOFF O TENSOR DE ESFUERZOS LAGRANGIANO Primer tensor de esfuerzos de Piola‐Kirchhoff o tensor de esfuerzos lagrangiano 161 161 Segundo tensor de esfuerzos de Piola‐Kirchhoff ( T ) EJERCICIOS PROPUESTOS 163 165 CAPÍTULO 5 ECUACIONES GENERALES 171 5.1 5.2 5.3 INTRODUCCIÓN ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD EN FORMA MATERIAL 171 172 174 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (ECUACIÓN DE CAUCHY) Desarrollo de la Ecuación de conservación de movimiento en forma integral Simplificaciones de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento Ecuación de movimiento en forma material PRINCIPIO DE ESFUERZOS DE CAUCHY ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA EN FORMA MATERIAL DESIGUALDAD ENTRÓPICA DESIGUALDAD ENTRÓPICA EN FORMA MATERIAL EJERCICIOS PROPUESTOS 177 177 183 183 185 187 192 193 195 196 CAPÍTULO 6 COMPORTAMIENTO ELÁSTICO 199 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 ANTECEDENTES DESCRIPCIÓN DEL COMPORTAMIENTO IDEALIZACIONES PARA EL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO Simetría elástica Sólido elástico, homogéneo, lineal y monotrópico Constantes elásticas para un material monotrópico (monoclínico) Sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico Determinación de las constantes elásticas independientes con base en la notación tensorial Sólido elástico, homogéneo, lineal y transversalmente isotrópico Ecuación constitutiva para un material elástico transversalmente Isotrópico Sólido elástico lineal, homogéneo e isotrópico Otras constantes elásticas APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD EN EL ANÁLISIS DE DIFERENTES PROBLEMAS BÁSICOS Estudio de una barra circular sometida a torsión Esfuerzos principales Barra sometida a carga uniaxial (tracción o compresión) Principio de Saint Venant Viga (barra) sometida a flexión pura Efecto combinado de flexión y torsión ESTADOS PARTICULARES DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN Estado plano de esfuerzos (Estado biaxial de esfuerzos) Estado de deformación biaxial Función de esfuerzos de Airy 199 200 207 208 210 214 217 220 222 222 230 235 241 241 248 250 253 253 261 262 263 264 268 6.6 6.7 6.8 Aplicación de las funciones de esfuerzo de Airy en la determinación del estado de esfuerzos y deformaciones asociados a la presencia de una dislocación de borde 271 Viga curvada sometida a flexión pura 273 ECUACIONES DE LA TEORÍA INFINITESIMAL DE LA ELASTICIDAD 276 Ecuaciones de Navier 279 Ecuación de Navier en coordenadas rectangulares 280 Ecuaciones de Navier en coordenadas cilíndricas 280 Ecuaciones de Navier en coordenadas esféricas 283 ANÁLISIS DEL DESPLAZAMIENTO DE ONDAS ELÁSTICAS A TRAVÉS DE UN SÓLIDO 284 Análisis de una onda plana irrotacional 284 Onda plana de equivolumen 289 ELASTICIDAD NO LINEAL 292 294 EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 324 CAPÍTULO 7 FLUIDOS VISCOSOS NEWTONIANOS 343 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 CONCEPTOS GENERALES FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES ECUACIONES DE LA HIDROSTÁTICA MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO DEL FLUIDO FLUIDO NEWTONIANO Fluido newtoniano incompresible Ecuaciones de Navier‐Stokes para fluidos incompresibles Ecuaciones de Navier‐Stokes en coordenadas cilíndricas Ecuaciones de Navier‐Stokes en coordenadas esféricas LÍNEAS DE TRAYECTORIA Y LÍNEAS DE CORRIENTE. FLUJO ESTABLECIDO Y FLUJO TRANSITORIO FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO FLUJO DE COUETTE FLUJO UNIAXIAL PRODUCIDO POR PRESIÓN (FLUJO DE POISEUILLE) FLUJO INDUCIDO POR PRESIÓN A TRAVÉS DE UN CONDUCTO DE SECCIÓN CIRCULAR (TUBO) FLUJO INDUCIDO POR VELOCIDAD ENTRE DOS CILINDROS CON LONGITUD INFINITA FLUJO ROTACIONAL E IRROTACIONAL Flujo irrotacional Estado de esfuerzos para un flujo irrotacional de un fluido incomprensible de densidad homogénea 343 347 345 349 354 357 359 361 363 365 369 369 370 373 375 381 388 390 392 7.14 7.15 7.16 7.17 FUNCIONES DISIPATIVAS EN FLUIDOS NEWTONIANOS Función disipativa para un fluido newtoniano compresible DIFUSIVIDAD TÉRMICA FLUJO IRROTACIONAL DE UN FLUIDO NO VISCOSO DE DENSIDAD HOMOGÉNEA Ecuación de Bernoulli Ecuación de Torricelli Flujos irrotacionales como solución a la ecuación de Navier‐Stokes ECUACIÓN DE TRANSPORTE DE VORTICIDAD PARA UN FLUIDO VISCOSO INCOMPRESIBLE DE DENSIDAD HOMOGÉNEA 7.18 EL CONCEPTO DE CAPA LÍMITE Ecuación de transporte de vorticidad para fluidos viscosos incompresibles de densidad constante (homogénea) Flujo irrotacional como solución de las ecuaciones de Navier‐Stokes Demostración de la imposibilidad de cumplimiento de la ecuación de Laplace 7.19 FLUIDO NEWTONIANO COMPRESIBLE 7.20 ONDAS ACÚSTICAS EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 393 396 397 399 399 401 402 403 405 406 406 408 410 413 418 442 CAPÍTULO 8 VISCOELASTICIDAD LINEAL 451 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 CONCEPTOS BÁSICOS COMPORTAMIENTO CARACTERÍSTICO DE LOS FLUIDOS NO NEWTONIANOS TEORÍA UNIAXIAL Fluido lineal viscoelástico (fluido de Maxwell) Modelo de Kelvin MODELOS COMPUESTOS Modelos de 3 elementos Modelo de cuatro elementos MODELOS GENERALIZADOS Modelo generalizado de Kelvin Modelo generalizado de Maxwell FLUENCIA Y RELAJACIÓN DE ESFUERZOS INTEGRALES HEREDITARIAS EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 451 455 457 457 461 462 462 467 469 469 471 472 475 476 482 CAPÍTULO 9 MATERIALES POROSOS 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 INTRODUCCIÓN PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Hipótesis de continuidad Porosidades lagrangiana y euleriana Ecuación de continuidad Balance de masa considerando una discontinuidad Balance de cantidad de movimiento Energía cinética Conservación de energía y balance de entropía COMPORTAMIENTO POROELÁSTICO CASOS DE ESTUDIO PARA MATERIALES POROSOS Inyección de un fluido Sedimentación no lineal Histéresis capilar de materiales porosos Drenado de materiales porosos de baja permeabilidad POROPLASTICIDAD Ecuaciones de estado para el comportamiento poroplástico de la matriz Ecuaciones de estado para el comportamiento poroplástico del estado poroso POROVISCOELASTICIDAD Consolidación primaria y secundaria de suelos 487 487 488 488 489 490 491 492 494 494 496 498 498 500 503 503 503 505 506 507 508 509 BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES GENERALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 1.1 INTRODUCCIÓN Teoría del continuo. La materia, en términos generales, está formada por moléculas, átomos e iones. En cualquiera de los casos, la unidad fundamental se reduce a los átomos, los cuales están constituidos a su vez por partículas subatómicas. Las dimensiones del radio −10 m ; por su parte, los datos atómico equivalente de los elementos es del orden de 10 -13 recabados por la física permiten estimar que el radio del núcleo atómico es menor a 10 m . Del análisis comparativo de estos dos valores se constata que el átomo dista mucho de ser un continuo; por consecuencia, la materia cualquiera que sea su estado no lo será. Es entonces que se concluye que cualquier cuerpo ocupa un lugar en el espacio y que ningún otro podrá ocupar el mismo lugar al mismo tiempo, sin embargo, no lo ocupa en su totalidad. A pesar de lo antes expuesto, mucho del comportamiento de los materiales ante las solicitaciones que le son impuestas se puede describir a partir de considerarlos como continuos. Los análisis tradicionalmente efectuados para describir el comportamiento tanto de fluidos como de sólidos, e incluso en el caso de materiales porosos, se pueden realizar considerando a éstos como medios infinitamente divisibles. Es por tanto que la teoría que permite describir el comportamiento macroscópico de los materiales, negando su microestructura, es conocida como Teoría del continuo. Resulta evidente que la Teoría del continuo permitirá la prospección de los fenómenos a partir de ciertas dimensiones mínimas, estos valores límite dependerán del material y del fenómeno en estudio; por ejemplo, en el análisis de los estados de esfuerzos y INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO deformaciones para los metales, las dimensiones mínimas para realizar la idealización de −8 continuo son del orden de 10 m , esto es cien veces las dimensiones del átomo. En consecuencia, se tiene que al aplicar la teoría del continuo en un metal en el cual existen dislocaciones, es posible describir el campo de esfuerzos, de deformaciones y la energía asociada a la presencia de estas dislocaciones; lo anterior en consideraciones de continuo, condición que puede ser aplicada a la totalidad de la dislocación con excepción del núcleo de −8 la misma, esto es para dimensiones por debajo de 10 m . Considerando lo antes expuesto, se concluye que si bien la teoría del continuo es muy útil para el análisis de una gran variedad de situaciones, ésta no podrá ser utilizada en el caso de que los fenómenos se describan a través de parámetros que estén por debajo de la dimensión límite para la cual el material pueda ser considerado como continuo. Por ejemplo, algunos fenómenos de propagación de ondas de muy reducida longitud no pueden ser descritos a través de esta teoría. Por consecuencia, la aplicación de la mecánica del continuo no depende de la conceptualización filosófica, ya que ningún medio es infinitamente divisible, sino de la congruencia existente entre el comportamiento observado y los resultados que se desprenden de la aplicación de la teoría y de la idealización del comportamiento del material. Afortunadamente en muchos casos, los resultados que emergen de la aplicación del concepto de continuo son congruentes con lo observado experimentalmente, lo que ha permitido el desarrollo de muchas teorías de amplia aplicación en la actualidad. Los conceptos que se derivan de la Mecánica del Medio Continuo (MMC), por el espectro de aplicación de los resultados obtenidos, se pueden agrupar en dos grandes áreas: a. Principios generales que son comunes a todos los medios. Éstas son leyes de la física ampliamente demostradas y que deben de ser cumplidas por cualquier medio. Por ejemplo, las leyes de conservación de masa o de energía. b. Ecuaciones constitutivas que definen el comportamiento de materiales idealizados, por ejemplo, sólidos elásticos lineales o fluidos newtonianos. 2 CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES GENERALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO Los principios generales son elementos evidentes de nuestra realidad física, entre los que se pueden mencionar están las leyes de conservación de masa y de conservación de energía, balance de momentum lineal y de momento de momentum y la ley de desigualdad entrópica. Matemáticamente existen dos formas de presentar estos principios: 1. Forma integral, en este caso corresponde a un volumen finito de material. 2. Forma diferencial o ecuaciones de campo, el principio corresponde a un volumen diferencial del material (partícula) de cada punto del campo bajo análisis. Como ha sido antes mencionado, las ecuaciones constitutivas representan la otra parte fundamental de la Mecánica del Continuo. Éstas se desarrollan para materiales idealizados; por ejemplo, para aquellos en que la deformación solo depende de las solicitaciones aplicadas y dicha deformación desaparece al eliminar las solicitaciones (sólido elástico). Cuando las deformaciones son además infinitesimales se puede realizar la idealización de que las deformaciones son linealmente proporcionales con las solicitaciones (sólido elástico lineal), material en el cual además las propiedades no se modifican con la posición y son iguales en todas direcciones (sólido elástico lineal homogéneo e isotrópico). Ésta última descripción, si bien representa un alto grado de idealización, es muy útil para describir el comportamiento de los metales recocidos o provenientes de fundición. En el caso de muchos líquidos, como por ejemplo el agua, se tiene que los esfuerzos de corte son linealmente proporcionales con la velocidad de deformación, de lo que se ...
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  • Spring '16
  • jose antonio vasquez
  • Test, The Land, Ecuación, Producto escalar, Cantidad de movimiento, Conservación de la energía, Lagrangiano

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